Chapitre 5. 1.11. ere

Dire-quer(E x;, xs Erm)léstiunetype rattaché aune proposition P, revient à dire, comme on voit, qu'on peut, grâce aux règles de passage, amener la proposition P sous la forme: (+ x).P;x; puis P,x: sous la forme (+ x:).P, x et ainsi de suite; en quelque sorte, cela revient à dire qu’on peut extraire successivement de la proposition les symboles:

(a) (CH x), (HE x,).

1.12. Rappelons la remarque suivante; (démontrée au Ch40726:412).

Lemme 1. 7J/ existe des types attachés à la proposition b((+tx)Ax), (®p étant une fonction propositionnelle de première espèce en p et pouvant d'ailleurs contenir d'autres propositions éléments), tels que x soit la variable située la plus à gaucbe.

1.2. Nous allons maintenant utiliser les règles de passage pour réduire au maximum l'étendue de x. Pour réduire successivement cette étendue, on se servira des deux faits suivants, qui résultent des règles de passage: Si l'étendue de x est © ® x, on peut la réduire à n'être plus que ® x; si l'étendue de x est ® xvp ou pv®x, on peut la réduire à n'être plus que ® x (p ne contenant pas x). On arrivera ainsi à obtenir une forme de la proposition où l’étendue de x sera une proposition ou bien élément, ou bien de forme xwW x (D x et Wx contenant x effectivement).

Partons alors d’une proposition déterminée P; prenons le symbole de variable apparente situé le plus à droite et réduisons le plus possible, en opérant comme ci-dessus, son étendue: on a ainsi son éfendue minimum. Ceci fait, recommençons la même opération sur le deuxième symbole de variable apparente à partir de la droite; nous recommencerons successivement jusqu’à ce que nous ayons pris le symbole de variable apparente situé le plus à gauche.

La proposition a alors pris ce que nous appellerons sa forme canonique, caractérisée par le fait que les étendues de toutes les variables sont minima.

Par exemple:

(x) (ay) (2): D x.Wxy.vodDz a pour forme canonique:

(x).Dx.(4y)V'xy.v(z)Dz

—187 — Chapitre 5. 1.2.

l'étendue minimum de z est d z; celle de y est Wxy; celle de x est Dxv.(4y)Vxy.

Remarquons qu'il suffit d'envisager chaque règle de passage pour se convaincre que la forme canonique de deux propositions dont l’une résulte de l’autre par les règles de passage, est la même.

1.3. Il est bien évident que si l’on considère les étendues de deux symboles différents, ou bien ces étendues n’ont aucun signe en commun, ou bien une d’entre elles est comprise dans l’autre. Nous appellerons variables dominantes d’une proposition celles dont l’étendue du symbole n’est comprise à l’intérieur de l’étendue du symbole d'aucune autre.

Par exemple, dans la proposition ci-dessus, x et z sont dominantes.

Lemme 2. x,,x:,...,x, étant les variables dominantes d'une proposition, D; x, Ps x»,..., D x, leurs étendues minimum respectives, une proposition mise sous forme canonique peut s'écrire: A[(+ x1) Pi x1, (FE 42) Do x,..., (x) D,x,l, À étant une fonction propositionnelle de première espèce.

On remarquera d’ailleurs que si ce lemme est vrai, on pourra donner aux x; une forme semblable, et ainsi de suite.

Ce lemme résulte immédiatement du fait que, en dehors des étendues des variables dominautes, une proposition mise sous forme canonique ne comprend que des signes © et y. Les étendues des x, n’empiétant pas, comme on vient de la voir, la proposition est une fonction propositionnelle de ces étendues et ce ne peut pas en être une fonction propositionnelle de deuxième espèce d’après ce qui précède.

1.4. Nous pouvons alors définir ce que nous appellerons le schème d’une proposition. Ce sera une figure composée de lettres, de signes et d’accolades, que nous définirons comme suit par récurrence sur le nombre de variables apparentes. D’abordle schème d’une proposition élémentaire (Ch. 2, 1.1) sera considéré commeinexistant.

