COS - C0S7T —= O

Oir mx"

. COS — COS TT —r = O , 2 A

(271—. mr __ .

à cause de r = o, les différentes lignes auxquelles appartiendront chacune des valeurs indiquées seront des lignes de repos; il est facile de voir quelles seront situées à des distances égales les unes des autres, et que la distance qui sépare deux d’entre elles sera double de l’espace compris entre une des lignes d’extrémité de la surface et la ligne de repos la plus voisine.

Les différentes lignes dont il s’agit satisfont toutes aux conditions des limites, et par conséquent elles sont de véritables lignes de limites analytiques.

Les mêmes conclusions seront applicables aux lignes de limites parallèles aux côtés courbes de la surface, c’est-à-dire, à celles pour lesquelles on a dx = o.

Ainsi, dans les cas de vibration compris dans 1 intégrale (L), les différentes figures nodales seront indépendantes du plus ou moins de courbure de la surface, et elles seront composées de n lignes de repos, parallèles aux côtés droits de cette surface, et de m lignes de repos parallèles aux côtés courbes de la même surface.

Outre les lignes de repos, il y aura au milieu de chaque partie comprise entre deux de ces lignes une autre ligne de limite analytique ; le nombre de ces dernières lignes sera m+i, pour celles qui sont parallèles aux côtés courbes de la surface, et «H-i pour celles qui sont parallèles aux côtés droits de la même surface.

S'il s’agissait de la surface cylindrique entière , deux des dernieres lignes se confondraient; c’est ce qui est évident, puisqu’alors les valeurs

,î = o et 5 = À appartiendraient au même point; il résulte de là que sur la surface cylindrique entière il y aura seulement 2 n lignes de limites analytiques parallèles à Taxe; tandis que sur les surfaces dont la courbure est au-dessous de 36 o°, on aura 2n-\- 1 pareilles lignes.

26. Si l’on met dans l’équation (D) les valeurs de ^ - 4 ’^ - , etc., tirees de l’intégrale (L), on aura

1 TVT* . tf-brVn. 4 , *rW , ?r*rc* ,

*= N LÂT + 2 Â^-- + i7r + ^ + -^J*

ou à cause de A' =

i TVTa p“ îr a n 3 -f- 5 P a m a cos a i/ ^

cos a v ft r a n a -f- !r a m a cos a r

Comme nous l’avons remarqué n° i 5 , la valeur de l’angle v dépend de la position des axes des coordonnées autour du centre du cercle qui a ele pris pour origine. Cette situation peut varier depuis y = o jusqu’à n = et la valeur de cos v 9 prise enire ces limites, se réduit à l’unité ; on devra donc écrire

l __ j~~ 7 T a (n a + m a ) ^ a (ra a 4 - 771 a )

ou, en mettant comme on l’a fait n° 18, - au lieu de

7 A n uJ

\ = ^rr Q»*+m*) (»*+'«’+

Nous avons trouvé, même numéro, que le son est proportionnel à la

quantité-- ; nous avons ici

Les sons correspondans aux différentes figures nodalcs qui appartiennent aux cas de vibrations compris dans l’intégrale (L), seront donc exprimés par i a formule

Par exemple, dans le premier cas de vibration, on a m= i, n=: i ; ainsi, pour la plaque carrée, le son est exprimé par...*,

pour la surf, dont la courb. est de go°, le son est exprimé par y

. iSo °.. N^i/ây/5

. 270°. Ntt y/2 l/77

'.. 36o°. N«Vij/g

Dans le second cas de vibration, on a m = 2} n= 1; ainsi, pour la plaque carrée, le son est exprimé par.5^5,

pour la surf, dont la courb. est de 90% le son est exprimé par J^E,

.. 180 0 Nsrl/5i/6

. 360 °. Nt tl Yj,

L intervalle entre les sons qui accompagnent la figure nodale formée de deux lignes de repos qui se croisent au centre de la surface, d’une

part sur la plaque carrée, et de l’autre sur la surface dont la courbure

est de 90% est donc exprimé par — i tonmajeur.

Sur la plaque carrée et] f = i ton majeur + i mineur

sur la surface de 180I I V 2 + environ i de ton.

I le même 1

Sur la plaque carrée I imen ,„ e J^> 2ton s majeurs et sur la surface de 270V m \ [ j ton mineur.

I exprimé par 1

Sur la plaque carrée I I y/3 > 3 tons majeurs

et sur la surface de 36o°i f -f-i ton mineur

J l +7 ton mineur.

On voit donc que plus la surface a de courbure, plus aussi le son est elevé; si l’on eût donné un signe contraire au terme qui, dans l’équation différentielle, est dû à la courbure, on aurait trouvé un résultat inverse )

«n sorte que le son eût été d’autant plus grave, que la courbure de la surface aurait été plus considérable. L’intervalle entre les sons qui, sur la plaque carrée, accompagnent les figures nodales composées, l’une de deux lignes de repos qui se croisent au centre de cette surface, l’autre de deux lignes nodales parallèles à deux des côtés de la surface, et dune seule pareille ligne perpendiculaire aux premières; est exprimé

par ^ = i octave -f- i ton majeur -f-1 ton mineur.

L’intervalle des sons qui, sur la surface dont la courbure est de 90%

accompagnent les mêmes figures, est exprimé par ^K? - > 1 octave , . . 3[/q

+ 1 ton majeur ^ Ion mineur.

Le même intervalle, sur la surface dont la courbure est de 180% est

exprime par —1 octave-f- - ton majeur + i ton mineur.

Le même intervalle, sur la surface dont la courbure est de 270°, est exprimé par > , octave.

Enfin, le même intervalle, sur la surface dont la courbure est de 56o°, est exprimé par un peu plus de 4 tons majeurs 1 ton mineur

-f- ~ tou mineur.

En général, quelles que soient les valeurs de m et de «, l’intervalle entre les sons correspondans est d’autant moins grand, comme on le voit par cet exemple, que la courbure de-la surface est plus considérable.