Recherches sur la theorie des surfaces elastiques;

Il ,es phénomènes acoustiques, dont on doit la connaissance à M. Chladni, ont dirigé l’attention des géomètres vers la question des surfaces élastiques.

Malgré leurs travaux, il existe encore quelque embarras dans le choix des principes qui doivent servir de base à toute cette théorie.

Deux hypothèses essentiellement différentes ont été proposées. L’une d’elle a pour appui un nom justement célèbre; c’est une forte raison de se défier de celle qui m’appartient : aussi ai-je fait tous mes efforts pour y renoncer.

Je sens que j’ai besoin de m’étayer d’un jugeriient étranger. Il ne me reste que ce moyen de dissiper le doute qui me poursuit au milieu des recherches que j’ai entreprises. En exposant mon sentiment, j’y joins mes raisons, afin que le public éclairé les pèse, et m’apprenne à en mieux juger.

Si je prends quelquefois le ton affirmatif, c’est uniquement pour m’affranchir de l’expression fatigante du doute. Il suffit d’avertir une fois le lecteur que, bien loin de prétendre fixer son opinion, je sollicite de sa part l’examen critique de la mienne; On me pardonnera, sans doute, de ne dissimuler ensuite aucun des avantages que je crois reconnaître dans mon hypothèse.

Aussitôt que les premières expériences de M. Chladni me furent connues, il me parut que l’analyse pouvait déterminer les lois auxquelles elles sont assujetties. Mais j’eus occasion d’apprendre d’un grand géomètre , dont les premiers travaux avaient été consacrés à la théorie du son, que cette question contenait des difficultés que je n’avais pas même soupçonnées. Je cessai d’y penser.

A l’époque du séjour à Paris de M. Chladni, la vue de ses expériences excita de nouveau ma curiosité. J’étudiai le Mémoire d’Euler sur le cas linéaire, non pas certainement dans rétention de concourir au prix extraordinaire que l’Institut proposa alors, mais avec l’unique désir d’apprécier les difficultés dont les termes mêmes du programme me renouvelaient l’idée.

Dans le cas linéaire, les forces d’élasticité sont supposées proportionnelles à la raison inverse du rayon de courbure. L’hypothèse qui donne au lieu de la raisôn inverse du rayon de courbure d’une simple

courbe, la somme des raisons inverses des rayons des deux courbures principales d’une surface, me frappa par son anqlogie et par sa simplicité.

Ni le sentiment de mon incapacité, ni le défaut d’habitude du calcul, ni le peu de temps qui me restait jusqu’à l’époque du concours (octobre 1811), ne purent m’empêcher d’adresser à l’Institut un Mémoire, dans lequel je proposais l’hypothèse que j’avais imaginée. Je sentais dès-lors combien cette hypothèse était digne d’attention, et je mettais le plus grand empressement à la soumettre au jugement de l’Académie.

J’avais commis des erreurs graves ; il ne fallait qu’un simple coupd’œil pour les apercevoir; on aurait donc pu condamner la pièce sans prendre la peine de la lire. Heureusement, un des commissaires, M. de Lagrange, remarqua l’hypothèse ; il en déduisit l’équation que j’aurais dû donner moi-même, si je m’étais conformée aux règles du calcul.

Quand je sus que ce grand géomètre, qui avait paru jusque-là frappé des difficultés de la question, semblait avoir bien auguré de l’hypothèse que j’avais proposée, elle acquit à mes yeux un nouveau degré d’importance.

La première vue de l’équation augmenta encore mes espérances,* elle remplissait en effet toutes les indications que l’observation des phénomènes m’avait déjà fournies sur les propriétés que devait réunir l’équation cherchée.

La Classe avait de nouveau remis la question au concours, en accordant cette fois un délai de deux années.

J’envoyai, avant le i er octobre i 8 i 3 , un Mémoire dans lequel se trouve l’équalion déjà connue, et aussi les conditions des extrémités déterminées à l’aide de l’hypothèse qui avait fourni l’équation. Ce Mémoire est terminé par la comparaison entre les résultats de la théorie et ceux de l’expérience.

J’eus occasion de faire remarquer, contre l’opinion énoncée au programme, qu’il s’en fallait beaucoup que les lignes de repos observées par M. Chladni fussent toujours analogues aux nœuds de vibration des cordes vibrantes. Je fis voir que cette analogie n’a lieu que dans les cas où, à raison de la nature de l’intégrale, toutes les lignes de repos satisfont aux conditions des limites.

La Classe fit mention honorable de mon Mémoire, et accorda son approbation à la comparaison entre la théorie et l’expérience. L’équation qui se trouvait justifiée par cette comparaison n’avait pourtant pas été encore démontrée. La démonstration de l’équation devint Je sujet

oo

( vij )

d’un troisième concours, dont le délai devait expirer le i et tobre i8i5.

Me sera-t-il permis de-faire remarquer que la question des surfaces élastiques avait dès-lors perdu une partie des difficultés mentionnées au programme (*)?

On était en possession d’une hypothèse qui introduisait deux dimensions dans le calcul. Si celte hypothèse n’était pas encore justifiée à priori, elle n’était au moins appuyée sur aucune simplification qui changeât Vétatnaturel des choses. Enfin, personne ne contestait que Véquation différentielle que j’attribuais au mouvement des plaques vibrantes, n’appartînt réellement à ce genre de vibrations, en envisageant leurs phénomènes tels que la nature les donne.

La difficulté semblait donc être réduite à démontrer, soit mon hypothèse, soit toute autre qui menât également à l’équalion connue. Peutêtre était-il à désirer aussi que l’hypothèse choisie conduisît immédiatement à la connaissance des conditions relatives aux limites.

Au mois d’août i8i4, un membre de la Classe lut un Mémoire sur les surfaces élastiques. L’auteur adopte une hypothèse nouvelle ; il la traite avec le talent qui caractérise tous ses ouvrages; et, en se bornant au cas des surfaces naturellement planes, il parvient à l’équation générale de ce genre de surface ; mais il remet à un autre temps la détermination des conditions auxquelles les limites doivent être assujetties.

Il résulte d’un théorème du à l’auteur même du Mémoire dont je viens de parler, que mon i^pothèse conduirait également à son équation générale.

(*) Programme inséré à la fin du Traité d’Acoustique de M. Chladni, page 355» a Cette différence essentielle entre les questions de mouvement, considérée, sous chacun » de ces points de vue, dans le simple cas linéaire, fait concevoir sur-le-champ ji qu’on doit trouver des différences de même espèce, et surtout une grande augmenta tation de difficultés , lorsqu’on veut introduire deux dimensions dans le calcul. . . » Et plus bas, page 356 : «Voilà tout ce que les géomètres ont pu faire sur les pro- » blêmes des corps sonores, considérés dans le cas de deux dimensions, et en introdui- » sant même des simplifications qui , on ne peut se le dissimuler , changent l'état n naturel des choses de manière que les résultats de l’Analyse n’y peuvent point être » appliquables. n Et même page • u On n a donc pas meme les équations différent » tielles du mouvement pour cette espèce de vibrations, en envisageant leurs plié*

” nomènes tels que la nature les donne ; et la seule recherche de ces équations n offrirait aux géomètres un sujet de méditations très intéressant, qui pourrait éga- » lernent contribuer aux progrès de la Physique et à ceux de l’Analyse, r

( vii i ) .

