Chapitre 4. 1.11. fé

Dans tout ce chapitre, nous désignerons les variables par les lettres x, y, z, f, s; au contraire, les lettres a, b, c, d, seront toujours mises à la place de chiffres déterminés.

Remarquons qu'il faut essentiellement distinguer les nombres et les chiffres; un chiffre est un individu d’une forme déterminée et donnée: 0, par exemple; c'est, si l’on veut, une simple figure, un dessin; un nombre, c’est n'importe quel individu; une lettre x sera désormais un nombre; ce n’est pas un chiffre. (Il est d’ailleurs clair que tout chiffre est un nombre).

1.12. a étant le chiffre 0--1-1-1...-!- 1, 1 étant répété n fois, nous désignerons par x a la fonction descriptive x +1 +...+1 — 1 étant répété n fois, de manière que 0 +a—a.

On peut aussi définir x a en disant que x +0 représente x, et que x (a 1) représente (x a) +1.

Remarquons que nous pouvons parler de la somme de deux chiffres; c’est un autre chiffre que la définition précédente permet immédiatement de construire.

Remarquons encore que, dans la théorie étudiée, toutes les propositions éléments (voir Ch. 3, 1.4) sont de forme a—b, ou x—a—b, ou x--a—y—+b (nous répétons que x et y sont des variables déterminées, a et b, des chiffres déterminés).

1.13. Nous dirons que deux chiffres sont égaux, s’ils sont identiques. Nous dirons que le chiffre a est plus grand que le chiffre b, et que b est plus petit que a, si a contient plus de fois le signe +1 que b.

Si le chiffre a est plus grand que le chiffre b, ou lui est égal, nous appelons a —b un chiffre obtenu en enlevant du chiffre a, autant de signes 1 qu’en contient le chiffre b; on dira qu’on obtient ce nouveau chiffre en retranchant b de a.

1.14 Toutes ces définitions, nous le répétons, sont applicables uniquement à des chiffres déterminés, et indiquent des propriétés et des opérations qu’on pourra effectivement reconnaître et effectuer.

Nous allons avoir désormais à employer des propositions contenänt des chiffres indéterminés (elles ne sont, évidemment, utilisées dans chaque cas particulier qu'avec des chiffres déterminés). Il nous arrivera de démontrer certaines de leur propriétés, en concluant du cas où un de ces chiffres vaut a, au cas où il vaut a--1, donc par récurrence; ceci est légitime (voir l’Intro-

duction) car, chaque fois que l’on aura une proposition avec des chiffres déterminés, le raisonnement conduira, en l'itérant un certain nombre de fois, à la vérification de la propriété étudiée.

1.2. Envisageons tout d'abord une théorie dans laquelle nous n’emploierons pas de variables apparentes, pour laquelle donc les seules règles de raisonnement seront celles énoncées au chapitre 1; cette théorie possèdera les hypothèses suivantes: d’abord les cinq hypothèses: