L’intégrale

rr , 7 —■ ira!' -

-f- c sin 7 rp' -|-dcôs irp'-r

satisfait aussi bien que l’intégrale (L) à l’équation de la surface cylmdrique et aux conditions des extrémités.

Les valeurs des Constantes arbitraires æ, b\ c et d seront déterminées ici, comme elles l’ont été, n° 19, lorsqu’il s’agissait du cas linéaire; en mettant successivement dans les équations

d’r d’r j\dx " 2 ' ds)

3^ + S?=°> d —dT—-

les valeurs c . . *, . ,

Sm — o, s = A, qui appartiennent a lune et à 1 autre extre-

el aussi

mités du côté courbe de la surface. On trouvera de même a=i, & = =$= c=i=f:e**", d=. lie™",

cos 7r/ 3 f/ -

L’intégrale (MJ deviendra donc

(N)...r=...cos 5 r^-|^e A + e A + (îzpe** Jsin ît/ 3*^--f (iché** )cos|.

Les signet supérieurs appartiennent an cas où est de la forme f ~ ~~'y et * es signes inférieurs conviennent à ceux où / 3 " est de la forme él±l. .

Dans les cas de vibrations compris dans celte intégrale, les lignes d’extrémités courbes et les lignes d’extrémités droites sont les unes et les autres physiquement, libres, cependant elles sont dans un état analytiquement différent.

En effet, les lignes d’extrémités courbes satisfont aux conditions

- sn *G£ +10 * (ê) rfs+SN ^( ? r r -) % *

en vertu des équations = o, = o, et d y—

tandis que pour les lignes d’extrémités droites, ce sont les-équations

, #r d*r . » dx"“ ' ds*

ds=o, jp, + £5= o. et —^-

qui ont lieu.

J insiste sur cette observation , parce qu’Euler, et après lui plusieurs autres auteurs. Ont regardé le mot libre appliqué aux extrémités a comme désignant un certain état analytique à l’exclusion de tout autre.

Dans les figures nodales qui se rapportent à l'intégrale (N), les lignes de repos affectent les mêmes dispositions que dans celles qui appartiennent à l'intégrale (L) et sont également des lignes de limites analytiques. Il n’en est pas de même des lignes de repos parallèles aux extrémités droites, leur disposition est entièrement différente; et de plus, si*on excepte celle

qui dans le cas où /3 f/ est de la forme -, se trouve placée au milieu

de la surface, aucune de ces lignes ne satisfait aux conditions des limites.

On voit d’abord que les lignes de repos dont il s’agit ne satisfont pas aux conditions des limites, car la condition /*= o n’entraîne ici ni l’une

• 11 i • . d*r , d a r dr

ni 1 autre des suivantes, -r o , ^- = o.

Au contraire, pour la ligne nodale qui passe parle milieu de la surface, on a

r = . -cos 7 r Qi —> e vi! ') s\x\ 7 r 4-(i-j-e**").cos^

par conséquent, l’équation r=o est satisfaite en vertu de la condition (ï — e**'') sin TT j + (i •+• <?**"). cos 7r^—-=. o, et celte condition donne en même temps celle-ci, -f- ^ = o.

Celte dernière ligne de repos est donc soumise aux mêmes conditions analytiques que celles qui sont parallèles aux côtés courbes de la surface; ce sont de véritables lignes d’appui dans le sens qu’Euler a attaché à ce mot; mais il faut encore faire ici.une observation semblable à celle qui concerne les extrémités libres: le'mol appui ne saurait non plus désigner un éiat physique, car dans un grand nombre de cas l’appui physique se trouve placé dans un point de repos qui ne satisfait pas aux conditions dès limites.

A l’égard de la disposition des lignes de repos, elle ne dépend pas seulement comme dans le cas linéaire, du plus ou moins de courbure de la surface, mais elle varie aussià raison des différentes valeurs dé /z et i 1 arrive même que l’augmentation du nombre.« aune influence plus marquée que celle de l’augmentation de la courbure. En effet, pour une valeur donnée dela disposition des lignes nodales dépend de la valeur correspondante de a"; dans le cas linéaire l’équation a /a — /3' a = montre qu’en conservant à j3 T/ la même valeur , celle de a” ne dépend que du plus ou moins de courbure de la lame. Au contraire quand il s’agit delà surface, la condition

**•— 2ttV'- +a "< n*+2n‘t$"•+

donne l’équation

et on voit quela valeur de a" dépend alors, non-seulement déjà courbure de la surface, mais encore, et dans une plus grande proportion , de celle du nombre, n, c est-a-dire, du nombre des lignes nodales parallèles aux cotés droits de cette surface.

Çar exemple, le premier cas de vibration compris dans l’intégrale fN) est celui qui donne lieu à la formation de deux lignes nodales parallèles aux côtés droits delà surface et dune pareille ligne perpendiculaire aux deux

premières. On a alors n = i, g" = ?; et s’il s’agit d’une surface dont la courbure soit de 90% l’équation a'*— -‘donnera

Si la courbure de la surface est de 180% la mêmeéquation donnera

a" = ŸJÜL

Si la courbure est de 270% on aura a r/a = 2 4. 2 + 2- =

l/aS

Enfin, si la courbure est de 36o°, on aura a r/a =4-f-2 + ^ d'— 1 . . 4 a

On voit que les valeurs de a" sont ici beaucoup plus grandes que pour la simple lame; on peut même remarquer que celle que nous venons de trouver, en supposant que la courbure de la surface est seulement de 90% est égale à celle qui, pour la lame courbe , est relative au cas où la courbure est.de 270°. 11 résulte de là que la disposition des deux lignes nodales parallèles aux côtés droits sera la même de part et d’autre, G est—à—dire que la distance entre ces deux lignes sera fort peu plus grande que le double di l’intervalle compris entre l’une d’elles et l’ex- Irémité la plus voisine. ®

Lorsque la courbure de la surface sera plus grande, les deux lignes nodales se rapprocheront sensiblement, car sur la surface dont la courbure est de 27o° , l’Intervalle compris entre elles sera plus periit que sur la lame dont la courbure est de 36o 8 , et, par conséquent , il sera beaucoup moindre que le double de l’espace qui sépare une de ces lignes de 1 extrémité la plus voisine.

Les memes changemens auront lieu dans les cas de vibration pour lesquels n étant toujours égale à l’unité, ($' aura toute autre valeur que

SI « est un nombre plus grand que l’amie', les cHangemens dont on Vient de parler seront plus grands encore-et, par exemple, en priant

Z 3 2 > les deux lignes nodales seront d’autant plus rapprochées pour

courbes dlT nombre des lignes parallèles aux côtés

coures de la surface sera plus grand.

Je ne m arrêterai pas à prouver ces diverses propositions, parce qu’elles

Jesu tenl évidemment de ce qui a été dit plus ljaut relativement à l’in-

nodalTs ^ raUgmenlali ° Q de Ja valeur de *' /s ^ l* disposition des lignes

s8. En raisonnant comme on l’a fait dans les «•» pre'cédens, on trouvera que les sons qu, appartiennent aux cas de vibration compris dans 1 intégrale (N), sont exprimes par la formule

S’il s’agit de la surface dont la courbure est de

9°°> e * qu on prenne

n — 1 ? P"= -, celte formule deviendra ^ N V / ‘ 5 -V J 4

TrNy/aq . p/3o 4A a “ ~~ >

?rly |/ 4 1 • 4 a

Pour la surface dont la courbure est de i8o’

, si on prend

n — 1 > Æ" = l'e son sera exprimé par ^ —

n— i, /3"= ^ . Nxi/^.v/33

n = 2, .. Nxt/n.B• \ /29

Pour la surface dont la courbure est de 270% en prenant

n = 1, j3 ' = -, le son sera exprime par --->

5 * Ng-y/ng - y/58