tons -f- i ton ; sur quelques pièces 1 octave

1 octave et 5 tons + | ton; sur quelques pièces 1 octave et 5 tons.

2 octaves -f- 4 tons ; sur quelques pièces 2 octaves -f- 3 tons -f- * ton.

3 octaves -f- t ton.

4 et 5 ... 5 tons -f- i ton; sur quelques pièces 1 octave.

4 et 6.. . 1 octave -j- 4 tons.

4 et 7... 2 octaves -f- 1 ton -f- f ton.

for?ïer P 7 us re ™ a a „T er qne ' eS interVa " eS entre 2 el 3 , 2 et 4 , a <>nt de y 1, / c I ue ceux qu exige la théorie; tandis, qu’au contraire

1 intervalle entre 4 et 7 , Dar ”, . , 1 , Me >

7 » par exemple, est beaucoup trop grand- il en

faut conclure que les sons qui accompagnent la formation de 3 et.4 lignes

3 et G.,

3 et

nodales sont, aussi bien que celui qui convient au premier cas de vibration ,. plus graves que ne le veut la théorie.

La position des lignes nodales correspondantes confirme cette observation; car leur déplacement est plus sensible dans les premiers cas de vibration, que la théorie ne semble l’indiquer.

Sur la lame dont la courbure est de 270°.

Entre 2 et 3 . . . Depuis 1 octave jusqu’à 1 octave -j- 1 ton +7 ton.

2 et 4 - • • Depuis 2 octaves \ ton jusqu’à 2 octaves -j- 2 tons.

2 et 5 . . . Depuis 3 octaves jusqu’à 3 octaves -f- 1 ton -b î ton.

2 et 6 . . . Depuis 3 octaves -f- 3 tons jusqu’à 3 octaves -f- 4 tons -f- j ton.

2 et 7... Depuis 4 octaves jusqu’à 4 octaves-f- 1 ion-f-£ ton.

2 et 8... Depuis 4 octaves + 2 tons { ton jusqu’à 4 octaves

-f- 4 tons.

3 et 4.... 1 octave -f- ± ton ; sur quelques pièces 1 octave 1 ton.

3 et 5... 2 octaves — - ton ; sur quelques pièces 2 octaves.

3. et 6.. . 2 octaves -f- 3 tons, et 2 octaves -f- 3 tons -f- £ ton.

3 et 7... 3 octaves, et 5 octaves -f- { ton.

3 et 8... 3 octaves -j- 2 tons,. jusqu’à 3 octaves -f- 2 tons -f- j ton.

4 et 5 ... 5 tons.

4 et 6... 1 octave -f- 2 tons -f- ± ton.

4 et 7... 1 octave -f- 5 tons -}- 4 ton.

4 et 8.... 1 octave -f- 4 tons -f- s lon *

On voit que les intervalles donnés par l’expérience diffèrent d’autant moins de ceux qu’exige la théorie, que la comparaison s’établit entre des cas de vibrations plus élevées.

La différence observée entre 2 et 8, par exemple, s’élève quelquefois à 3 tons; et comme le son qui est noté ici est le plus aigu de ceux qui accompagnent la formation de deux lignes nodales, il peut arriver, qu’en prenant au contraire le plus bas, cette différence s’élève à 1 octave.

Sur lès lames dont la courbure approche de 36 o°.

Les intervalles entre 2 et 5 , 2 et 4 > etc.* ont beaucoup varie; la pièce que j'ai fait redresser m’a prouvé ce que l'observation des inter-

valles el de la position des lignes nodales m’avait déjà donné lieu de penser; savoir, que sur les pièces dont la courbure est très considérable, les sons qui accompagnent la formation de 3 lignes nodales sont beaucoup plus bas que ne le veut la théorie.

Le son qui accompagne la formation de 4 lignes nodales est encore trop bas; car, sur la pièce redressée, il s est trouvé le même que sur la lame courbée, tandis qu’il devait être d’environ un demi-ton plus bas* cependant, comme les différences sont moins considérables pour ce cas de vibration que pour les précédens, je vais donner les intervalles que

j’ai observés.

Entre 4 e * 5 ... Depuis 4 tons jusqu’à 5 tons.

4 et 6... Depuis i octave -f- 2 tons -f- £ ton jusqu’à 1 octave + 4 tons.

4 et 7. . . Depuis 1 octave -f- 5 tons -f- £ ton jusqu’à 2 octaves -f- 1 ton H- i ton.

4 et 8. .. Depuis 2 - octaves -f- ± ton jusqu a 2 octaves -j- 2 lon s

Sur les pièces dont la courbure est entre 180 0 et 270% et à plus forte raison sur celles qui approchent de 36 o°, une faible augmentation de courbure devient extrêmement sensible, tant par les intervalles des sons que par le déplacement des lignes nodales; ce dernier phénomène est même tellement remarquable, qu’avant de m’en être rendu compte, je croyais devoir chercher un coefficient qui, multipliant le terme dû à la courbure, pût servir à expliquer une influence qui me paraissait entièrement hors de mesure.

Lorsque je fus parvenue à fixer les limites des intervalles des sons correspondans, il me parut évident que, tandis que la position des lignes nodales tendait à faire soupçonner une influence plus forte de la^part de l’accroissement de la courbure que celle indiquée par la théorie les sons observés tendaient souvent à faire admettre une influence inverse • il était naturel alors de regarder les deux parties du phénomène comme appartenant à une cause perturbatrice, et, comme je l’ai déjà dit, le calcul comparatif des sons el des positions des lignes de repos ne peut laisser aucun doute à cet égard. Je puis affirmer aussi que dans les cas où les sons mont paru, après des expériences souvent répétées, devoir elre en effet ceux qui conviennent à la théorie, la disposition des lignes nodales a été également conforme ù celle que le calcul indique. Par exemple,

une chose fort remarquable dans les différens cas de vibration de la lame droite, est que l’intervalle entre l'extrémité et la ligne nodale la plus voisine est plus petit que la moitié de l’espace compris entre la première et la seconde ligne nodale ; que ce dernier est plus petit que celui que Ion observe entre la seconde et la troisième ligne nodale, et ainsi de suite jusqu’au milieu de la lame; en sorte que l’espace entre deux lignes de repos est d’autant plus grand, qu’il est plus voisin de ce point.

Nous avons trouvé, n° 22, que l’influence de la courbure tend à augmenter la distance entre l’extrémité et la première ligne nodale; à diminuer celle qui sépare la première ligne nodale de la seconde; à augmenter l’espace entre la seconde et la troisième, et ainsi de suite; en sorte que cette influence se manifeste par des résultats alternatifs et opposés.

Avant d’avoir développé les formules, j’avais cru que les espaces devaient être tous inverses de ceux que l’on observe sur la lame droite, ou au moins qu’ils devaient être tous altérés dans le même sens; le phénomène contraire, c’est-à-dire, l’altération alternative en plus et en moins des intervalles, qui devient fort sensible dans le troisième cas de vibration sur les lames dont la courbure est au-dessous de 180% et dans les lames plus courbes sur les cas suivans, m’avait d’abord beaucoup embarrassé, et j’ai vu avec un grand plaisir que cette disposition des lignes nçdales était indiquée par le calcul.

L’application de la théorie aux différens cas de vibrations des lames courbes est sans doute bien loin du degré de perfection que l’on obtient dans le cas des lames droites ; mais si je ne me fais illusion, il existe déjà des raisons suffisantes pour croire à l’exactitude de l’équation que je leur ai attribuée.

Je vais donner à présent quelques aperçus sur l’application de la théorie des surfaces cylindriques.

5 i. Les expériences dont je vais rendre compte ont été faites sur des surfaces dont le côté courbe était égal en longueur au côté droit.

Quand on compare la manière dont se comportent les plaques carrées et les surfaces cylindriques plus ou moins courbes, on est d’abord frappé d’une différence essentielle; tandis que, sur la plaque, les lignes nodales parallèles à deux des côtés sont souvent remplacées par des distorsions qui donnent li eu à des figures nodales plus ou moins compliquées, sur ïes surfaces courbes, au contraire, on obtient toujours de simples lignes

nodales disposées de la même mauière que sur les lames courbes; en sorte que l'étendue de la dimension qui n’entre pas dans le calcul cesse d’avoir l'influence qu’elle exerce dans le cas des surfaces planes. La théorie rend un compte satisfaisant de celte différence.

Dans mon second Mémoire j’ai montré comment l’intégrale

s =... |~ M ^ ae^ *-\-be ^ 5 + csin'7r/3 ,/ J-|-dcos7r/3"^y

-f-N^ae * 4 -be ^-f“^sin 7TjS , ^-f’^cos7r / S r/ ^

dans laquelle Met N sont des constantes arbitraires, pouvait servir à expliquer les distorsions dont je viens de parler.

L’une des suppositions M = o, N = o, donnerait lieu à la formation des lignes parallèles, soit à l’axe des jc 9 soit à celui des y. Les valeurs différentes de ces deux coefîiciens donnent z = o pour tous les points qui composent les figures nodales; mais quelles que soient ces figures, elles sont assujetties à passer par un nombre de points dépendans du cas de vibration ; ce sont ceux pour lesquels on a à la fois les deux équa^ lions séparées,

ae^ A -\-be À 4-csin7r0 ,/ -^ + d cos^■/S"d- = o,

ae*^ K -\-be Â4-csiu*-jô' , ^4 “dcos 7r/3 r/ -^== o.

Il est évident que si l’un des côtés de la surface est courbe, l’intégrale ne sera plus applicable ; car, si l’on fait successivement abstraction d’une des dimensions de cette surface, on aura d’une part l’équation de la lame droite, et de l’autre celle de la lame courbe. Chacune de ces suppositions donne une valeur particulière pour l’expression du son; ces deux expressions ne peuvent donc, dans aucun cas, appartenir à la fois à un seul et même cas de vibration.

L’expérience montre en effet qu’un degré de courbure a peine sensible suffit pour exclure les distorsions qui, sur la plaque, s’opposent souvent à la formation des lignes nodales parallèles.

Je ne puis abandonner ce sujet sans rendre hommage a 1 étonnante sagacité de M. Chladni qui, sans être guidé par aucune théorie, n’a pas hésité à considérer des figures variées et souvent accompagnées de sons

qui different sensiblement, comme équivalentes eutre elles et à la formation des lignes parallèles, soit que ces lignes se présentent quelquefois, comme il arrive dans certains cas de vibration, soit quelles soient toujours exclues par des figures nodales différentes.

02. Afin de mieux apprécier les effets de la courbure, la plupart des pièces que j’ai employées ont été d’abord essayées à l’état de plaques, et elles ont été ensuite ployées à différens degrés de courbures.

Voici ce que j’ai observé :

La figure nodale composée de deux lignes de repos perpendiculaires entre elles, qui est celle à laquelle donne lieu le premier cas de vibration compris dans l’intégrale (L), n° 25, ne s’est pas montrée sur les surfaces dont la courbure excédait 3oo°.

Sur les pièces dont la courbure variait de 3oo° à 270°, le son qui accompagnait la formation de cette figure s’cst trouvé d’un ton et quelquefois d’un ton et demi plus haut qu’avant la courbure,*

Sur les pièces dont la courbure variait de 270* à i8(r, le son était tantôt d’un demi-ton, tantôt d’un ton plus haut qu’avant la courbure.

Sur les pièces dont la courbure variait de 180° à 90°, le son s’est quelquefois trouvé plus haut qu’avant la courbure; la différence n’a jamais excédé un demi-ton, et a été le plus souvent au-dessous de cet intervalle.

Enfin, sur les pièces dont la courbure était au-dessous de 90% le son a presque toujours été le même qu’avant leur courbure.

Suivant la théorie, le son doit être d’autant plus élevé, que la courbure est plus considérable. Ainsi, l’expérience justifie le signe que j’ai attribué au terme dépendant de la courbure; mais il faut observer que l’influence du plus ou moins de courbure donnée par l’expérience, est ici fort audessous de celle qui est indiquée par la théorie.

En effet, pour la surface dont la courbure est de 90% le son devait être plus élevé d’uri demi-ton qu’avant la courbure (voyez n° 26). Si l’on se rappelle que le son rendu par la plaque est lui-même trop bas de 2 tons et demi, on verra que, dans le cas présent, l’expérience donne un son qui, comparé h ceux de la lame droite, est trop bas d’environ 3 tons.