Puis le schème de la proposition P (qu’on peut mettre, d'après ce qu’on vient de voir, sous la forme A [(+ x:) D, x, (TE x,) D, x] les x, étant des variables dominantes dans les ®,x; correspondants) s'obtiendra à partir des schèmes des propositions D, x, Po xs... P,x, de la manière suivante: les schèmes de

ces propositions étant des figures S,,S,,...,8, le schème de P sera:

SEX] {S1 REX {So

ce IE

n L'ordre des x:,,x4:,...,x, sera d’ailleurs considéré comme indifférent; ces variables seront dites les variables dominantes du schème.

Par exemple, le schème de la proposition déjà considérée en 1.2 est:

Haley celui de: Fe (4x):(y).Dxy.v.(z). D xz:v.(x y"). D x’ y’ sera:

al Cr Z

Lét+y Nous conviendrons de supprimer l’accolade, quand elle séparera deux variables consécutives sur une même ligne, comme dans le premier schème, que nous écrirons:

ray SZ

Nous voyons donc que le schème d’une proposition est une figure composée de lettres précédées de signes —<- ou —, qui seront les variables apparentes de cette proposition, le signe les accompagnant indiquant si elles sont générales ou restreintes (Ch. 2, 3.101), chaque lettre étant suivie d’une autre à sa droite ou étant suivie de plusieurs autres réunies par une accolade. Dans ce qui suivra, une semblable figure sera toujours appelée un schème !).

Nous appellerons ligne du schème une suite de lettres du schème accompagnées de leur signe, telles que chacune soit, dans le schème, à la droite de la précédente ou soit comprise dans l’accolade de la précédente. Toute ligne du schème peut donc

1) Il est indiqué de convenir que deux lettres d’un même schème sont toujours différentes,

— 89 — Chapitre 5. 1.4.

être considérée comme un type, qui sera dit le ,fype” de cette ligne (voir 1.1).

Ainsi, les lignes du schème de la proposition considérée ci-dessus sont: —x y, —x<+z, Lx +.

En particulier, un type est un schème d’une seule ligne.

1.41 On voit immédiatement d’après le lemme 2, et la définition de schème, que la condition nécessaire et suffisante pour qu’une variable x soit sur une même ligne €u schème que y, et à sa droite est que l’étendue minimum de x soit comprise dans celle de y.

Nous dirons alors que la variable y , domine” la variable x.

Nous dirons de manière analogue qu'une variable ÿ est »Supérieure” à une variable x, si l’étendue de x est comprise dans celle de y (donc le fait que x domine y est équivalent à celui que x est supérieure à y, dans le cas où la proposition a la forme canonique (1.2).

On voit sans peine que, si x domine y, y ne peut être supérieure à x.

1.42. Nous appellerons fype déduit du schème tout type dont les variables sont les lettres du schème et tel que ces lettres soient situées dans le même ordre dans ce type et dans une ligne quelconque du schème. C’est ainsi que, dans l’exemple considéré ci-dessus, on obtient tout les types déduits du schème en écrivant sur une même ligne les cinq signes — x, y, +2, x", +" de manière que x’ soit à gauche de y’, et x à gauche de y et de z (il y a vingt combinaisons possibles).

On peut définir les types déduits du schème par le fait que si une variable x domine une autre variable y, x est à gauche de y dans ce type.

1.43. Avant de passer à la démonstration du théorème final, remarquons que le schème de la proposition obtenue en enlevant un symbole de variable apparente dominante, se déduit du schème primitif en enlevant cette variable dans le schème (cela résulte sans difficulté de la définition du schème par récurrence et du Lemme 2).

1.5. Théorème. Les types attachés à une proposition sont les mêmes que les types déduits du schème de cette proposition.

Ce théorème, qui résout le problème posé au début du

paragraphe, se démontre comme suit: