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A et de B, quoique cette opinion puisse être fondée sur une probabilité

moindre que celle qui a motivé l'opinion de B, c’est-à-dire, quoique A ait moins de raison de croire à sa propre opinion, que B à la sienne.

Da ns le langage ordinaire , les mots chance et probabilité sont à peu près synonymes. Le plus souvent nous emploierons indifféremment l’un et l’autre ; mais lorsqu’il sera nécessaire de mettre une différence entre leurs acceptions, on rapportera, dans cet ouvrage, le mot chance aux événements cti eux-mêmes et indépendamment de la connaissance que nous en avons, et l’on conservera au mot probabilité sa définition précédente. Ainsi, un événement aura, par sa nature, une chance plus ou moins grande, connue ou inconnue; et sa probabilité sera relative à nos connaissances, en ce qui le concerne.

Par exemple, au jeu de croix et pile, , la chance de l’arrivée de croix et celle de l’arrivée de pile , résultent de la constitution de la pièce que Ion projette; on peut regarder comme physiquement impossible que l'une de ces chances soit égale b l’autre; cependant, si la constitution du projectile nous est inconnue, cl si nous ne l'avons pas déjà soumis à des épreuves, la probabilité de l’arrivée de croix est, pour nous, absolument la même que celle de l’arrivée de pile : nous n’avons, eu effet, aucune raison de croire plutôt à l'un qu’à l'autre de ces deux événements. 11 n’en est plus de même, quand la pièce a été projetée plusieurs fois : la chance propre à chaque face ne change pas pendant les épreuves; mais, pour quelqu'un qui en connaît le résultat, la probabilité de l’arrivée future de croix ou de pile , varie avec les nombres de fois que ces deux faces se sont déjà présentées.

(a) La mesure de la probabilité d’un événement, est le rapport du nombre de cas favorables b cet événement, au nombre total de cas favorables ou contraires, et tous également possibles , ou qui ont tous une même chance.

Cette proposition signifie que quand ce rapport est égal pour deux événements, nous avons la même raison de croire à l’arrivée de l’un et à celle de l’autre , et que quand il est différent, nous avons plus de raison de croire à l’arrivée de l'événement pour lequel il est le plus # grand .

Supposons, par exemple, qu’une urne A renferme quatre boules blanches et six boules noires, et qu’une autre urne B contienne dix

52 "+Wt4t- . RECHERCHES < •;

boules blanches et quinze boules noires; les nombres de cas favorables à l'arrivée d’une boule blanche et celui de tous les cas possibles, seront quatre et dix pour la première urne, dix et vingt-cinq pour la seconde; et le rapport du premier nombre au second étant ~, c'est-à-

dire, égal pour les deux urnes, il s'agit d'abord de prouver qu'il y a la même probabilité d’extraire une boule blanche de l’une ou de l’autre; en sorte que si nous avions un intérêt quelconque à l’arrivée d’une boule blanche, nous n’aurions absolument aucune raison de mettre la main plutôt dans l’urne A que dans l'urne R.

En effet, on peut concevoir les vingt-cinq boules que contient l'urne B, partagées en cinq groupes dont chacun soit composé de deux boules blanches et trois noires, et qui seront disposés d’une manière quelconque dans l’intérieur de cette urne. Afin de les distinguer entre eux, on peut aussi donner le n“ 1 aux boules de l’un des groupes, le n" a à celles d’un autre groupe, etc.

Pourcxtrairc nnc boule blanche ou noire, de B, la main devra se porter au hasard sur l’un de ces cinq groupes; mais puisqu’ils sont tous semblables, quant aux nombres de boules des deux couleurs qu’ils renferment , il s’ensuit qu’au lieu de choisir au hasard le groupe sur lequel la main se portera, on peut le choisir à volonté, et supposer, pour fixer les idées, que ce soit le groupe des boules n° 1 , sans rien changer à la chance d’extraire une boule blanche de l'urne B; or, cela revient évidemment à extraire d’abord de B toutes les boules n* i, et à les mettre dans une autre urne C, d’où l'on tirera ensuite une boule au hasard; la probabilité d’ameuer une boule blanche est donc indépendante du nombre de groupes qui étaient renfermés dans B, et la même que s’il y en avait un seul au lieu de cinq. En partageant les dix boules contenues dans l’urne A, en deux groupes de deux blanches et trois noires, on verra aussi que la probabilité d'en extraire une boule blanche est la même que si celte urne ne renfermait qu'un seul de ces deux groupes. Donc la probabilité d’extraire une boule blanche soit de A, soit de B, est la même que pour une troisième urne C, qui contien- • drait deux boules blanches et trois noires, et, par conséquent, la même pour A et pour B; ce qu’il s'agissait d'abord de prouver.

Maintenant , je suppose qu’une urne A contienne quatre boules blau-

blanches et trois noires, et qu’une urne B renferme trois boules blaucbes et deux noires; de sorte que le rapport du nombre de cas favorables à l'arrivée d’une boule blanche, au nombre total des cas égale-

A et j pour B. La seconde fraction excédant la première de , il y aura plus de raison de croire qu’une boule blanche sortira de B que de A. En effet, en réduisant ces deux fractions au même dénominateur, elles deviennent^ et ^ ; or, d’après ce qu’on ^ient de prouver, la probabilité de l’arrivée d’une boule blanche sera Ta meme pour A et pour une urne C qui contiendrait 35 boules, dont an blanches et i5 noires; elle sera aussi la même pour B, et pour une urne D qui renfermerait 35 boules, dont ai blanches et i4 noires; mais ces urnes C et D contenant l’une et l’autre un même nombre de boules, et D renfermant plus de boules blanches que C, il y a évidemment plus de raison de croire que l’on extraira une boule blanche de D que deC; donc aussi, l’arrivée d’une boule blanche est plus probable pour B que pour A; ce qui achève de démontrer la proposition énoncée au commencement de ce uuméro.

De celte mesure de la probabilité, il semble résulter que cette fraction doit toujours être une quantité commensurable; mais si le nombre de tous les cas possibles et celui des cas favorables à un événement, sont infinis, la probabilité ou le rapport du second nombre au premier, pourra être une quaulité incommensurable. Supposons, par exemple que s soit l’étendue d’une surface plane, et a celle d’une portion déterminée de ce plan; si l’on projette une pièce circulaire, dont le centre puisse également retomber sur tous les points de s, il est évident que la probabilité qu’il retombera sur un point de a, sera le rapport de a à r, dont les grandeurs peuvent ctre incommensurables.

(3). Dans les deux parties de la démonstration précédente, on a pris pour exemple des nombres déterminés de boules; mais il est aisé de voir que le raisonnement est général et indépendant de ces nombres particuliers. On a aussi supposé que l’événement dont on considérait la probabilité, était l’extraction d'une boule blanche, tirée d'une urne qui contient des boules blanches et des boules noires, de manière que le nombre de boules blanches représente celui des cas favorables à

ment possibles, soit - pour

l'événement, et le nombre de boules noires, celui des cas contraires. Pour rendre les raisonnements plus faciles à saisir, on peut, en effet, substituer toujours une pareille hypothèse à chaque question d’éventualité relative à des choses de toute autre nature. Si donc, E est un événement d'une espèce quelconque; que l’on représente para le nombre de cas favorables à son arrivée, p^r b celui des cas contraires, et par p la probabilité de E, la mesure ou la valeur numérique de cette dernière quantité, sera , d’après ce qu’on vient de démontrer ,

En même temps , si F est l’événement contraire à E , de sorte que , de ces deux événements, un seul doive nécessairement arriver, comme l'extraction d’une boule blanche on celle d’une boule noire , dans les exemples précédents ; et si l’on désigne par q la probabilité de F. on aura aussi

puisque les cas contraires à E, dont le nombre est b , sont les cas favorables à F. Il en résulte

p + qs=j,

c’est-à-dire, que la somme des probabilités de deux événements contraires, tels qu’on vient de les définir, est toujours égale à l’unité.

Lorsque nous n’avons pas plus de raison de croire à l’arrivée de E qu’à celle de F, leurs probabilités sont égales, et l’on a conséquemment p — q = ï- L’est ce qui a lieu dans le cas d’une pièce que l’on projette pour la première fois, et dont la constitution physique nous est inconnue; E étant alors l’arrivée de l’une des deux faces, et F celle de la face opposée. Au lieu d’un événement qui doit arriver ou ne pas arriver , E peut être une chose quelconque dont il s’agit de savoir si elle est vraie on fausse : a est alors le nombre de cas où nous la croyons vraie, et b le nombre de cas où nous la jugeons fausse ; p exprime la probabilité de la vérité de E, et q celle de sa fausseté.

En évaluant dans chaque exemple, soit d’éventualité, soit de doute et de critique, les nombres de cas favorables ou contraires à E et F, si

Ton a la certitude que ces nombres soient effectivement «et b. les fractions p et q seront les chances de E et F ; si cette évaluation résulte seulement des connaissances que nous avons sur ces deux choses, p et q ne sont que leurs probabilités, et pourront différer, comme nous l’avons expliqué , de leurs chances inconnues : il faudra toujours que tous ces cas favorables ou contraires, soient également possibles , soit en eux-mémes, soit d’après ce que nous en savons.

(4). La certitude est considérée, dans la théorie des chances, comme un cas particulier de la probabilité : c’est le cas où un événement n’a aucune chance contraire; elle est représentée dans le calcul par l’unité, t andis qu’une probabilité quelconque est exprimée par une fraction moindre que un, la parfaite perplexité de notre esprit entre deux choses contraires, par j, et l 'impossibilité par zéro. Cette notion de la certitude nous suffit; nous n'avons pas besoin de la définir en ellemême, et d'une manière absolue; ce qui serait d’ailleurs impossible; car la certitude absolue est au nombre de ces choses que l’on ne définit pas , et dont on peut seulement donner des exemples. Parmi les choses que l’on appelle certaines , il y en a en trçès petit nombre , qui le sont

• rigoureusement, telles que notre propre existence; quelques axiomes , non-seulement certains, mais évidents ; des propositions, comme les théorèmes de la géométrie, par exemple, dont on démontre la vérité,

* ou dont on prouve que le contraire est impossible. Les choses non contraires aux lois générales de la nature, qui nous sont attestées par de nombreux témoignages, et celles qui sont confirmées par une expérience journalière, n'ont cependant qu'une très forte probabilité, assez grande pour qu’on n’ait pas besoin de la distinguer de la certitude complète , soit dans les usages de la vie, soit même dans les sciences physiques et dans les sciences historiques.

Le calcul des probabilités a pour objet de déterminer dans chaque question d’éventualité ou de doute, le rapport du nombre des cas favorables à l’arrivée d’un événement, ou à la vérité d’une chose, au nombre de tous les cas possibles; de sorte que nous puissions connaître , d’une manière précise , d’après la grandeur de cette fraction plus ou moins approchaute de l’unité, la raison que nous avons de croire que cette chose soit vraie, ou que cet événement a eu ou aura lieu , et qdh nous puissions aussi , sans aucune illusion, comparer cette raison

de croire, dans deux questions de nature toute différente. Il est fondé sur un petit nombre de règles que nous allons exposer, et qui se démontrent en toute rigueur, comme on vient d’en voir un exemple, relativement à la proposition du n” a. Ses principes doivent être regardés comme un supplément nécessaire de la logique, puisqu'il y a un si grand nombre de questions où l'art de raisonner ne saurait nous conduire à une entière certitude. Aucune autre partie des mathématiques n'est susceptible d'applications plus nombreuses et plus immédiatement utiles. On verra, dans le second chapitre de cet ouvrage, qu'elles s’étendent à des questions abstraites et controversées de la .philosophie générale, dont elles donnent une solution claire et incontestable.

(5). Si pet p' sont les probabilités de deux événements Ect E', indépendants l’un de l’autre, la probabilité de leur concours ou d’un événement composé de ces deux-là, aura pour valeur le produit pp' .