Pour la surface dont la courbure est de 180% le son devrait être plus élevé de plus d’un Ion et demi qu’avant la courbure; la différence donnée par 1 expérience n’a guère excédée un demi-ton ; eu prenant toujours

pour ferme Je comparaison les sons rendus par la lame droite, l’experience donne un son trop bas d’environ 3 Ions el demi.

Pour la surface dont la courbure est de 270% le son devait être plus élevé de 3 tons qu’avant la courbure; rexpérience donne environ 1 tou; la différence est donc ici de 4 tons et demi.

Enfin, sur les surfaces dont la courbure est plus considérable, la différence dont il s’agit peut être évaluée à 5 tons, c’est-à-dire qu’elle est alors double de celle qui a lieu pour la plaque.

Le premier cas de vibration de la lame courbe, c’est-à-dire celui qui donne lieu à la formation de deux lignes, nodales parallèles aux côtés droits de la surface, a lieu quelle que soit la courbure de la surface.

Les expériences dont je vais rendre compte sont inverses de celles dont j'ai parlé à l’occasion des simples lames; car ici chaque pièce a été essayée d’abord à l’état de surface plane.

Sur les pièces dont la courbure était très près de 36 o°, le son , qui devait être d’environ A tons plus haut qu’avant la courbure, s’est trouvé de 2 tons plus bas-, ain^il était réellement trop bas d’un octave.

L’espace compris entre une des lignes nodales et l’extrémité la plus voisine, était à l’espace qui séparait les deux lignes nodales :: 5 : 3 .

Les sons sont en raison inverse des longueurs; pour que la pièce rendit en effet le son voulu par la théorie, il aurait donc fallu que l ! espace compris entre une des lignes nodales el l’extrémité voisine , eût été

exprimé par ; on a à fort peu près = y ; ainsi, au lieu de la proportion précédente, on aurait eu celle-ci :: y : a.y + 3 « 25 : 4 1 y car

2 ^ = 2 , exprime l’espace qui devrait être ajouté à celui que

l’expérience présente entre les deux lignes nodales.On a trouvé, n° 22,

que ce rapport doit être de 71 à 128.

La proportion entre les espaces eût été plus près de celle exigée par la théorie, si l’on eût pris l’intervalle des sons qui convient à la surface

entière dont celles-ci différaient fort peu. D'ailleurs, ^ est un peu plus

plus petit que y», et par conséquent, — est un peu plus grand que ~Ç/~^

Sur les pièces dont la courbure était de 3 oo°, le son se trouvait encore plus bas qu’avant la courbure de 2 tons et demi ; il devait elre plus élevé d’environ 3 tons et demi. La différence était donc au-dessous d’un octave.

L^espace compris entre une des lignes nodales et Tex frémi té ] a plus voisine, était à 1 espace qui séparait les deux lignes nodales :: 6 : 5.

Puisque ~ est un plus petit que y/â, admettons que l’espace compris entre 1 extrémité et la ligne nodale voisine, soit —, nous aurons la proportion :: 1°:5 + :: 3o ; 5g>

, ra PP ort des intervalles est plus conforme a la théorie que celui qui a ete ttouYé pour les surfaces dont la courbure est plus considérable, i ?. r GS P J ^ eS dont la courbure était de 270% l’intervalle entre une des lignes nodales et 1 extrémité voisine, était fort peu plus grand que 1 espace entre les deux lignes nodales.

Le son, qui devait être trois tons plus haut qu’avant la courbure, était <t un ton et demi plus bas; en sorte que la différence était de4 Ions et demi. La racine carrée des nombres qui expriment cet intervalle, diffère peu

de g. Par conséquent, la proportion de - à i + 2 , ou de i à 2, indique

le rapport de l’espace compris entre la ligne nodale voisine et l’extrémité, à l'intervalle qui sépare les deux lignes nodales. La proportion , qui a été calculée, n* 22, indépendamment de la considération des sons’ est de 68' + 3 o'à 132 + 60', au dieu de 1 à 2; mais il faut observer que l’inlervalle entre les deux lignes nodales que l’on a regardé dans le calcul comme égal à celui qui sépare une des lignes de l’extrémité voisine, est pourtant dans l’expérience un peu plus petit que ce dernier.

Sur les pièces dont la courbure variait de 270* à 180”, le son et la position des lignes uodales variaient d’une manière e'galemerit proportionnelle. r

Sur les surfaces dont la courbure était de 180% l’intervalle entre l’une «es lignes nodales et l’extrémité voisine, était à celui qui séparait les deux lignes 5 : 8.

Le son, qui devait être d’un ton et demi plus haut qu’avant la courbure, était au contraire trop bas de près d’un ton et demi; la différence était donc de trois tons.

La fraction ~ exprime le rapport des longueurs correspondantes à l'intervalle de trois tons, lorsqu’on suppose que deux d’entre eux sont mi¬

neurs, le rapport des distances des lignes nodales devrai donc être de ^ . s , 3.25 3a

+ ~3T> 8u :: «55 à 3o6» :: 45 : toa.

Le rapport des distances qui a été calcule directement, n° 22, est, en négligeant les tractions, !! 63 : i43; 00 voit que la différence est peu sensible.

Sur des pièces moins courbes, la position des lignes nodales variait toujours d’une quantité proportionnelle ; en sorte que les différences dans la courbure influaient d’une manière d’autant plus sensible sur la position des lignes , que celle courbure elle-même excédait davantage 90°. Pour cette courbure, les sons et la figure qui, suivant la théorie, doivent différer bien peu de ce qu’ils sont sur la plaque, étaient en effet sensiblement les mêmes.

Nous avons dit, en rendant compte des expériences faites sur les lames courbes, que les variations des sons qui se faisaient remarquer, surtout dans le premier cas de vibration, étaient toujours accompagnées de changemens proportionnels dans la situation des lignes nodales, et nous venons de prouver que le son le plus élevé qui, étant comparé, tant à ceux qui appartiennent aux autres cas de vibration de la lame courbe, qu’à ceux que l’on observe sur la lame droite, est trop bas, et semble , par cette raison, devoir mettre aussi la théorie en défaut, est heureusement accompagné d’une situation des lignes nodales, qui mène presque aussi exactement que le calcul direct, à faire connaître quelle devrait être cette situation , si le son montait au ton que la théorie lui assigne.

Le lecteur trouvera peut-être que je suis entrée dans des détails fastidieux; mais je les ai cru nécessaires pour bien apprécier la cause des inégalités qui m'ont* long-temps fait craindre de ne pouvoir expliquer les vibrations des lames courbes et celles des surfaces cylindriques.

Les expériences dont j’ai rendu compte ont été faites avant que j’eusse calculé la situation des lignes nodales que la théorie indique. En adoptant cette marche, j’ai cherché à éviter l’espèce de préoccupation qui, dans des mesures difficiles à fixer, aurait pu me rapprocher à mon insu de celles qui devaient confirmer la théorie. Au reste, les différences entre les rapports observés et ceux que donne le calcul, paraîtront, je crois, peu importantes, si l’on se rappelle que celle de 60 à 148, na pas suffi pour faire remarquer à M. Chladni, très bon observateur assurément, quei’un des intervalles est toujours plus petit que la moitié de 1 autre.

52 . L’intervalle des sons, qui accompagne d’une part la formation de deux lignes norlales parallèles aux côtés droits de la surface, et de 1 autre celle de deux lignes nodales perpendiculaires entre elles, c est-a-dire de

ceux qui correspondent aux valeurs »=i, / 3 "=-, et m=i, n = 1 ,

était de trois tons^M d ° n ‘ * C ° Urbure dlait a P eine sensible, l’intervollô

toutefois nue s C j 0mme ce ' a a * <eu sur,a P'aque, en observant

place la fn . C n ^r ’ 6 de surface > une % ure ««dale différente remplace la formation des lignes parallèles.

Si, dans la comparaison de la the'orie ]■«. . . . .

à ce seul exemple, on aurait un ^ ’ .“f " ‘

dans le cas des plaques; en effet, sur les surfaces do ,h la ® ® dlSant S“ e

27 o ; , l’intervalle est celui que la théorie ex^I I

surfaces moins courbes, l'intervalle donné par l’expérience excèded’af

LTte que C îl B diff UI ,qUe ?“ e ‘ 3 COUrbu, ' e esl P'" s grande;

•i p eience esl a son maximum sur la plaque carrée* mais

au observer que conformément à ce qui a été expliqué n» 3o’ plus la surface a de courbure, plus aussi le son qui apnan.Vn» ’ P

de vibration de la lame, diffère de ce qu’il devrait être Pa^conT"^ “* l’obtentiou de l’intervalle voulu par la théorie, tien, ici à ce que iTdTu* on que Ion compare, en diffèrent également, tandis qu’au cou,rate

la surface puisse donner. P S que

Le cas de vibration suivant, donné par les valeurs «=i, 0 "—l esl plaZt Î 7 I ' inle ' gr , al , e (N) - ^ ^ )ai >' amais <**«„» »' 'simple*

parallèles ^ <,g T "° d correspondante est composée de deux lignes

côtés dm £“ TT °" S SUrfate et d ’ une seule K S ne parallèle aux coles tourbes de la même surface.

Sur les ptèces dont la courbure était de Soo-, l’intervalle des sons corres

pondans aux valeurs *,= r, «=,, « » = ,, était dequatre tons

et dcm ‘- Sur les pièces dont la courbure était de 2 *v> l’i„m 11 ,

courbure^’^ns aux memes valeurs eta.t de cinq tons.Sur les piècesdont la

les pièces domt u " llC e deS SMS t;,ail de «“1 tous et demi. Sur a courbure était de 90°, l'intervalle c'tait d’une octave et un

demi-ton. Enfin, sur des pièces moins courbes, l’intervalle s est élevé jusqu'à une octave et un ton.

Nous avons trouvé, n° 29, que cet intervalle doit être de deux tons et demi, lorsque la courbure de la surface est de 36 o°; de trois tons, lorsque la courbure de la surface est de 270°; de trois tons et demi, lorsque la courbure delà surface est de 180°; et enfin de quatre tons, lorsque la courbure delà surface est seulement de 90°.

On voit que l’intervalle donné par l’expérience, excède d’autant plus celui qu’exige la théorie, que la courbure de la surface est moins considérable. Il ne faut pas conclure de là que le son qui correspond aux valeurs n~ 1, /3" = soit trop élevé dans cette proportion ; au contraire,

si l’on excepte les surfaces dont la courbure est de 90° et au-dessous, le son dont il s'agit est toujours trop grave; mais le son correspondant aux valeurs m== 1, n=i, est lui-méme trop grave, et la quantité dont il diflere du rapport donné par la théorie, est, comme nous l’avons déjà dit d’autant plus grande, que la courbure est plus considérable.

Pour les pièces dont la courbure est de 90°, le son comparé à ceux de la l ame , est trop grave de trois tons ; sur celles dont la courbure est moindre, la différence peut n’êlre que de deux tons et demi. Si l’on ajoute trois tons ou deux tons et demi à l’intervalle de quatre tons indiqué par la théorie, on aura une octave et un ton ou une octave et un demi-ton, qui est en effet l’intervalle observé.

La disposition des lignes nodales confirme l’observation précédente, car l’augmentation de la courbure détermine leur rapprochement dans une proportion plus grande que celle indiquée par la théorie; cela doit être en effet, puisque dans l’intégrale (N), les lignes parallèles aux côtés droits sont, comme dans celle qui s’applique aux lames, de simples lignes de repos, qui ne satisfont pas aux conditions des limites, et dont l a position est par conséquent sujette aux variations dont nous avons déjà rendu compte.

On a vu, n° 27, que sur la surface dont la courbure est de 90% la disposition des lignes nodales parallèles aux côtés droits, doit être la même que celle indiquée pour la surface dont la courbure est de 270° dans le premier cas de vibration de la simple lame; en sorte que la distance entre ces deux lignes doit être sensiblement égale au double de 1 espace

ompris entre une des mêmes lignes et l’extrémité voisine; c est en eflet . e que j’ai observé. -4i ns * ; loul confirme que, su;’ ces surfaces, le cas de

ou , 3

vibration correspondant aux valeurs n= i, fi" cas -, est entièrement conforme a la théorie.