Cette identité de résultats semblerait devoir me garantii la ceitituce de la théorie que je'cherche à établir; mais cependant il reste encore, entre la doctrine de ce savant auteur et la mienne, des différences t essentielles pour que je ne croie paT devoir en déférer le choix aux

SL jTtentais vainement de renoncer à l’hypothèse que j’avais adoptée; elle résistait à toutes les objections par lesquelles j’essayais de la combattre. Je finissais par croire que cette hypothèse pouvait etre considérée

comme une conséquence immédiate de la définition meme de la force élastique, et qu’ainsi elle devait s’appliquer, à l’aide d’une généralisation convenable, au cas d’une surface naturellement courbe.

On avait paru se contenter de la théorie des plaques élastiques ; le Mémoire sur les surfaces élastiques se rapportait umquemeu

à ce genre de surfaces. .

Dans la pièce que j’adressai à l’Institut avant le i" octobre i8t5 , )e donnai une hypothèse plus générale que celle qui se trouvait dans mes précédera Mémoires. J’essayai dé démontrer ma nouvelle hypothèse, et je l’appliquai particulièrement à la recherche de l’équation des surfaces

cylindriques vibrantes. . ..

Je rendis compte d’un petit nombre d’expériences que ) avais tentees, dans l’espérance de vérifier cette équation. Déjà quelques faits lui paraissaient favorables;-ce pendant, je fis remarquer que, tandis que la théorie conduisait à croire que le son correspondant à une certaine figure nodale devait être plus grave qu’avant la courbure , il arrivait, au contraire que Îe son était plus aigu J’ai reconnu depuis que ce defaut d’accord tenait Tune erreur de signe relative au terme dépendant de la courbure dans fe choL duquel j’avais suivi, sans aucun examen, l’indication donnée ' par Euler ( M- de sono campanorum ).

1 La Classe accorda le prixà mon Mémoire; mais elle annonça pourtant nue ma démonstration ne lui avait pas paru entièrement satisfaisante.

Depuis cette époque, je me suis occupée, à diverses reprises, de a théorie des surfaces élastiques. J’ai multiplie les expériences, les calcus et les réflexions. J’avouerai que j’ai toujours cru voir de nouveaux moins

pour tenir à mon opinion. . n1l .

Je me disposais à publier mes raisons, lorsque M. Founer vo ^rendre connaissance de ma démonstration. Ce juge éclairé témoigna au’il préférait aux raisonnemens sur lesquels je m’appuyais, une démonstratioii purement géométrique; il me proposa pour modèle celle que

szïsr '“ i " r “ *"* po " r n,j,p ° w “ *» «• jüssssz f -*. p -

et surtout M Aai “ . SUr Ia mamere dont s’expriment Euler

ployés) Pavais t "'? range ( Mecan - analytique, Mém. sur les Ressorts comme . 3 t0ü]0 "' S cru 1 ue ^hypothèse n’avait été admise que mp «ne supposition purement arbitraire. Le Mémoire de Bernoulli

Je croyais qu’il m’etaitpermis de penser que, quelle que fût la démonstration que I on substituerait à la mienne, elle se trouverait assujettie à m : semer des idées équivalentes. En effet, aussitôt que j’eus bien saisi la ma" mere dont Bernoulli avait considéré la lame élastique, il me fm fecilê l

une T eSI ° n appllquau les mêmes P r ‘ nc 'P es aux surfaces, on obtiendrait une demonstrat'on géométrique de l’hypothèse qde j’avais proposé

C était un cadre nouveau dans lequel venait se placer l’ensemble des

démonstration 683 P " iS l ° n ^ s comme esseutiolles à celte

La théorie que je cherche à établir n’est pas encore connue du public.

,. . e démonstration de l’équation des plaques élastiques oui ait éié

pftr "• Æ£

ouj/aces élastiques; et,e ne puis me dissimuler que les princiers lesquels elle est appuyée, ne soient absolument inconciliables avec ceux ZT me trouve conduile à adopter. S’il s’agissait d’un auteur obscur je me botnerais a exposer la question telle que je la conçois. Loin de là’ e

ITZolT J m ,6 p malheUr de Ue pas pa * a ger l’opinion, a un tel droit Dronr ' ce ’ quel autorité attachée à son nom suspend encore mon

objection aueî” J ® cro,ra,s donc avoir caché au lecteur la plus forte

dis au’cllp i ffi° n puls f e Palre contre non hypothèse, si je ne lui avouais 1 1 <3 iffere entièrement de celle de ce savant auteur.

ans un preinier $ consacré à l’exposition des principes qui peuvent ervir de base a la théorie des surfaces élastiques, j’exposerai outre la demonstratton qui m’a été suggérée par la lecture du Mémoire de Ber-

présentée 6 qU i C 1 aVa,S d a j° ld ' magm< ’ c - La question se trouvera ainsi cette doubtT U ' SdeUX po,Dts de vue difïérens, etsi l’hypothèse est vicieuse, epieuye servira à en foire mieux remarquer la contradic-

tion. Je terminerai ce § en exposant les raisons qui m’ont empêchée d’adopter l’hypothèse opposée. Je n’ai pas cru pouvoir me dispenser d’entrer dans cette discussion, sans laquelle la question ne serait pas suffisamment éclaircie. On concevra aisément avec quelle répugnance j’ai du me décider à contredire les principes d’un auteur dont les talens m’inspirent la plus haute estime. S’il ne dédaigne pas de répondre à mes objections, je m’empresserai de rétracter les erreurs qu il aura signalées.

Je m’occuperai dans le second § de la recherche des termes généraux qui doivent conduire à l’équation des surfaces élastiques.

Après avoir ainsi établi les premiers principes de toute cette théorie, îe me bornerai dans le troisième § à en déduire l’équation des lames courbes et celle des surfaces cylindriques vibrantes. Mon but actuel étant uniquement d’appeler l’attention des géomètres sur le choix de l’hypothèse, j’ai dû chercher à obtenir d’abord une équation que l’experience pût justifier.

Dans le quatrième et dernier §, je rendrai compte de quelques experiences- et, malgré les nombreuses anomalies que je ne chercherai pas à dissimuler, j’ose espérer que les faits paraîtront favorables à la théorie.

Je me propose de publier dans la suite une comparaison plus détaillée entre la théorie et l’expérience; elle sera relative non-seulement au cas des plaques vibrantes, pour lequel j’ai obtenu depuis long-temps l’approbation de l’Académie, mais elle comprendra aussi celui des anneaux et des surfaces cylindriques, dont je ne présenterai en Ce moment que les premiers aperçus.

J I. Exposition des principes qui peuvent servir de base à la théorie des surfaces élastiques.

i. a La force élastique est une propriété ou puissance des corps,. )) au moyen de laquelle ils se rétablissent dans la figure et l’étendue }) qu’une cause extérieure leur avait fait perdre. » (D’Alembert, Encyclopédie, art. Élasticité ).

Il résulte de celte définition, que l’élasticité ne se manifeste dans les corps qui sont doués de cette force, que quand leur figure naturelle a été changée par l’action d’une cause extérieure. Je nommeraiy?^w/’e élastique

d’une surface celle qu’une cause extérieure l’aura forcée de prendre, et figure naturelle , celle que la même surface affectait avant l’action supposée.

En désignant par R, R' les rayons de principales courbures naturelles d’une surface, et par r, r' les rayons de principales courbures élastiques de la même surface, j’ai proposé de regarder l’action des forces d’élasticité qui agissent sur cette surface comme proportionnelle à la quantité

Je vais essayer de prouver la légitimité de cette hypothèse.

2 . Je crois inutile de reproduire ici la série des propositions à l’aide desquelles Bernoulli est parvenu à trouver l’équation de la ligne élastique naturellement droite; il suffît d’avertir que la démonstration de l’hypothèse relative à la ligne élastique naturellement courbe, démonstration qui va nous conduire à celle de l’hypothèse générale, doit être considérée comme une généralisation de celle que l’on pourrait extraire du Mémoire

de cet habile géomètre {Mémoires de L'Académie des Sciences , année 1705, p. 176 et suivantes).

Eu retenant, comme je le ferai toujours dans la suite de ce Mémoire, les dénominations indiquées n° 1, je me propose d’abord de démontrer que, s’il s’agit d’une lame élastique naturellement courbe, l’action des

forces d’élasticité sera proportionnelle à la quantité ^— p.

IKNC, 6 g. i ? représente la figure naturelle delà lame, EH son épaisseur, et EHB'G' un de ses élémens. Les lignes EH et B'G' prolongées, concourent au point M, centre du cercle osculateur. En désignant par e

I épaisseur et par R le rayon du cercleosculateur, on a donc EH=e,MH=R.

II faut observer que si la lame était étendue en ligne droite, son élément EHBG' prendrait la forme EHBG.

Supposons à présent que la même lame ait à supporter l’action du poids P, applique à une de ses extrémités NC, et qu’elle soit en même temps fixée par l’autre extrémité IK, de telle sorte que l'effort du poids P soit employé tout entier à changer la figure de l’élément EHB'G', l’équilibre s’établira entre le moment du poids P et la force avec laquelle l’élément EHB'G 7 sera à la fois étendu de Ja quantité du triangle B'SF et comprimé de la quantité du triangle SAG'. A cause du peu d’épaisseur de la lame, les bras de leviers AD, FC, sont considérés comme égaux entre eux. Par la même raison, les petites lignes AG', B'F, sont censées parallèles entre elles, et les côtés B'S, SA, sont regardés comme égaux

entre eux, aussi bien qu’à la moitié de la ligne EH, qui mesure l’épaisseur de la lame. 11 résulte de là que les triangles B'SF et SAG' sont semblables.

On vient de voir que la force à laquelle le moment du poids P fait équilibre, est proportionnelle à la quantité des deux triangles B'SF, ASG'; par conséquent, en regardant les lignes B'S, SA, comme constantes, la force dont il s’agit est proportionnelle à la somme des côtés B'F et C'A des deux triangles B'SF et ASG'.La proportion B'F-4-G'A:B'F :;B'G':B'S montre q,ue la même force est également proportionnelle au côté B'F du triangle B'SF. Si l’on prolonge les deux lignes EH, FA, elles se rencontreront au point ?n y qui est le centre du cercle osculateur; ou aura donc H/« = /•.

Les triangles semblables BSF, HwA, donnent la proportion..

BF : BS :: HA : H/n; on en tire BF =

Lorsque la lame conserve encore sa courbure naturelle, les triangles semblables BSB', HMG', fig. 1, donnent la proportion BB'^BS ::HG';HM;

BS x HG' HM

on en lire BB' =

, et on a B'F= BF — BB'== BS Q

I1A HG' \

H/n HM )’

HA diffère infiniment peu de IIG'. On peut donc faire HA=HG' =dz. On aura ainsi, en mettant pour BS ou B'S, Hm et PIN, leurs valeurs,

On a vu plus haut que la force à laquelle le moment du poids P fait équilibre, est proportionnelle au côté B'F du triangle B'SF; ainsi, en observant que dz représente ici l’élément de la courbe élastique, et que 1 épaisseur e est une quantité constante, on est mené à regarder la force dont il s’agit comme proportionnelle à la quantité ~ —

L hypothèse qui vient d’ètre démontrée est admise depuis long-temps. Euler en fait mention dans plusieurs de ses ouvrages, notamment dans son Mem. de Sono campanoiwn , tom. X, desMém. de St.-Pétersbourg.

Le seul cas traité dans ce Mémoire, est celui de l’anneau circulaire. On peut voir, n os 4 et 5 , que l’illustre auteur se contente d’établir, en prenant a pour le rayon de courbure naturelle , que l’angle d’inflexion est

égal à - L’équation à laquelle il parvient sera l’objet de quelques observations que je présenterai dans les $$ suivans.

3. il s’agit h présent de démontrer que l’action des forces d’élasticité sur un des points d une surface naturellement courbe, est proportionnelle à la quantité i+jL-^+jL).

Nous supposerons qu’une surface élastique de figure quelconque soit attachée fixément dans un ou plusieurs points de son contour; de sorte que la totalité des forces qui pourront agir sur elle, soit employée à faire changer sa courbure; nous supposerons en meme temps que cette surface ail à supporter l’effort d’un nombre quelconque de poids appliqués à différens points de son contour.

Quel que soit le nombre de ces poids et la manière dont ils seront distribues, on connaîtra leur effort sur un point donné de la surface. Si, en prenant ce point pour l’origine des trois coordonnées rectangulaires z »y etx, on décompose le moment de chacun des poids supposés, suivant les directions des mêmes lignes z,y et x.

ILen n’empêche de supposer que le plan des zx contienne la ligne de

plus grande courbure de la surface, tandis que le plan des zy contiendrait celle de moindre courbure de la même surface.

