COS

y/ COS 7rfi"

est rela-

tive au cas où est de la forme

En faisant successivement / = o, s' =

fi"

, Qm+ 1) A

„ r , __ A __4 A on obtiendra 2 n -f- 3 valeurs de r qui seront

et enfin s =~— p" ’ n

alternativement positives et négatives. Entre deux des valeurs consécutives des' il y enaura toujours une qui satisfera àla condition r = o; par couse-

quent on aura i) lignes de repos silue'es sur une des moitiés de la

lame et la figure nodale sera composée de 4 (#+ O pareilles lignes.

Il faut observer que l’ordre des signesdes valeurs de r correspondantes

à s'=o , s’ = ^ , etc., est ici inverse de celui qui a lieu dans le cas précédent; il résulte de là que les conclusions auxquelles on est parvenu plus haut doivent aussi être prises dans un sens opposé, en sorte que, par exemple, la distance entre les deux lignes nodales situées de part et d’autre du milieu de la lame qui, dans le cas précédent, se trouvait diminuée en proportion de la courbure , sera ici augmentée, et qu’au contraire la distance entre la ligne nodale la plus voisine du milieu de la lame et la

seconde des mêmes lignes qui lorsque / 3 "esl de la forme est plus

grande sur la lame courbe que sur la lame droite, est ici plus petite sur la lame courbe que sur la lame droite.

L’ordre dont je viens de parler n’est inverse qu’à raison du point de départ qu’on a choisi y car, si au lieu de compter les intervalles à partir du milieu de la lame, ou les eût mesurés en prenant l’une des extrémités pour origine, on aurait trouvé, dans l’un et l’autre cas, que la distance entre une des extrémités et la ligne nodale la plus voisine est plus grande sur la lame courbe que sur la lame droite; que la distance entre la première ligne nodale et la seconde est moins grande sur la lame courbe que sur la lame droite; que la distance entre la seconde et la troisième ligne nodale est plus grande sur la lame courbe que sur la lame droite, et ainsi de suite.

Lorsque j 3 " est de la forme pp, il faul avoir recours à l’équation (IL) elle peut être mise sous la forme

2 sin 5Î-/S"— V 7 COS 5T/3"

Nous avons vu plus haut qu’il y a toujours alors une ligne de repos au milieu de la longueur de la lame. Pour avoir les 2/1-1 - 1 valeurs de s', qui donnent pour r des valeurs alternativement négatives el positives, il faudra donc mettre A-„ au lieu de o, A + au ü e u de , et

ainsi de suite; en sorte que simr/3 r/ ^ se changera en un cosinus, et qu’il

sera facile d’appliquer ici des conclusions semblables à celles qui sont relatives aux cas précédens. 5

Il en sera de même lorsque jS r/ sera de la forme - •

Dans le premier cas, il y a dans chacune des moitiés de la lame a n lignes de repos, et par conséquent, la figure nodale est composée de 4»■+-! lignes de repos; dans le second, cette figure présenleia 4 /i + 3 pareilles lignes.

Au reste, si l’on voulait connaître avec précision, dans les difierens cas dont nous venons de parler, la position de chacune des lignes no. a es, il faudrait faire, pour chacune d’elles, autant de calculs sépares qui peut exister non-seulement de valeurs différentes de mais aussi ae valeurs différentes de a.".

Prenons pour exemple le premier cas de vibration, c est-h-dire , celui pour lequel on a j3 r ' = ^ qui donne lieu, par conséquent, à

la formation de deux lignes nodales. Lorsqu’il s’agit de la lame droite, Giordano Ricati a trouvé que la distance comprise entre le milieu de la lame et une des lignes nodales devait être représentée par 74 ° 4 - 4 5/ + 25 ' » et comme la moitié de la longueur de la lame est égale à i 55 °, le rapport de la distance dont on vient de parler, à celle qui se trouve comprise entre une des lignes nodales et l’extrémité voisine, est exprimé par la proportion ;; ,4.+^+ a5 » : 6o‘+

S’il est question d’une lame dont la courbure soit de 90°, le rapport de cl" à /3" sera donné par l’équation

par conséquent 6 a" diffère fort peu de-^, et on peut prendie

On trouve alors que les valeurs qui satisfont a 1 équation

£. 2 cos —

\/ cos

on en tire

sont un peu plus grandes que rfct" ^ = (4°-f- 6') 19 = 77°-f"54 / d’une part, et 5T/3" ^ = (4 0 -f-6') 18 = 73°+ 48' de l’autre; et on a

Ainsi, les distances qui séparent le milieu de la lame d’une des lignes nodales, et la même ligne nodale de l’extrémité la plus voisine, sont entre elles :: 73°-{-48 / •• 6i° -f- 12'.

On a dit que la valeur 73° + 48' est un peu trop grande; et cependant le rapport que l’on vient de trouver, diffère fort peu de celui que Ricati a trouvé pour la lame droite. 11 en faut conclure que le déplacement des lignes nodales comparées à lour situation sur la lame droite, ne peut être fort sensible.

Pour la lame dont la courbure est de 180°, le rapport de a" à / 3 " est donné par l’équation a."' — / 3 ,,a = 1 ; on a donc a r/ * = —. 9 X 36 ne dif¬

fère que d’une unité de i 5 X 25 . Ainsi, le rapport a" : / 3 " :: 6 : 5 est suffisamment exact.

Les valeurs qui satisfont à l’équation

sont plus grandes, mais d’une quantité

QCOSirP —

l/ COS 7ffi"

absolument insensible, que

7TCt

1 =( i 4 °+ 20')6 d’une part, et flr/ 3 " ^ = (i 4 ° + 2°')5 = 86° = 7i°-{- 40'

de l’autre;

on a i 55 ° — (7i o + 4°0 = 63 ° +20'; ainsi, les distances qui séparent le milieu de la lame des lignes nodales et la même ligue nodale de l’extrémité la plus voisine, sont entre elles :: 71° -f-4o' : 63 ° -}- 20'.

On voit que ce rapport diffère notablement de celui qui a lieu pour la lame droite; par conséquent, le déplacement des lignes nodales doit être sensible sur la lame dont la courbure est de 180°.

Pour la lame dont la courbure est de 270°, le rapport de a a / 3 ' est donné par l'équation et"* — /S"* = = peut donc

prendre *" : P" 7 '■ 5 -

c Si )

Les valeurs qui satisfont à l’équation

y/ COS 5T/3’'

sont de fort peu plus graudes que — 7 (i3° 4- 4 2 ) 9 J + d'une part, et rtfî'-T =(■3° + 4 2 ')® — 68° 4* 5° delautie.

On a.35’-(68* + 3 o') = 66* + 3 o'.Ainsi,les distances qui séparent le milieu de la lame d’une des lignes nodales, et la meme 'g““° a ^ l'extrémité la plus voisine, sont entre elles :: 68' + ao : 66 + 0 ,

déplacement des lignes nodales devient fort sensible

Enfin, s'il s’agit de la lame dont la courbure est de 36 o , le rapport de a." à / 2 " sera donné par l’équation et"* — = 4 » a "“ = J- °“ aura

donc ce , 0 : @° :: 5 : 3.

Les valeurs

i = (ai° 4 -ao ')5 = io 6 -f- 4 o r , tt(. 3 ' , L == ( 2 i°-f- 2 o ')3 =64% ne diffèrent que de quelques secondes de ceilesqui satisferaient à 1 équation

«•£ acos ^ Â

\/ COs vrfi"

A cause de . 35 ° — 64» = 71°, les distances qui séparent le milieu de la lame d’une des lignes nodales, et la même ligne nodale de 1 extrémité la plus voisine, sont entre elles :: 64:71. Par conséquent, 1 intervalle entre les deux lignes de repos qui composent la figure nodale , est .c. beaucoup plus petit que le double de la distance comprise entre une des lignes de repos et l’extrémité; on voit que cette disposition est entièrement contra.,e celle qui doit avoir lieu sur la lame droite. ... ,