Le second cas de vibration compris dans l’intégrale (L), ne se montre pas sur les surfaces dont la courbure excède 90°; il appartient aux valeurs /z == 1, m — 2; il correspond à la formation de deux lignes nodales parallèles aux côtés courbes de la surface, et d’une seule ligne parallèle aux côtés droits de la même surface. On voit par là que, sauf la position des lignes nodales qui, à cause delà nature de l’intégrale (L), est dépendante du plus ou moins de courbure de la surface, la figure dont il s agit ici est, en quelque sorte, le renversement de celle qui correspond aux

valeurs n — 1, fi"—-. Il arrive même sur les pièces dont la courbure

n’est pas sensiblement au-dessous de go°, que la disposition des lignes nodales est la même dans l’un et l’autre cas.

J’ai déjà eu occasion de dire que, sur la plaque carrée, le son correspondant aux valeurs n — 1, /«= 2, est toujours, par comparaison à ceux de la lame droite, trop bas de deux tons et demi.

Sur les surfaces dont la courbure est à peine sensible, le son s’élève considérablement, et sur celles qui atteignent 90°, il devient aussi élevé que le veut la théorie; il résulte de là que l’intervalle des sons correspondans aux valeurs n—\, m == 1, et n— 1, m — a , augmente avec la courbure; en sorte que sur les surfaces dont la courbure était de 90 0 , il s’est trouvé d’une octave et moins de cinq tons; quelquefois même il s’est élevé à près de deux octaves.

Cet intervalle devait être, suivant la théorie, d’environ une octave et moins de deux tons; mais comme le son correspondant aux valeurs H— 1 , 7/2=1, est alors trop bas de trois tons, il faut ajouter ces trois tons à une octave et deux tons, pour avoir l’intervalle conforme à la théorie. Ainsi, on voit que, sauf quelques pièces qui ont donné plus d une octave et cinq tons, l’expérience est conforme aux résultats des formules.

J’avouerai pourtant que les cas où l’intervalle a excédé une octave et cinq tons, m’ont laissé quelques scrupules. Je sais bien que souvent l’expérience s’écarte un peu de la théorie, même sur la lame droite; mais j’ai beaucoup regretté de n’avoir pu obtenir la figure correspondante aux valeurs n— 1, m —2, sur des surfaces plus courbes, afin de pouvoir vérifier si l’accord que j’ai obtenu sur celles dont la courbe n’excédait pas 90% continuerait de se faire remarquer.

L’intervalle des sons correspondais aux valeurs «=i, / 5 r/ = -, et n = i, m = 2, a été trouvé, n° 27, de 3 tons et demi.

Lorsque la courbure des pièces était beaucoup au-dessous de 90% l’expérience a donné un intervalle plus petit, parce qu’alors, comme je viens de le dire, le son correspondant aux valeurs n=i, m = 2, était un peu plus bas que ne le veut la théorie. Sur les surfaces dont la courbure différait peu de 90% l’intervalle a été le plus souvent entièrement conforme à la théorie5 il est pourtant arrivé que quelques pièces donnaient un intervalle un peu plus grand, ce qui ne pouvait manquer d’avoir lieu, lorsque l’intervalle entre les sons correspondans aux valeurs 7 i=i y m=. 1, et n=iy m=2 t surpassait aussi celui qu’iudique la théorie.

L’intervalle de trois tons et demi entre des sons qui accompagnent la formation de deux figures nodales, composées d’un même nombre delignes de repos, est fort considérable; et il serait difficile d’en rendre compte, si l’on n’était guidé par aucune considération théorique ; car en même temps que les sons diffèrent d'une quantité si remarquable, l’arrangement des lignes nodales est, à raison de la courbure, sensiblement le même de part et d’autre; je veux dire que l’espace compris entre une des lignes nodales et l'extrémité, est égale à la moitié de celui qui sépare ces deux lignes. Indépendamment des cas de vibration dont je viens de parler, j’en ai observé un grand nombre d’autres ; mais la difficulté de ces expériences est telle, qu’il m’aurait fallu encore beaucoup de temps avant de pouvoir être sûre d’avoir écarté toute cause d’erreur.

Par exemple, la position des lignes nodales, qui est d’une extrême importance dans l’application de la théorie, ne peut être bien connue sur des surfaces courbes, qu’après des essais souvent répétés; car, d’une part, la figure nodale ne peut jamais être observée tout entière d’ùn seul coup-d’œil, comme sur les surfaces planes, et de l’autre, l’influence de la courbure, qui tend à entraîner la poussière vers les points les plus bas, ne peut être évitée que par des attentions délicates, que le moindre mouvement involontaire peut rendre inutile, en faisant disparaître la ligne que l'on cherchait à observer.