La somme des momens qui agît dans le plan des zr, peut être remplacée par le moment d’un poids unique, qui serait appliqué h l’extrémite de la courbe élastique comprise dans ce plan ; suivant ce qui a été démontré n° 2, la force à laquelle le moment du poids supposé fait équilibre, sera proportionnelle à la quantité-—

Le même raisonnement est également applicable à la somme des momens qui agit dans le plan des zjr\ en accentuant les r et R rejatifs aux moindres courbures élastique et naturelle , on trouvera aussi que la force à laquelle cette somme fait équilibre, est proportionnelle à la quantité

La force qui dans un point donné de la surface élastique , fait équilibré à la somme des momens de tous les poids appliqués aux difïérens poids de

la surface, est donc proportionnelle à la quantité ^ 4- ^—(xi + iT')'

/}. Pour arrivera la démonstration precedente, on a considéré la surface au moment même où l’action d’une cause extérieure la force échanger de figure. La démonstration que j’avais d’abord adoptéè, se rapporte à l’instant suivant; c’est-à-dire à celui où une cause extérieure quelconque ayant agi sur la surface, cette surface tend, en vertu de la force d élasticité dont elle est douée, à se rétablir dans la figure el l’étendue qui lui appartenaient avant l’action supposée.

Voici celte démonstration.

Quelle que soit la nature de la force que l’on considère, elle est proportionnelle à l’effet quelle produit ou qu elle tend à produire. Les forces d’élasticité tendent à rétablir les corps qui en sont doués dans la forme et l’étendue qu’une cause extérieure leur aurait fait perdre, cest-à-dire que ces forces tendent à détruire la différence qui existe entre la figure élastique et la figure naturelle des mêmes corps. Les forces d’élasticité sont donc proportionnelles à la différence dont on vient de parler, et la difficulté se réduit à trouver dans chaque cas la mesure de cette différence.

Dans le cas linéaire, le rayon osculateur fournit la juste mesuie de la courbure; la différence cherchée sera donc -— C est ce qui îésulte en effet de ce que la raison inverse du rayon de la courbure élastique j a us le point que l’on considère, exprime la courbure élastique, taudis

que la raison inverse du rayon de la courbure naturelle au même point, est également la mesure de cette dernière courbure.

Lorsqu’il s’agit d’une surface, la question est plus compliquée; car, suivant 1 observation d’Euler (Recherches sur la courbure des surfaces , Mém. de Berlin, pour 1760, p. 119) « .... puisqulon peut tracer par » chaque point d’une surface une infinité de directions, il faut connaître la courbure selon chacune, avant qu’on puisse se former une juste idée » de la courbure de la surface. Or, par chaque point d’une surface, on y> peut faire passer une infinité de sections, et cela non-seulement par » rapport à toutes les directions sur la surface même, mais aussi par » rapport à leurs inclinaisons différentes sur la surface. »

Nous considérerons l’ensemble des courbes qui résulteraient de la section d’un plan passant par le point donné d’une surface, et la coupant successivement non-seulement dans toutes les directions, mais encore dans chacune de ces directions, sous toutes les inclinaisons possibles.

La courbure d’une ligne courbe est exprimée par la raison inverse de son rayon de courbure; nous chercherons donc la somme des raisons inverses des rayons de courbures de toutes les lignes produites par les différentes sections de la surface.

Soit p le rayon de courbure de la courbe produite par une section normale, p p et p pf les rayons de courbure des courbes qui, ayant une tangente

commune aveu la première, sont produites par les sections inclinées de0 et tT 0 degrés; on aura— = —L:—fÙ f e t par conséquent,

1,1 COS 0 -É- COS Or — 0)

fp fp' ?

La somme des raisons inverses des rayons de courbures de toutes les courbes produites par les sections itrclinées étant nulle, nous n’aurons plus h nous occuper que des seules sections normales.

r et /•' étant comme à l’ordinaire les rayons de courbures principales de la surface; si p et p' sont les rayons de courbures produites par deux sections normales perpendiculaires entre elles, et A l’angle qtie le plan qui contient la courbe dont le rayon est f, fait avec le rayon qui contient la c °urbe dont le rayon est /’, nous aurons, en vertu des relations connues r

- = - sin*A -f- - cos*A, f r * r ’

L = i sin a (^f—A)-f- \ COS*(tT—À),

= - cos* A H- -, sin*A ;

et par conséquent..... ^ + 7 = r + ?'

Ainsi,- la somme des raisons inverses des rayons de courbures de toutes les courbes produites par les différentes Sections de la surjace , se réduit à la somme des raisons inverses des deux rayons de principales courbures de la même surface prise une infinité de fois. L’idée de l’infini ne se présente ici qu’à raison de la répétition d’une seule et même mesure, qui est en effet celle de la courbure de la surface. Cette mesure prise avant

et après l’action supposée d’une cause extérieure, donne.

> | 1 Ç j pour l’expression de la différence entre la courbure

'élastique et la courbure naturelle de la même surface..

Conformément à l’hypothèse proposée, les forces d’élasticité sont donc

proportionnelles à la quantité p -f- — (r*+- r^)*

5. Les deux démonstrations que l’on vient de lire ont entre elles une liaison évidente; car elles mènent l’une et l’autre à remarquer que, quelle que soit, par rapport aux plans de principales courbures, la situation des deux plans normaux dont on voudra considérer les sections , on obtiendra toujours, dans la première, la mesure d’une force égale à celle qui fait équilibre à la somme des momens de toutes les forces qui agissent sur la surface, et dans la seconde, une mesure pareillement égale de la différence entre la figure élastique et la figure naturelle de la surface.

Suivant l’esprit de la première démonstration , le choix des plans dont il s’agit influe sur les valeurs respectives des deux momens, dont la somme est toujours la même. En adoptant la seconde, une différence pareille se fait sentir entre les courbures respectives dont la considération mène à la mesure de la différence entre la courbure élastique et la courbure naturelle de la surface.

Parmi les différentes positions que I on peut donner aux deux plans normaux , il en est une fort remarquable, je veux parler du cas ou c acuti de ces plans ferait un angle de 45° avec les plans qui contiennent les principales courbures de la surface.

En effet, les formules du n'précédent,

-= - sin a A-{- 4 - cos*A,

\ = - cos a A -f- 4 - sin* A,

donnent

j - ?=( sin ‘ A - C0S ' A ) Q - ?)■

Si l’on prend A = 45 °, on aura cos*A = sin a A, et par conséquent ~ = 4 -;

On trouverait de même, en désignant par R, et R', les rayons de courbures des deux courbes produites par les intersections des plans normaux qui font l’angle de 4 5 ° avec ceux des principales courbures natu-

relies , = ^ on aura donc y— ~= y—

Conformément aux principes sur lesquels repose la première démonstration, il résulte de là que s'il arrivait que les plans de principales courbures naturelles de la surface, coïncidassent avec ceux de principales courbures élastiques de la même surface, les poids qui pourraient être appliqués aux extrémités des deux courbes élastiques dont les rayons de courbures sont g et p', devraient être égaux entre eux.

Dans l’une et l’autre démonstration, j’ai cherché à établir que la force qui fait équilibre à la somme des momens de tous les poids qui agissent sur un point donné de la surface, ou , ce qui est la meme chose , la force

d’élasticité qui tend à ramener la même surface à sa figure naturelle, est proportionnelle à la quantité y -f- y-En conservant les dé¬

nominations précédentes, on aura - -h y—- -J- jp) = 2 Çj

La force dont il s'agit sera donc la même que si elle était employée à changer la courbure d’une surface sphérique, dont le rayon serait R, en celle d’une autre surface également sphérique, dont le rayon serait p.