En effet, je suppose que l’événement E soit l’extraction d’une boule blanche, d’une urne A qui contient un nombre c de boules, savoir, a boules blanches et c — a boules noires , et que E' soit l’extraction d’une boule blanche , d’une autre urne A' contenant d boules , dont a! blanches et c ' — d noires. D’après ce qui précède , on aura

pour les probabilités de E et E'. L’événement composé sera l'arrivée de deux boules blanches, l’une extraite de A , l’autre de A'. Or, si l’on tire au hasard une boule de chacune de ces deux urnes, toutes les boules de A pourront arriver avec toutes celles de A'; ce qui donnera un nombre cc' de cas également possibles. Dans ce nombre total , les cas favorables à l’événement composé résulteront des combinaisons de toutes les boules blanches de A avec toutes les boules blanches de A'; le nombre de ces cas favorables sera donc le produit ad. Par conséquent, la probabilité de l’événement composé aura pour valeur (n' 2 ) le rapport de ad à cc' t ou, ce qui est la même chose, le produit des deux fractions p et p'.

On verra de même que si p, p‘, p *, etc., sont les probabilités d uo nombre quelconque d’événepicnts E, E', E", etc., indépendants les uus

des autres, la probabilité de leur concours, ou d’un événement composé de tous ceux-là, sera le produit pp'p" etc. Cette proposition générale peut aussi se déduire du cas particulier d’un événement composé de deux autres; car, si le produit de p dp', ou pp', est la probabilité du concours de E et E', celle du concours de cet événement composé et de E' sera dj même le produit de pp' et de p", ou pp'p", celle du concours de ce second événement composé et de E'" sera le produit de pp'p' et de p'", ou pp'p'p'", et ainsi de suite.

Toutes les fractions p, p’, p", etc., étant moindres que l’unité, du moins quand aucun des événements E, E', E", etc., n’est certain, il s'ensuit que la probabilité de l'événement composé est aussi moindre que celle de chacun des événements dont il dépend. Elle s'affaiblit de plus en plus à mesure que leur nombre augmente; généralement, elle tend vers zéro, et serait tout-à-fait nulle ou infiniment petite, si ce nombre devenait infini : il n’y a d’exception que quand la série infinie des probabilités p, p', p", etc., se compose de termes qui approchent indéfiniment de l’unité ou de la certitude; leur produit, dans ce cas, a pour valeur une quantité de grandeur finie, moindre que l'uoilé. Si, par exemple, on désigne par a. une quantité positive, plus petite que l'unité, ou tout au plus égale à un , et que l’on prenne

p = <t, p — 1 — a‘, p"=*i.— j-, p' n = , — l,etc.,

pour les valeurs de pf p', p', etc.; leur produit, ou la probabilité de l’événement composé, sera égal, d’après une formule connue, à

isina7T, en désignant, à l’ordinaire, par tt le rapport de la circonférence au diamètre.

(6). Voici un problème relatif à la probabilité d’un événement composé, dont nous donnerons la solution pour exemple de la règle précédente.

Je suppose que l’on ait à retrancher l'un de l'autre deux nombres pris au hasard ; on deman’de la probabilité que la soustraction totale s'effectuera sans qu’on ail besoin d’augmenter le chiffre supérieur dans aucune des soustractions partielles.

Les chiffres supérieur et inférieur qui se correspondent pouvant

avoir chacun dix valeurs différentes, depuis zéro jusqu ag, il s'ensuit qu’il y aura cent cas distincts et également possibles dans chaque soustraction partjelle. Pour qu'elle se fasse sans augmentation du chiffre supérieur, il faudra que celui-ci surpasse le chiffre inférieur, ou qu’il lui soit égal. Or, cela aura lieu dans 55 des 100 cas possibles, savoir, dans un seul cas quand le chiffre supérieur sera zéro, ifcins deux cas quand il sera l’unité, .... dans dix cas lorsqu'il sera le chiffre 9; ce qui forme une progression arithmétique de 10 termes, dont la somme est 5 10(1 -f- 10), ou 55 . La probabilité relative à chaque soustraction partielle sera donc le rapport de 55 à 100; par conséquent , la probabilité que les soustractions partielles s’effectueront toutes à la fois sans augmenter le chiffre supérieur, aura (o, 55 / pour valeur, en désignant pari leur nombre, ou celui des chiffres supérieurs ou inférieurs.