Les calculs précédens ne sont qu’approximatifs; mais les erreurs dont ils se trouvent affectés sont bien au-dessous de celles que expenence pourrait rendre sensible. Après avoir fait connaître l’effet de la courbure sur la disposition des lignes nodales. nous allons déterminer l’influence de la même condition sur les sons correspondais a chacune des valeurs de

a3. Nous avons trouvé, n° 20, que le plus ou moins de courbure de la lame ne pouvait influer sur la valeur de fi ' 1 que d’une quantité absolument négligeable. 11 suffira donc, pour déterminer quel est le son qui, sur une lame d’une courbure donnée, accompagne la formation d’un nombre connu de lignes nodales , de mettre dans la formule rapportée n° i8, pour fi' 1 , la valeur correspondante au cas de vibration dont il s’agit.

Dans le premier cas de vibration, par exemple, quelle que soit la. courbure de la lame, onap —

Par conséquent, si la lame est droite, la valeur du son sera exprimé par la fraction

Si la courbure de la lame est de 90% la valeur du son sera donnée par la fraction —-

Si la courbure de la lame est de 180°, la valeur du son sera donnée par

„ . isvst/rs

la fraction —— ;

Si la courbure de la lame est de 270°, la valeur du son sera donnée par

, r . Njr’VBT+b’zi NîrV/"Ï45.

la fraction- 9.

Enfin, si la courbure de la lame est de 36 o°, la valeur du son sera donnée

par la traction ——•

On trouvera de même dans le second cas de vibration, à cause de q ue j es fractions qui donnent la valeur du son, sont, pour la

lame droite.......* • * ... • • • - ^ *

pour la lame dont la courbure est de 90.—^—;

pour la lame dont la courbure est de 180*.

pour la lame dont la courbure est de 270*.

Nw5 \/

~ÀT~*

Na -5 [/ 225 -f- 64 .

enfin , pour la lame dont la courbure est de 36 o°.

Pour une valeur donnée de fi", on voit que le son est d autant plus a îg U> q lie la courbure de la lame est plus considérable. On voit eu même

temps que l’élévation du son due à la courbure, est plus sensible pour le premier cas de vibration que pour les suivans, et c’est à raison de cette diminution dans les différences des sons qui accompagnent sur la lame droite d’une part, et sur la lame courbe de l’autre, les figures nodales composées d’un plus grand nombre de lignes de repos, que sur une lame donnée, l’intervalle des sons qui accompagnent deux figures nodales quelconques, est d’autant moindre, que la courbure de cette lame est plus considérable.

La différence des sons qui accompagnent, sur la lame droite et sur la lame dont la courbure est de 90% la figure nodale composée de deux

lignes de repos, est.— I ion mineur;

Sur la lame droite et sur celle dont la courbure est de 180°, la différence des sons est. ..........y/1 ton majeur

+ i ton mineur ;

Surla lame droite et sur celle dont la courbure est de 270°, la différence

des sons est.

* v HT" > = 1 tOQ

majeur ton mineur “f- 7 ton majeur j

Surla lame droite et sur celle dont la courbure est de 36o°, la différence

des sons est...... . 5-

: 5 tons majeurs

+ 1 ton mineur + 7 ton mineur.

La différence d’un demi-ton mineur qui donne pour la lame dont la courbure est de 90° le maximum de l’influence de la courbure sur le .son est peu considérable; l’influence de la courbure sur les intervalles des s °ns qui accompagnent ici les différentes figures nodales doit donc être tout-à-fail insensible; par cette raison je n'ai pas cru devoir m'arrêter à former le tableau de ces intervalles. Il n’en est pas de même pour les lames dont la courbure est plus considérable. Les tableaux suivans feront connaître les intervalles dos sons qui, sur les lames dont la courbure est de 180 0 , 270% et 56o°, accompagnent les figures nodales composées ^ 2, 3.8 lignes de repos.

A fin de mettre le lecteur à même d'apprécier, d'un coup-d’œil, quelle est, suivant l a théorie, l’influence delà courbure sur les intervalles des sons, je donnerai aussi le tableau des intervalles relatifs à la lame droite.

Au lieu de répe'ter sans cesse cetle phrase : l'intervalle entre le son qui accompagne la formation de deux lignes nodales, par exemple, et celui qui accompagne Information de trois pareilles lignes est : ] écrirai simplement enti'e 2 et 3 .

Intervalles des sons qui, sur la lame droite, et aussi à fort peu près sur la lame dont la courbure est de 9 o% accompagnent la formation des differentes figures nodales .

Entre 2 et 3 ... 1 octave + 2 tons majeurs -j- 1 ton mineur.

2 et 4... U11 peu moins de 2 octaves + 2 tons majeurs + 1 ton mineur.

2 et 5... 5 octaves -f- un ton majeur.

2 et 6... Fort peu plus de 3 octaves + 2 tons majeurs + 2 tons mineurs ■+> ton majeur.

2 et 7..* Un peu phis de 4 octaves-H i ton majeur+i ton mineur.

2 et 8. . . 4 octaves 2 tons majeurs + 1 ton mineur + i ton

majeur -f- 7 ton mineur.

3 et 4... Un peu moins de i octave.

3 et 5 ... Fort peu plus de i octave + 3 tons majeurs + 1 ton mineur.

3 et 6... Fort peu plus de 2 octaves+ i ton majeur+i ton mineur.

3 et 7. • • Un peu plus de 2 octaves 2 tons majeurs 2 tons mineurs -f- 7 ton majeur *+• 7 ton mineur.

3 et 8 .. 3 octaves “H 1 ton majeur.

4 et 5 .'.- Un peu moins de 3 tons majeurs+i ton mineur+ i ton

miuenr.

4 et 6... Un peu plus de 1 octave+1 ton majeurton majeur.

4 et 7... Fort peu moins de 1 octave -f- 3 tons majeurs -f- 2 tous mineurs.

4 et 8.. • Un peu plus de 2 octaves -H 1 lon majeur.

Intervalles qui, sur la lame dont la courbure est de ,8o°, accompagnent la fnrmatLon des différentes figures nodales .

Entre 2 et 3 ...

2 et 4 ***

2 et 5.. •

1 octave -f-1 ton majeur H- 1 ton mineur.

2 octaves -j- x ton mineur T lon ma J eur ‘

3 octaves — 7 ton majeur.

2 et 6... Un peu plus de 3 octaves + 2 tous majeurs + 1 ton mineur.

2 et 7... Un peu plus de 4 octaves.

2 et 8... Un peu plus de 4octaves-f-i ton majeur+ i ton mineur.

3 et 4... Un peu moins de 4 tons majeurs-j-1 Ion mineur 4-j ton

mineur.

3 et 5... Un peu plus de i octave 4“ 2 tons majeurs 4“ i ton mineur 4 -t ton majeur.

3 et 6... Un peu plus de 2 octaves 4- un ton mineur.

3 et 7... Fort peu moins de 2 octaves 4- 3 tons majeurs4* 1 ton mineur.

3 et 8... Un peu moins de 3 octaves 4- \ ton majeur.

4 et 5. . . Fort peu plus de 5 tons majeurs 4- 1 ton mineur.

4 et 5... Très près de 1 octave 4- 1 ton majeur 4- ton mineur.

4 et 7... Un peu moins de 1 octave 4- 3 tons majeurs 4- 1 ton mineur 4- 7 ton mineur.

4 et 8... Sensiblement moins de 2 octaves 4- 1 ton mineur.

Intervalles des sons qui, sur la lame dont la courbure est de 270% accompagnent la formation des différentes figures nodales.