Ainsi, quoique la courbure d’une surface ne puisse être comparée à celle d’une sphère dans le sens absolu où l’on compare la courbure d une courbe à celle d’un cercle, il arrive pourtant que la quantité de courbure d’une surface peut être égale à la quantité de courbure d une sphère.

Je dis quantité de courbure., car de quelque manière que la courbure soit répartie autour du point donné de la surface , elle fera équilibre à la m ême quantité dynamique.

Au reste*je ne nie dissimule pas que celte manière d’envisager la cour-*

hure est entièrement nouvelle. Les géomètres décideront si elle doit etre adoptée.

6. Examinons h présent les principes émis par l’auteur du Mémoire sur les Surfaces élastiques (Mémoires de l’Institut, année 1812, seconde partie, p. 166 et suivantes).

On lit, p. 191 : « Or, quelle que soit la cause de cette qualité de la » matière (l’élasticité), elle consiste en une tendance des molécules des » corps à se repousser mutuellement, et on peut l’attribuer à une force » répulsive qui s’exerce entre ces points, suivant une certaine fonction » de leurs distances. »

La qualité de la matière dont il s’agit dans ce passage, me paraît être plutôt Veocpansibilité que Xélasticité. En effet, l'action des forces répulsives tend à éloigner chaque molécule des molécules voisines, et non pas à les ramener à la situation qu’une cause extérieure leur auiait fait perdre.

Si l’on conçoit qu’une surface dont tous les points matériels seraient doués de forces répulsives ait été dérangée de l’état dans lequel ces forces, par une cause que je n’entreprendrai pas dassigner, restaient inactives, la distance des points voisins a laquelle chacun de ces points tendra à se placer, dépendra, si je ne me trompe, de 1 étendue de leur sphère d’activité. Lorsque la sphère d’activité est égale pour chacune des molécules qui composent la surface, les forces répulsives tendront donc à placer chacune de ces molécules à une distance égalé des molécules voisines. Il me semble que celte condition ne pourra être remplie que quand la surface sera devenue sphérique ou plane, si elle est infinie.

Il résulterait de cette observation que l’hypothèse admise par le savant auteur du Mémoire que je viens de citer, tendrait à substituer a la notion de la force élastique, celle d’une force qui, sauf les casoùla figure naturelle de la surface serait sphérique ou plane et infinie , ne pourrait jamais ramener cette surface à la figure que l’action d une cause extérieure lui

aurait fait perdre. *

L’auteur borne ses recherches au cas de la surface élastique naturellement plane, et il est facile de voir, en poursuivant la lecture de son Mémoire, que l’hypothèse qu’il admet, mène à regarder les forces d élasticité qui agissent sur ce genre de surface , comme proportionnel es à la

quantité -— -p.

Je crois avoir démontré que ces forces sont proportionnelle à la quan-

ky j ... ,

l!té i + ' ; mais ;1 faut observer que puisqu’il ne s’agit ici que es simples plaques , la somme p 4" p» et la différence p p » des raisons inverses des deux rayons de principales courbures élastiques ont entre elles une dépendance telle, qu’une force qui tendrait a diminuer la . première de L,™®», ie.dr.il égeUme.l 1 dimie.e, 1. ; E.

effet, une telle force n’aurait épuisé son action que quand 1. su, face

devenue plane, c’est-à-dire que quand on aurait a la fois f o et o,

aussi a-t-on vu plus haut que le cas présent est un de ceux^ pothèse des forces répulsives, la surface peu etre 3 * ilé ,

turelle. Si, comme il me semble permis de le supposer ici, les quant > t I, et - — - , sont proportionnelles, les points intérieurs de la surface dans lesquels une force représentée par^ + ;„ tendrait à faire varier la même quantité i+p, seraient soumis aux mêmes conditions analytiques que les points intérieurs de la surface dans lesquels une force représentée par I l , tendrait à faire varier la même quantité - — p.

Celte manière d’envisager les quantités - + p et - p » est parfait

dis ^intégration par parties, on fait abstraction des termes qm passent en dehors du double signe SS, les deux intégrales SS (p + p)’ ^xdy , el ss (- — -Y kdxdy, dorment des résultats identiques.

On voit donc que, quand il s’agit d’une simple plaque, le choix de l’hvno thèse influe uniquement sur la détermination des conditions auxquelles les points de limites peuvent être assu^ltis. ll m a paru comm l’ai déjà dit, qu’en admettant 1 existence deshabile géomètre mené à supposer infime la surface p an . disg ;’ moM i es difficultés

dont je combats a regret les F>^>P es > \ exl ,émités. C’est ce que

que présenterait U recherche des conditions^

monti e e P assa contraire, situé sur le contour de la surface, ou

- * S V e P< nit t très peu éloigné la sphère d’activité de la force répulsive

» qu il en soit très peu > tlne portion

» autour de ce point ne sera plus complété , c est-a-dire, qu P

p) de son étendue ne renfermera pas de points de la surface. Alors les inté- » grales relatives à cl et <p, devront être prises dans d’autres limites; mais y) pour trouver l’équation différentielle de la surface élastique en équilibre, » il suffit de considérer les points intérieurs, situés à une distance quel- » conque de son contour; et l’on n’a besoin d’examiner ce qui arrive 7 > aux points extrêmes, que pour déterminer les forces particulières que » Ton doit appliquer aux limites de la surface pour la tenir en équilibre;

détermination très délicate, sur laquelle je me propose de revenir par 5 ) la suite, mais dont il ne sera pas question dans ce Mémoire. »

J’ai long-temps attendu que l’auteur publiât la détermination dont il s’agit ici; j aurais désiré, dans l’intérêt de la question, qu'il développât lui-même toutes les conséquences de l'hypothèse qu’il a adoptée. Abandonnée à mes seules réflexions, je me trouve exposée à présenter une théorie qui contrarie mes idées sous un point de vue défavorable. Peutetre meme le raisonnement suivant ne doit-il être attribué qu’à l’espèce de préoccupation qui m'a toujours attachée*, comme malgré moi, à l’hypothèse que j’avais d’abord imaginée.

Si une hypothèse contient tout ce qui est de la question, et qu’elle puisse en être regardée comme une véritable définition, il suffira d’introduire cette hypothèse dans le calcul, pour obtenir toutes les conséquences analytiques qui appartiennent à la solution de la même question. La détermination de l’état des points de limite de la surface, n’est pas plus étrangère à la question quecelle des points intérieurs de la même surface; l’intégration par parties doit donc donner à la fois les termes qui appartiennent aux limites et ceux qui entrent dans l'équation de la surface. J’avouerai que cette condition parait d’autant plus indispensable dans l’application, qu’il se trouve souvent des lignes de limites analytiques au milieu des parties vibrantes.