S'il s'agit, par exemple, de retrancher l’une de l’autre les parties décimales des logarithmes pris dans les tables de Callet , on aura

c'est-à-dire une probabilité comprise entre

On obtiendrait egalement (o, 55 )‘ pour la probabilité d’ajouter l’un à l’autre deux nombres de i chiffres, sans qu’aucune des additions partielles donne une unité à retenir.

(7). Si E, E', E", etc., sont les arrivées successives d’un même événement E, et que leur nombre soit m, le produit pp'p" e te. se changera dans la puissance pT qui exprimera, par conséquent, la probabilité que E arrivera m fois dans un pareil nombre d’épreuves, pendant lesquelles la probabilité de cet événement demeurera constante et égale àp.Demême, EetF étantlesdeuxévénementscontrairesdontlesproba- • hilitéssont p et q, de sorte qu’on aitp+<7= 1 (n° 3 ); si ces chances demeurent constantes pendant un nombre m-f- n d’épreuves, le produit p”q‘ sera la probabilité que E arrivera m fois et F les n autres fois , dans un ordre déterminé; ce qui se déduira de la règle du n" 5 , eu supposant le nombre des événements E, E', E'”, etc., égal à m -f-w, et prenant E pour m d’entre eux et F pour les n autres. L’ordre dans lequel ces événements E et F devront se succéder n’influe pas sur cette probabilité p“q ’, de l’événement composé : elle est la même pour que E arrive dans les m premières épreuves, et F dans les n

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 5g

dernières, ou vice versa; on bien encore, lorsque ces événements devront être mêlés, d’une manière déterminée. Mais si l’ordre que doivent suivre E et F n’est pas donné, et qu’on veuille seulement que dans un nombre m + n d’épreuves, E arrive m fois et F arrive n fois, dans un ordre quelconque , il est évident que la probabilité de cet autre événement composé surpassera celle qui répond à chaque ordre déterminé ; elle sera , en effet , un multiple de jTq‘, dont on donnera plus loin l'expression générale.

Lorsque les chances de E et F sont égales, on a p = q = j ; et si l’on faitm -f - n = n, la probabilité de l'arrivée, dans un ordre déterminé, de E un ncùpbrc m de fois, et F un nombre n de fois, deviendra (££; en sorte que non-seulement elle ne dépendra pas de l’ordre de ces arrivées, mais elle sera aussi indépendante de leur proportion , et ne dépendra plus que du nombre total p. des épreuves. Ce cas est celui d'une urne contenant des nombres égaux de boules blanches et de boules noires, dans laquelle on fait p tirages successifs, en remettant à chaque fois daos l’urne la boule qui en est sortie. La probabilité d’amener p boules blanches est égale à celle d'amener m boules blanches et n boules noires dans un ordre déterminé. Quand P c est un nombre considérable , elles sont l'une et l’autre très petites, mais non pas moindres l’une que l'autre. Avant que les tirages aient commencé, on n’aurait eu ni plus ni moins de raison pour croire, soit à l’arrivée d’une suite de boules de la même couleur, soit à l’arrivée d’un pareil nombre de boules , les unes blanches et les autres noires , dans un ordre que quelqu’un eût assigné arbitrairement. Cependant, si nous voyons sortir successivement de l’unie, par exemple, trente boules d’une même couleur, et que nous soyons bien certains que les boules blanches et les boules uoires y sont constamment en nombres égaux; ou bien si nous voyons arriver tout autre événement qui présente quelque chosç de symétrique, tel que la sortie de trente boules alternativement blanches et noires, celle de quinze boules blanches suivies de quinze boules noires, nous sommes portés à croire que ces événements réguliers ne sont pas l’effet du hasard, et que la personne qui a tiré les trente boules connaissait la couleur de chacune d'elles, et les a choisit» dans une vue particulière. Dans de pareils cas, l’intervention d’ane cause autre que le hasard a effectivement une probabilité

4o RECHERCHES

très approchante de la certitude, ainsi qu’on le verra par la suite.