Entre2 et 5... Fort peu moins de 1 octave 4" 1 1011 mineur 4- 7 ton mineur.

2 et 4... Fort peu moins de 2 octaves 4-7 ton mineur.

2 et 5... Fort peu plus de 2 octaves + 3 tons majeurs 4- 1 ton mineur 4- 7 ton mineur.

2 et 6... Un peu moins de 5 octaves 4- 1 ton majeur 4“ 1 ton mineur.

2 et 7... Fort peu plus de 3 octaves 4- 3 tons majeurs 4" 1 t0Q mineur 4“ 7 ton mineur.

2 et 8.. . Très près de 4 octaves 4- 1 ton majeur.

3 et 4... Fort peu plus de 5 tons majeurs 4- 2 tons mineurs.

3 et 5... Un peu moins de 1 octave 4* 2 tons majeurs 4- 1 ton mineur 4-7 ton majeur.

3 et 6... Sensiblement plus de 2 octaves 4- 7 ton majeur.

3 et 7... Fort peu moins de 2 octaves 4- 2 tons majeurs 4-1 t° a mineur 4- 7 ton majeur.

3 et 8.,. Fort peu moins de 3 octaves.

4 et 5 . •. Fort peu moins de 3 tons majeurs 4 “ 1 mineur.

4 et 6 ... Fort peu moins de i octave 4 * i ton majeur + 7 ton mineur.

4 et 7... Fort peu plus de i octave 4 - 3 tons majeurs 4 “ i ton mineur.

4 et 8... Un peu plus de 2 octaves +7 ton majeur.

Intervalles des sons qui, sur la lame dont la courbure est de 56 o% accompagnent la formation des différentes figures nodules.

Entre 2 et 3 ... 1 octave + 7 ton majeur.

2 et 4.. . Un peu moins de 1 octave 4 - 3 tons majeurs + 2 Ions majeurs -j ton majeur.

2 et 5 ... Un peu plus de 2 octaves + 2 tons majeurs 4 * 7 ton majeur 4- 7 ton mineur.

2 et 6.. . Fort peu plus de 5 octaves 4 ~7 ton majeur.

2 et 7. . . Très près de 3 octaves + 3 ions majeurs.

3 et 8 ... 4 octaves—£ ton mineur.

3 et 4... Un peu moins de 3 tons majeurs 4- 2 tons mineurs.

5 et 5 ... Un peu moins de i octave + 2 tons majeurs + 1 ton

mineur.

5 et 6... Un peu plus de 2 octaves.

3 et y... Sensiblement plus de 2 octaves 4 - 1 ton majeur + 1 ton mineur 4- i ton majeur.

3 et 8... Plus de 2 octaves 4 - 3 tons màjeurs 4 - 2 tons mineurs.

4 et 5 ... Moins de 3 tons majeurs 4 -1 ton mineur.

4 et 6... Moins de 1 octave 4 ~ 1 ton mineur.

4 et 7... Un peu plus de 1 octave 4 - 2 tons majeurs 4- 1 ton mineur 4 1 ion majeur 4 - 7 ton mineur.

4 et 8 ... Un peu moins de 2 octaves 4 " 7 ton mineur.

24. Si, au lieu d’attribuer à l’anneau l’èqualion /Sr 1 d’A , Sr

(C). • • • n *(3? - ? 2?) + di‘ = °>

on adoptait la suivante :

qui est celle qu’Euler a donnée dans le tome X des Mémoires de Saint- Pétersbourg, la condition a*— / 3 a = -^ a , à laquelle nous sommes parvenus, n° 17, et qui nous a servis à apprécier l'influence de la courbure, tant sur la situation des lignes de repos que sur l’élévation du son qui accompagne chacune des figures nodales, serait remplacée par celle-ci :

$ a a = —, qui a en effet été trouvée par l’auteur.

Il 11e serait plus permis alors de regarder les différentes valeurs de /3 7 comme indépendantes du plus ou moins de courbure de la lame; ainsi, les conséquences que nous avons tirées de notre équation, ne seraient pas seulement inverses, comme la première vue de l’équation semble devoir le faire présumer; elles seraient en grande partie détruites au moins relativement aux premiers cas de vibration, et surtout lorsque la courbure de la lame est fort grande. Dans les cas où il serait possible de parvenir a des conséquences du même genre, elles seraient inverses; en sorte que, par exemple, le changement de la situation des lignes nodales, bien plus sensible que celui dont nous avons parlé, présenterait toujours entre une des extrémités et la ligne nodale la plus voisine, une distance moins grande sur la lame courbe que sur la lame droite, et que le son correspondant serait en même temps plus aigu que sur la lame droite.

Au reste, je crois inutile de m’arrêter plus long-temps à l’examen d’une théorie qui a toujours été regardée comme inexacte; il suffit de faire remarquer comment un simple changement de signe dans un des termes de l’équation différentielle, a pu détruire tout accord entre le calcul et 1 expérience, et cela, non-seulement dans le cas de l’anneau entier, qui est le seul quait traité l’auteur, mais encore dans tous les autres cas de couibure auxquels on pourrait tenter d’appliquer la même équation.

^ 5 . Revenons a la théorie des surfaces cylindriques.

Il s’agit d'intégrer Inéquation

( D’). . . TV* T Sr . « &r ; d*r 1 / d’r , d 2 r\“| ___ 1 donnée n° 16, et de satisfaire en même temps aux conditions

iN ‘(^+£MëK+ s

f ÈL + iL\

relatives aux limites.

Nous avons vu plus haut que l’equation de l’anneau s applique égalénient à la lame courbe, qui peut être considérée comme une portion de l’anneau complet ; en sorte que la courbure de la lame a pour limite d’une part la ligne droite, et de l’autre le cercle entier.

]1 en est de même ici, et l’équation précédente comprend non-seulement le cas de la surface cylindrique entière, mais encore celui dune surface terminée dans un sens par des arcs de cercles quelconques, parallèles à la base du cylindre, et dans l’autre par des lignes droites parallèles à l’axe du même cylindre. Quand la surface est entière, les dernières lignes de limites dont nous venons de parler, ne peuvent avoir d’existence physique; mais rien n’empêche de supposer qu’il exisie pourtant sur celle surface une ou plusieurs pareilles lignes analytiques. A défaut d’une intégrale complète, nous allons donner deux intégrales particulières, qui satisferont à l’équation (A) et aux conditions des limites , elles suffiront pour faire apprécier l’influence du plus ou moins de courbures des surfaces auxquelles on peut appliquer cette analyse.

En omettant toujours le terme relatif au temps, prenons dabord

. ns m. r

(L). . . r = . . . COS TT . COS 7 T -JT-y

à cause de x = x” cos c; on a fait ici A = A' cos v. Cette intégrale s’applique non-seulement aux surfaces dans lesquelles les côtés courbes sont égaux en longueur aux côtés droits, mais encore à celles où les longueurs des côtés droits et courbes sont entre fc eux dans un rapport quelconque. Il faut pourtant observer que les quantités m et n représentent dans le premier cas des nombres entiers, tandis que dans le second, l’une d'elles est nécessairement une quantité fractionnaire.

Nous nous bornerons à considérer le cas où m et n sont des nombres entiers ; c’est-à-dire celui dans lequel on peut concevoir qu’une plaque carree ait été ployée suivant une de ses dimensions, à une courbure circulaire d’un nombre donné de degrés. Dans les cas de vibration qui appartiennent à l’iulcgrale (L), la surface vibre comme si elle était séparée eu autant

de portions qu'il y a de lignes de limites analytiques sur cette surfW lignes sont toujours placées à intervalles eVaux les nn p« J f ’ nombre dépend de la valeur de n nnnr ï 11 * ^ autres j leur

côtés droits de la surface et de L J ^ * 0nl Para,Iè,es aux

En effet, si Ion donne successivement à s les valeurs suivantes ;