L’hypothèse que j’ai proposée remplit la condition dont il s’agit; et, dans les cas qui m’ont servi à établir la comparaison de la théorie avec l’expérience, l’état des points de limite n’a pas été moins justifié que celui des points intérieurs de la surface. Il semble résulter de là que mon hypothèse pourrait être regardée comme équivalente à une véritable définition de la force élastique. Au reste, une différence essentielle se fait remarquer entre les deux manières dont la nature de la force élastique a été envisagée; car, d’une part, si l’on se borne à admettre que ce genre de force soit une tendance des corps à reprendre la forme et l’étendue dont ils auraient été dérangés par l’action d’une cause exté-

rieure, il sera naturel d’attribuer la même tendance à chacun des points matériels qui composent le corps élastique, tandis que, de l’autre, si l’on veut que la force élastique soit due à une action et réaction, on ne pourra plus concevoir qu’elle soit propre à chacun des points matériels, considérés isolément.

La difficulté que présente, dans celte dernière hypothèse, la détermination des conditions relatives à l’état des extrémités, me semble pouvoir être expliquée par l’ob*servation précédente.

Une difficulté du même genre se fait encore sentir, lorsqu’à l’aide de la même hypothèse, on tente d’expliquer le fait suivant, mentionné dans le Mémoire envoyé pour le concours de janvier 1814.

Si, après avoir retranché une portion quelconque de la partie d’une plaque élastique, comprise entre la ligne nodale la plus voisine d.’une des extrémités, et cette extrémité, on remplace cette portion par une matière non élastique de même poids, et que l’on observe de la répartir également sur tous les points de la ligne de section, le son et la figure nodale correspondante, restent les mêmes qu’avant cette substitution; en sorte que la ligne nodale la plus voisine de la partie substituée s’en rapproche d’autant plus, que celte partie est plus considérable.

Le seul changement observé consiste dans la diminution de l’intensité du son et dans la plus grande largeur des lignes nodales.

Si l’on admet mon hypothèse, ce fait me semble facile à expliquer ; car chacun des points matériels qui composent la plaque, étant doué d’une force propre , en vertu de laquelle ils tendent à reprendre leur situation naturelle, il suffit que ces points restent soumis aux mêmes conditions extérieures, pour qu’ils continuent à se mouvoir de la même manière, La position relative des points matériels conservés, ne peut éprouver aucun changement par la substitution opérée; il doit donc suffire de choisir le même point d’appui et d’appliquer l’archet à un même point pour déterminer sur la plaque, soit après, soit avaut la substitution, un cas de vibration donné, à l’exclusion de tous les autres.

La seule différence qui doit résulter de la substitution dune matière inerte, est 1 affaiblissement du mouvement de vibration; car ce mouvement se trouve gêné par la ténacité de toute substance susceptible d’adhérer à la plaque. La moindre intensité du son et le plus de largeur des lignes nodales sont des effets inséparables ;*ils manifestent également a uaiblissément du mouvement.

° rs qu on veut, au contraire, que la force élastique dont chaque mole-

cule est douëe, soit due à des forces répulsives, comment concevoir que la substitution de molécules auxquelles on ne peut plus attribuer de pareilles forces, ne changent pas les conditions du mouvement de la plaque?

Telles sont les difficultés qui m’ont toujours embarrassée. Avant de les publier, j’ai mis tous mes soins à les faire disparaître , et ce n’est qu’après en avoir perdu l’espérance, que je me suis enfin décidée à les soumettre au jugement des géomètres.

J’espère que le savant auteur dont j’ai combattu l'hypothèse, me pardonnera d’avoir eu recours au seul moyen qui puisse dissiper les doutes qui me restent encore. Je sens qu’il appartient bien plus à lui qu’à moi de fixer l’opinion dans une matière si difficile; aussi, renoncerai-je sans peine à la théorie que je viens d’exposer, s’il la jugeait défectueuse.

INous allons nous occuper à présent de la recherche des termes qui, étant intégrés par parties, doivent donner à la fois, et l’équation générale des surfaces élastiques naturellement courbes , et les conditions auxquelles les limites des mêmes surfaces se trouvent assujetties.

{ 2. Recherche des termes qui doivent conduire a l’équation de la surface élastique.

7. Pour obtenir le terme dû à l’action des forces d’élasticité, nous supposerons, conformément à ce qui a été démontré n° 5 3 et 4, que quand il s’agit d’une surface, cette action est proportionnelle à la quantité

L’action des forces d’élasticité tend à diminuer la quantité 7 + p, qui

est proportionnelle à la courbure élastique de la surface. Le moment des forces d’élasticité qui agissent dans chacun des points de la même surface , sera donc+ + R')] ^ (r /)*

Avant d’aller plus loin, jl faut observer que l’intensité des forces d'élasticité dépend de la résistance qu’une surface donnée oppose à sa exion. Celle résistance elle-même varie avec l’épaisseur et la nature e a substance employée. En supposant l’épaisseur uniforme dans tous les points de la surface , le terme précédent doit être multiplié par le COefficientN*,

qui sera fonction de la résistance ou élasticité naturelle de la surface, et d’une certaine puissance de son épaisseur.

j e vais tâcher de déterminer quelle doit être cette puissance.

8 . A l’exemplé des géomètres qui se sont occupés de questions du même genre, j’avais d’abord regardé le coefficient N a comme fonction du carré de l’épaisseur. J’ai désiré depuis me rendre raison du choix de cette puissance, choix dont les motifs n’ont été expliqués nulle part que je sache. J’ai cru reconnaître que ce n’était pas le simple cairé, mais bien plutôt la quatrième puissance de l’épaisseur qui devait entrer dans le coefficient N*.

Pour s’en assurer, il faut revenir sur la manière dont l’hypothèse a été établie.

Si l’on est parvenu à démontrer, n° 2, que la force d’élasticité qui agit sur le point donné d’une lame courbe, est proportionnelle à la quantité

l — i , ce n’a été qu’en faisant abstraction de l’épaisseur de cette surface. r Pt ?

Une pareille abstraction est autorisée par la conslance‘ t de l’épaisseur; car lorsque la proportion est établie entre deux ou un plus grand nombre de quantités, on peut multiplier chacune de ces quantités par un facteur constant, sans que celle proportion soit détruite.

En remontant plus haut, on voit que la force qui agit sur l’élément EHB'G', fig. 2, est proportionnelle à la quantité du triangle B'SF , c’està-dire à la différence entre les deux triangles BSF et BSB'.

^ BS X HA e dz ml BSXHG' dz

On a trouve BF = Hm" ' == â , 7 > BB —HM — 2 R’ parcon

séquent, à cause de la quantité infiniment petite dont BS diffère deB'S,qui, suivant ce qui a été dit n° 2 , représente la moitié de l’épaisseur, la quantité du triangle B SF sera - BF X BS — - BB X BS = g* • j\) : et

la force qui agira, non plus sur l’élément de la lame courbe, mais seulement sur le point E, origine de cet élément, sera exprimée par

f! (\ — H en sera de même relativement à la lame dont les rayons 8 \r R /

sont — et —. L’observation précédente montre donc, en ayant égard à r' R'*

ce qui a été démontré n° 3, que la force qui agit sur le point donné de la surface, doit être exprimée par Q: -J-p-— 4 “

Voyons à présent quelle est la'quantité que celle force tend i faire varier.

Revenant encore à la considération de la simple lame, nous observerons que si l’on cherche quelle est la quantité que la force qui agit sur l’élément EHFA de la lame courbe, fig. a, tend à faire varier, on trouvera à cause de l’égalité supposée entre les triangles BSF et ASG, que celle quantité a le triangle BSF pour mesure. La somme des deux tr.an-

1 BSF A SG exprime en effet le changement que subirait cet élément, fi U lame était étendue en ligne droite.

Nous venons de trouver j BF X BS = 7 ~ pour l’expression de la auanlité du triangle BSF ; et comme nous ne nous sommes arrêtés à déterminer l’effet produit par la force élastique sur l’élément EHFA , que pour arriver à connaître celui que le même genre de force tend a produire

sur le point donné de la lame courbe; nous diviserons la quantité

a l’élément , par dz. Nous trouverons ainsi que les forces d’élasticité qu^ agissent sur'un des points de la lame courbe, tendent à faire varier

la quantité -g -•

T orsque le point E appartient h une sulfate, les forces oui agissent sur lui exercent à la fois leur action «Uns toutes les directions; la quantité

qu’elles tendent à faire varier est donc (p +7)' Et parce qne la variation ne saurait être attribuée au facteur Ç, ce facleur entre dans la va-

leur du coefficient N*. Nous avons dit plus haut que ce coefficient est n^nnsé de deux facteurs dépendans l’un de l’epaisseur, 1 antre de 1 elas- 3 tmele de la surface' En faisant ici abstraction de lé asticité naturelle, nous trouvons que le terme dû à l’action des forces d elasl.qte qui agissent sur un point donné de la surface, est

11 en résulte que ce n’est pas le simple carré, mais la quatrième puissance de l’épaisseur qui entre dans le coefficient N*.

Si 86 représente l’élasticité naturelle de la surface, on aura donc

N D«1S la suite de ce Mémoire, je présenterai encore quelques observations sur la détermination du coefficient N*.

Puisque —N 2 + 4 ^ (7 + 7) re P r esente l’action des forces d’élasticité' qui agissent sur un point donné de la surface,

représentera l’action des mêmes forces sur l’élément dm de cette surfade. Le terme cherché, c’est-à-dire celui qui est dû à l’action des forces d’élasticité sur la surface entière, sera donc

- ss D+7- (s+r)] ^ G-+7) dm -

9. Le terme que l’on vient de trouver représente la force avec laquelle chaque point de la surface tend à reprendre la situation dont une cause extérieure l’aurait dérangé.

Par suite de Faction supposée, l’élément a été dilaté dans sa partie supérieure, et comprimé dans sa partie inférieure ; mais par la même raison qui a autorisé à ne considérer jusqu’à présent que le seul triangle B'SF, %• 2, nous nous contenterons de nous occuper de la dilatation subie par l’élément de la surface.

Puisque cet élément a été dilaté, il doit tendre à se rétablir dans ses dimensions naturelles. Tâchons de déterminer quelle est la force avec laquelle l’élément tend à se contracter.

Nous supposerons d’abord que dans ses dimensions naturelles, l’élément ait appartenu à une surface plane, et qu’en vertu de l’action d’une cause extérieure, il appartienne à présent à une surface sphérique. La dilatation qu’aura éprouvée cet élément sera d’autant moins grande, que la surface de la sphère, ou plutôt du quart de la sphère à laquelle l’élément appartient actuellement, sera elle-même plus grande, car la surface sphérique différera alors d'autant moins de la surface plane. La surface d’une sphère dont le rayon est p , sera proportionnelle au produit 2p a de ce rayon par le diamètre. La dilatation dont on cherche la mesure sera

donc proportionnelle à la quantité qui exprime la raison inverse de la surface du quart de la sphère.

Supposons à présent que, dans son érat naturel, l’élément ait appartenu à la sphère dont le rayon est R,, sa dilatation sera alors proportionnelle

a la quantité ^par conséquent 4— ^ exprimera la force avec laquelle cet élément tend à se contracter.

Quelles que soient la figure naturelle et la figure élastique d’une surface , si R, et p sont les rayons de courbures des courbes contenues dans les plans normaux qui font un angle de 45 ° avec ceux qui contiennent les principales courbures naturelles et élastiques de celte surface, nous aurons toujours, suivant ce qui a été démontré n° 5 ,

Par conséquent, la force qui aura contraint l’élément à changer de forme, sera la même que si elle eût été employée à changer la courbure d’un élément sphérique en celle d’un autre élément pareillement sphérique, mais appartenant à une sphère différente.

Dans ce qui précède, nous avons fait abstraction du coefficient N a ; mais il est évident que la force employée à dilater l’élément, et par conséquent aussi celle avec laquelle le même élément tend à se contracter, ne saurait être indépendante de ce coefficient.

Cela posé, le terme du à l’action de la force avec laquelle l’élément tend à se contracter, sera

io. En appliquant ici l’analyse que M. Lagrange a employée dans la section Y de la première partie de la Mécanique analytique, on serait égafement parvenu à la connaissance du terme que l’on vient de trouver.

On voit en effet, n° 45, que si Sd-ndm exprime la somme des momens de toutes les forces extérieures qui agissent sur le fil qui fait l’objet du paragraphe cité, et que F représente la force avec laquelle l’élément du même fil tend à se contracter, on aura^T = F -f- a. Par la nature de l’élasticité, les forces qui en résultent sont intérieures; mais cette circonstance de leur action ne saurait influer sur la conclusion précédente.

Nous avons ici

on en conclura

La constante a doit être déterminée par la condition que la force avec

laquelle l’élément tend à se contracter, soit nulle, quand cet élément aura la même étendue que celle qui lui appartenait dans l’état naturelle de la surface. La condition dont il s’agit aura également lieu, soit que la courbure de la surface n’ait éprouvé aucun changement, soit que celle courbure, toujours semblable à la courbure naturelle, se trouve pourtant dirigée en sens contraire.

Pour trouver la constante qui satisfera à cette condition, il faut observer que dans la différentielle JW, la variation n’a été attribuée qu’à la seule

quantité --f- On conçoit, en effet, que ce n’est pas la différence

~ 4- j 7 ■— Q- -f- qui tend a varier ; car la force qui est proportionnelle

a celle différence, considérée au premier instant, c’est-à-dire à celui où la surface abandonnée à elle-même tend à reprendre sa forme naturelle, peut faire équilibre au moment d’un poids donné, et faction qu’elle exerce se réduit à faire varier la figure actuelle de la surface, ou, ce qui est la même chose, la figure élastique de la même surface; figure qui, suivant ce que nous avons dit plus haut, est proportionnelle à la quantité

Cela posé, nous pourrons prendre

et nous aurons

quantité qui deviendra nulle par l’une ou l’autre des suppositions

Il est évident que le signe supérieur appartient au cas où la surface aurait conservé sa figure naturelle, tandis que le signe inférieur conviendrait à celui ou la même surface pour ainsi dire retournée, présenterait sa concavité du côté où se trouvait auparavant sa convexité.

