COS

Cette dernière équation pouvait être admise, inde'pendamment des tansformations que j’ai employées; car il est évident que la somme des raisons inverses des rayons de principales courbures d’une surface cylindrique à base circulaire, se réduit à la raison inverse du rayon du cercle qui sert de base à celle surface; mais elles serviront peut-être à mieux

faire sentir l’analogie qui règne entre les quantités ~ -f- -L e t--L —

5 lorsqu’il s’agit d’une plaque vibrante, on suppose que le mouvement s executg i ou t entier dans le sens des s, ou, ce qui est la même chose, ans une direction perpendiculaire au plan de la surface en repos.

Nous ferons ici une supposition semblable; nous admettrons donc que dans chacun des points de la surface cylindrique, le mouvement s’exécute tout entier dans une direction perpendiculaire au plan tangent à ce point.

On aura , par rapport à la figure élastique.

k' =--1-7, ds'=df V'ï + V'*,

d 2 z r l dy ' cos V *

Parla nature du mouvement de vibration, les différens points de la surface s’écartent fort peu de la situation qui leur appartient dans la surface en repos, et on est autorisé à prendre

x*=x, y=y, cosv' = cosv , ds'=ds, tangV= <7'=^.

En effet, dans les suppositions présentes, l’angle que la trace, sur le plan des Z et J, du plan tangent à un point donné de la figure élastique de la surface, fait avec l’axe des jr, diffère infiniment peu de l’angle correspondant dans la figure naturelle de la même surface. En négligeant cette différence, on agit de la même manière que quand, dans la recherche de l’équation de la plaque, on néglige les angles dont les tangentes sont p et <7; car il est évident que la grandeur de ces angles est du même ordre que la différence dont on vient de parler.

Si l’on fait /==R —f— (r), la variation appartiendra à la seule quantité (r) , et cette quantité sera négligeable vis-à-vis de R. Cela posé, nous aurons

d\r cos v) cos v) , d%r ). cos v

dx % *

dx*

d*(r cos v) " ds*

dx*

d x {R cos v)

, d*(r ). cos v ds*

/dYRcosv) , 1 a a (Kcc

: COS tM —^-7---H---XT

\ dx À cos a i/ as*

. fd\r) . cos v

1 d°( Rcost/)

. d* (r) cos v, 1 d*(r) cosiA

"* dx 1 "^"cos 2 v ds* /

ri a (r) cos r\

Cette dernière équation prend une forme plus simple, lorsqu’on substitue à x une autre ordonnée dont on va expliquer la nature.

Si, par le centre du cercle auquel appartient le rayon de plus grande courbure du point que Ton considère, on mène un plan perpendiculaire à ce rayon, le plan ainsi mené coupera celui des x et jr. Nous nommer rons oc" la ligne d’intersection comprise entre le centre et l’axe des y.

En désignant par a> l’angle compris entre la ligne des x" et l’axe des x , nous aurons x = x" cos co.

Je dis à présent que Fangle a> est égal à celui que la trace du plan tangent sur le plan de plus grande courbure, plan qui est parallèle à celui des z et j, fait avec l’axe des y.

En effet, par construction, le rayon est perpendiculaire à la ligne des or", et l’axe des z est aussi perpendiculaire à celui des x; par conséquent, 1 angle u> est égal à l’angle compris entre le rayon et l’axe des z; de plus, la tangente est perpendiculaire au rayon, et l’axe des^ est aussi perpendiculaire h celui des z ; par conséquent, l’angle compris entre le rayon et l'axe des z, est égal à l’angle p, compris entre la tangente et l’axe des y; on a donc o) = v,x = x" cos p.

Lorsqu’il s’agit d’une surface plane, la supposition que le mouvement

s’exécute tout entier suivant la direction desz, autorise à regarder dx et

dy comme constans.La supposition analogue est ici, comme nous l’avons

déjà dit, que le mouvement s’exécute tout entier suivant la direction des

( r ) i 011 est donc autorisé à regarder dx ' 1 et ds comme conslans.

A cause de .r = .r ,/ cos p, on trouve, en observant que (r) est fonction

des seules coordonnées x" et s. ? 'Ç os ^ „ • G n a aussi

dx* cos v.dx ' a 7 auMI • • • • •

d 2 (r),cosv d 2 (r)