Malgré ces difficultés, je puis affirmer que, dans les cas de vibration compris dans l'intégrale (N), intégrale qui paraît devoir expliquer un grand nombre des figures nodales que l’on observe sur les surfaces courbes, et qui, au contraire, est peut-être toujours exclue sur les

plaques par les cas de vibrations compris dans l’intégrale (L), les lignes de repos sont toujours disposées comme le veut la théorie.

En effet, par la nature de l'intégrale-(N), les lignes nodales parallèles aux cotés courbes de la surface, sont en même temps des lignes de limi es analytiques; il résulte de là, qu'ainsi que je l’ai déjà expliqué par rappoi t à 1 intégrale (L), quelle que soit la courbure, l’espace compris entie deux de ces lignes, doit être double # de celui qui sépare l’extrémité de la ligne la plus voisine.

Cette disposition a lieu constamment, quelle que soit la courbure de la surface et le cas de vibration que l’on observe.

La théorie veut, au contraire, que, pour un cas donné de vibration , le plus ou moins de courbure de la pièce influe sur la disposition des lignes nodales parallèles aux côtés droits de la surface, et elle indique dans quel sens cette influence doit agir. L’expérience montre cette influence d une manière frappante; mais il reste encore beaucoup de calculs à faite pour déterminer par la comparaison aux sons correspondans, ans quel cas elle excède la mesure que la théorie pourrait fournir. Enfin, la théorie veut, comme nous l’avons dit n° a 7 , que, pour une valeur donnée de /S", le changement de position des lignes nodales soit d’autant plus grand, que la valeur de « est plus considérable; elle veut meme que l’influence de l’accroissement du nombre n , soit beaucoup plus grande que celle de l’augmentation de la courbure.

L’expérience confirme constamment cette indication du calcul; en sorte que, par exemple, sur les surfaces qui ont peu de courbure, si

^ = 2° el fl uon ^sse successivement tz = o, nz= i, n = 2, etc., on

aura d abord le premier cas de vibration de la simple lame, dans lequel es eux lignes nodales seront disposées sensiblement de la même ma-

eie qu elles devraient 1 etre sur la plaque carrée, 'ou qu’elles le sont emerît sur la lame droite ; ensuite le cas de vibration dout nous avons , a P ar | e > el dans lequel l’espace entre les deux lignes nodales est a peu piès double de celui qui sépare une de cés lignes de l’extrémité a oisine, et, lorsqu on prendra n = 2 , les deux lignes se rapprocheront de maniéré a ce que 1 espace qui sépare l’une d’elles de l’extrémité voisine, soit quelquefois plus grand que l’intervalle compris entre ces lignes.

Lorsque la surface a une courbure plus considérable, l’influence de ag |~ t,0n de c ° urbure > et celle de l’accroissement du nombre *, o 11 ans le même sens; l’expérience présente en effet alors des

parallélogrammes plus ou moins alongés, dont une des dimensions reste invariable, tandis que l’autre varie dans des proportions qui, sauf un examen plus approfondi,paraissent être conformes aux indications du calcul.

Je sens combien il reste encore à faire avant de pouvoir affirmer que l’expe'rience confirme l’exactitude delà théorie qui a été déduite de 1 hypothèse que j’ai proposée. Malgré l’imperfection de ce travail, j’ai désire le soumettre au jugement du lecteur; il lui fera entrevoir au moins quel parti on pourrait tirer des formules, et quelles sont les difficultés que l’on rencontre dans leur application, a raison surtout de la complication pour ainsi dire accidentelle que l’expérience présente dans les premiers cas de vibration. J’ai pensé aussi qu’une théorie qui, par sa nature, est applicable à un certain ordre de phénomènes , ne devait pas être présentée isolément : d’ailleurs, mon but, en publiant ce Mémoire, a été de consulter l’opinion des géomètres, non-seulement sur la légitimité de l’hypothèse que j’ai cherché à démontrer, mais encore sur les applications dont la théorie me parait susceptible.