La valeur de F que Fon vient de trouver, s’accorde avec celle qui a été donnée dans le n° précédent, et on en conclut également que

ss r CG+ ff— (s+r)‘] Mn >

est le terme dû à l’action de la force avec laquelle l’élément tend à se contracter.

J’auraisprobablementévitébien des objections, si, au lieu de développer les raisonnemens qui m’ont conduite aux diverses déterminations dont je me suis occupée dans ce §, je me fusse contentée de donner les termes généraux que je viens de trouver, en observant seulement qu’ils peuvent être déduits de l’hypothèse qui a été démontrée dans le premier $. Mais une pareille réticence eût été fort contraire au but que je me suis proposé. J’ai désiré que tous les points de vue sous lesquels la question des surfaces élastiques peut être envisagée, fussent discutés sous les yeux du public éclairé. J’ai sans doute lieu de craindre de m’être égarée dans les recherches où j’ai si souvent manqué de guide. Quoi qu’il en soit, il ne sera peut-être pas inutile d’avoir appelé l’attention sur une question qui n’a pas encore été suffisamment examinée ; car les géomètres qui penseront que je n’ai pîs réussi à justifier les principes que j’ai admis, seront naturellement portés à leur en substituer de plus lumineux.

11. Conformément à ce qui a été établi dans les n os précédens, quelle que soit la courbure naturelle d’une surface uniformément épaisse, qui ne serait soumise à l’action d’aucune force indépendante de l’élasticité dont elle est douée, on obtiendra son équation générale, si, après avoir intégré par parties la somme

• SSN - [> ?-(s+r)>G • +7) im + ss f[G - 7 ) -G + f)‘]

è'dm

des deux termes qu’on vient de trouver, on égale la somme des termes qui resteront sous le double signe SS aux termes qui expriment l’action des forces accélératrices qui agissent sur la même surface.

Les termes qui passeront en dehors du double signe SS, exprimeront d’une manière également générale les conditions auxquelles les limites de cette intégrale pourront être assujetties.

Différentes suppositions particulières satisferont aux conditions des extrémités; elles serviront à faire distinguer les différentes manières de se mouvoir dont la surface est susceptible.

Parles raisons que j’ai déjà dites, je me bornerai à déduire de la théorie que je viens d’expliquer, l’équation de l’anneau et celle des surfaces cylindriques vibrantes. Cette dernière équation a, avec l’équation de l’anneau circulaire, une liaison pareille à celle qui se fait remarquer entre 1 équation de la plaque et celle de la lame droite.

Les dernières peuvent être aussi considérées comme des Cas particuliers des premières; mais comme l’équation de la plaque ne saurait éclairer le choix de l’hypothèse, je ne m’y arrêterai pas; je ne rappellerai même l’explication que j’ai autrefois donnée d’une partie des phénomènes observes par M. Chladni, qu’autant qu’il sera nécessaire pour comparer ces phénomènes à ceux que m’ont présentés les surfaces cylindriques.

§ III. Equations de la surface cylindrique 'vibrante et de Vanneau circulaire.

12. L’équation de Panneau circulaire peut être aisément déduite de celle de la surface cylindrique; par celte raison, et afin d’éviter d’avoir à revenir sur les mêmes idées, nous nous occuperons d’abord de cette dernière équation.

Soient x,y et z les coordonnées d’un point quelconque de la surface cylindrique, en faisant comme à l’ordinaire

on aura 7

i 4 1 9* d a s opq d*z 1 4-p* d 2 z

R R' k 3 dx* k b dxdy ‘ id dy % ’

Si l’on accentue les mêmes quantités pour indiquer quelles se rapportent à la figure élastique de cette surface, on aura également

L+<7' a é 3 z' sp'q' d*z f , i+ p '*d’ z '

r^r"— k' 3 dx'* lt' 3 9 dx'dy' dy r *'

Rien n’empêche de prendre pour plans coordonnés ceux qui, pour un point donné de la surface, contiennent les lignes de principales courbures.

Par la nature de la surface cylindrique, lorsque le plan de moindre courbure est, par exemple, celui de z et x, quel que soit le point de la surface que l’on considère, l’angle que la trace du plan tangent frit avec

axe des x est nul; p représente la tangente de cet angle; on a donc alors

p = o, et par conséquent,

R ** R' li \dx* Y ' ÂTyV'

En bornant nos recherches au cas de la surface vibrante, c’est-à-dire en supposant que le changement de figure subi par celte surface soit fort

petit, nous serons autorisés à négliger les quantités/?'*, p' qui sont du second ordre; nous aurons donc

r~*~ r 1 k' \dr' a k' 2 dy' V*

dy' a

L’équation de la surface cylindrique à base circulaire étant Tunique objet de ce §, il conviendra de prendre le centre du cercle qui sert de base à la surface pour origine des coordonnées; elles seront alors mesurées à compter du point pour lequel s est égal au rayon R de ce cercle. Si le rayon mené du centre au point donné de la surface fait avec le premier rayon l’angle v, nous aurons z = R cos Il est évident que Tangle compris entre la trace du plan tangent sur le plan des ze t y et Taxe des y, est égal à Tangle e;car cette trace est perpendiculaire.au rayon mené au point donné; elle fait donc avec Taxe desj* un angle égal à celui qui se trouve compris entre le même rayon et Taxe des z. On a, par conséquent,

q — lang v 7 k == \/i -+- =

En représentant par ds l’élément de la courbe comprise dans le plan des s et y, on trouve, a cause de ds = \/djr 2 -f- dz*,

ds / . (dz\* dz dz dy dz , / . / dz \ a

d}^V' + \dÿ)> V

et par conséquent,

dz

~dy '

dz

ds

ds*

ds

'Jy__

d‘z /dz\* ds s*d \ds/ * dy

vMi)’ [-(S'ïï

d 2 z dy

ds* * ds

• ct?z

ds*

ds 2

Si l’on mel dans l'équation I + jp- = j Q + p ^-) pour A, s et 0 les valeurs que l’on vient de trouver, elle deviendra

d a (R cos iQ

dx 2

1 d*(R cos v)'

ds 2

Le rayon R étant constant, on peut faire R = ^z : on a donc à cause de ds 2 =a\h % et en observant que 1 angle t> reste constant, tant que s ne varie pas,

d 2 (R cos v) dx *

d 2 {R cos v) ds*

a cos vdv* î , î a*dv* 9 R R~