(8). La puissance q' est la probabilité que l'événement F a rivera n fois desnite, sans interruption; en la retranchant de l’unité, on aura donc la probabilité de l’événement contraire, c’est-à-dire, la probabilité que dans n épreuves consécutives, l’événement E arrivera au moins une fois; par conséquent, si l’on désigne par r la probabilité de cet événement composé, et qu'on mette i — p au lieu de q, il en résultera

En égalant à j cette valeur de r, on déterminera le nombre d’épreuves nécessaire pour qu’il y ait la même raison de croire que E arrivera ou qu’il n'arrivera pas, ou autrement dit, pour qu’il y ait un contre un à parier que E arrivera au moins une fois. On aura alors

loga

log ( i — p)

Si E est, par exemple, l’arrivée d’un six, ou celle d’une autre face déterminée, quand on projette un dé à six faces, on aura

p—'ï, n= 3,8oi8....;

en sorte qu’il y aura de l’avantage à parier que six arrivera au moins une fois en quatre coups , et du désavantage à parier qu’il arriverait en trois coups. Si l’on projette deux dés à la fois, et que E soit l’arrivée du double-six, on aura

ce qui montre que l’avantage sera pour le joueur qui pariera d’amener un double-six en vingt-cinq coups, et le désavantage pour celui qui parierait de l’amener en vingt-quatre coups.

L'expression générale de r nous fait voir que quelque faible que soit la chance p d’un événement E, potfcvu qu’elle ne soit pas tout-à-fait nulle , on peut toujours prendre le nombre n des épreuves, assez grand pour que la probabilité que E arrivera au moins une fois, approche aussi près qu’on voudra de la certitude ; car quelque peu différente de l’unité que soit la fraction 1 — p, on peut toujours prendre

I exposant n assez grand pour que la puissance (1 — p) a tombe andessous d une fraction donnée. C’est en cela que consiste la différence essentielle entre une chose absolument impossible et un événement E dont la chance p est extrêmement petite : la chose impossible, n’arrivera jamais, et l’événement aussi peu probable qu’on voudra, arrivera toujours, très probablement, dans une série d’épreuves assez longtemps prolongée. * . .

Par la formule du binôme, ou a .

— p s +etc.;

si n est un très grand nombre, et qu’on remplace n — 1, n — a, etc., par », on aura , à très peu près , -

(* ~ P)‘ = 1 + n P *+• 7^; 4 - 4 - etc. ;

série qui est le développement de e~‘ r , en désignant par e la base des logarithmes népériens; il en résultera donc

pour la valeur approchée de r. Dans le cas de p= i, cette valeur sera

le rapport de e— 1 à e. Par conséquent, si la chance d’un événement E est l’unité divisée par un très grand nombre n, il suffira d’un pareil

nombre n d’épreuves pour qu’il y ait une probabilité^- 1 , ou à peu

près égale à |, que E arrivera au moins une fois.

(9). Lorsque deux événements E et E, , ne sont point indépendants, c’est-à-dire, lorsque l’arrivée de l’un influe sur la chance de l'autre, là probabilité de l’événement composé de E et E, est égale à un produit pp, dans lequel /^représente la probabilité de l’événement E* qui doit arriver le premier, et p, exprime la probabilité que E étant d’abord arrivé, E, arrivera ensuite.

Ainsi, a et b désignant les nombres de boules blanches et de boules noires contenues dans une urne A, etc leur somme n-f- b-, si E est l’arrivée d’une boule blanche à une première épreuve, et E, celle d’une boule blanche à un second tirage, sans qu’on ait remis la boule sortie

. ‘ ... .jüF ‘ ~ 6 ’ .

âü premier, on aura d'abord

mais au second tirage, le nombre total des boules sera réduit à c — r , et celui des boules blanches à a — 1, on aura donc

pour la probabilité de la sortie d’une nouvelle boule blanche; et. par conséquent .