Chapitre

Puis nous conviendrons que:

Règle d’Implication. Si p)q et p sont des propositions vraies, q en est une autre.

Pour indiquer qu'une proposition est vraie, nous la ferons précéder, suivant Russell, du signe -— (P. M. p. 8), suivi de points de deuxième sorte, l'étendue de ce signe étant toute la proposition vraie.

2.1. Une proposition vraie dans laquelle il n’y a que les signes jusqu'ici introduits (ou d’autres définis à partir de ceux-là) sera dite dans tout le cours de cet ouvrage, une identité propositionnelle de première espèce (ou, si on n’a pas d’ambiguité à craindre, une identité).

La série des propositions intermédiaires nécessaires à l’obtention d’une proposition vraie, est dite la , démonstration” de cette proposition.

2.11. Cette manière de présenter la théorie des indentités de première espèce est due à Russell et Whitehead (PAMAS 1):

Nous renverrons, dans les prochains paragraphes, aux P. M. pour vérifier qu'une proposition déterminée est vraie, sans en reproduire ici la démonstration.

2.2. Nicod.!) a simplifié cette théorie. D'abord, il montre qu'on peut supprimer la proposition primitive 3, si l’on remplace la deuxième par:

F.qaD.qvp Pp

Mais on peut encore simplifier; partons, comme signe fondamental, du signe |.p|q sera une proposition, et s’énoncera: ,p et q sont incompatibles”; à partir de là, on définit les anciens signes:

p.—=.pl|p Df A nt à A NE RO 2 à pDq.=.pl®a Df p.q.—=.®.p|q Df

On a une proposition primitive:

is pl.alr:l::él.fléilieslaq.l:pls.l.ps Pp

1) Proceedings Cambridge philosophical Society. Vol. 19, 1917. 2?) pla se définit à partir des anciens signes par ©p V@g.

15 — Chapitre 1. 3.1.

et une règle: Si p..q.r est vraie ainsi que p, il en est de même de r.

À partir de là, il démontre les cinq Propositions primitives de Russell et Whitehead et la règle d'implication !).

3 Conséquences.

Nous allons déduire quelques conséquences de cette théorie.

3.1. Soit A(p;, p:,..., p,) une proposition vraie formée avec les propositions-éléments p;, p:,..., p.. Si l'on remplace Pis P2»--. P, Par d'autres propositions, cette proposition reste vraie.

On obtiendrait en effet la démonstration de cette nouvelle proposition en remplaçant dans toute la démonstration de l’ancienne pi; Pr... p, par leurs nouvelles valeurs.

Cette règle pour obtenir des propositions vraies est dite la ,règle de substitution”.

3.2. Nous disons que deux propositions p et q sont équivalentes (ou identiques) si: —-.p=—aq. Cette rélation est réciproque et transitive, car de: ——.p—aq on déduit -—.q=p (P.M. 421 et 3.26) et de | —.p=—=g et |-.q=r on déduit —.p=r (P. M. 4.22 et 3.26).

3.21. Quand deux propositions sont équivalentes, la condition nécessaire et suffisante pour que l'une soit vraie, est que l'au‘re le soit.

(car si —pet|—.p=g, c'est-à-dire, d’après (1.2) —.p )q.q Dp on déduit (d’après P. M. 3.26), —.p )q donc d’après la règle d’implication |—q même; raisonnement en échangeant p et q).