J . -= COS P

ds 2 ds*

Ces valeurs mises dans l’équation

i+cos«r^^a--J I

a \ dx a cosV ds “ J*

donnent

S’il était question d’une surface plane, la direction des (/■) se confondrait dans chacun de ses points avec celle des z, et on aurait

i 3 . En mettant dans les termes généraux

-ssN*Q+i-Q + i)]<r(i +; L)^

+ ss T [(7 + 7) ~ Qr + w) 3 Un>

pour !+■-(£ +jL) et ~ 4- ^7 les valeurs que Ton vient de trouver, ils deviennent

-SS + + ^ + $ 2 ) dm

+ SS T + Tp) & + - 5 ) ^

Dans la suite, nous écrirons r au lieu de (r); mais il faudra se rappeler que /-désignera, au lieu du rayon de principale courbure élastique , la différence entre les rayons de plus grandes courbures naturelle et élastique.

On a dm = dxdy \/1 -\-p ' a -{- <jr' a = dxds', ou, à cause de ds = d/w = dxds .

En intégrant par parties le terme

SSN-(&+£K-i.

^ dxds ,

on trouvera

- X dx.fr

+ SSN-(^ + a ^ s )JV.*«te

+ sN-(^ + •£)/ % .dx- S NV x dx. JY

+ ssn *(Æ+£)^-*^-

A l’égard du terme

<G£r+ï9GS + £

on observera que, dans les suppositions présentes, la quantité -^4-^ est entièrement négligeable vis-à-vis de déplus, il faudra se rappeler que quand il s est agi, n° io, de trouver quelle est la force avec laquelle l’élément tend à se contracter, on a regardé la quantité p-—- 4. L^

comme constante. Cela pose', le terme qui nous reste à intégrer sera

~ SS ~â + 2?) ^ dm >

et nous aurons

= ~ SS t (& + g) (/^+? r — s Ç(è+£)'>-y

. CC K-/ iv . ^(0 (> + P'- + 9'*) -P*é£~ P'9' dP^r), ,, , R ,

+5,6 -j U ?*-+dsV - V‘ - i—dx'dy.s-:

~ S -a(J^+7?)v^ Z '- dx '

Wl ~ P ' q ' ^vldx'df Jz',

+<(£ ou, h cause de

O-h-Wgs -^V^+C+W)^-^ J-l-PV

, «/‘a' dx'dy'

d 3 z' dy '*

cfo*

ss -;- g&+$)^*.=- s5 (^+10:4 ^

-sïCôt+Sf"-"

— ss +

Quand on attribue, comme nous le faisons ici, la variation à la seule quantité /•, l’équation z' = (R-}-/') cos y, donne cJV= cos et par

conséquent, à cause de dx'df = dxdy = dx / * = cos p dxds ,

iïzdx'dy' z=. cos a v.&rdxds.

Mais il est évident que la valeur de cos p dépend uniquement du choix des coordonnées, c’est-à-dire de leur situation autour du centre de cercle qui a été pris pour origine; or, la valeur de v ne peut varier

qu’entre les limites o et^; la valeur de cos p prise entre ces limites, se

réduit à l’unité. On peut donc mettre, dans le terme affecté du double signe SS, S'rdxds , au lieu de S'z'dx'dy'.

Par les mêmes raisons, on mettra dans les termes affectés du signe S ,

«TrdV au lieu de^Jz'dy'; frdx, au lieu de ^ £z'dx’ : et pareillement aussi dans les termes affectés du même signe S, qui appartiennent au terme qui a été intégré plus haut, il faudra mettre l’unité à la place de—. Il faut

/ , ux"

encore observer que, suivant ce qui a ete dit n° 12, on aura

, dz cos v dr

P dx cos v dx"

dz'

et par conséquent

— dv —

cos P -j— dy

dr

dr dr ds dr / -;-: dr

COS p Ts ■ Ty = ' C0S * * •'V 41 + r = £ •

S'z'djr' = £ rds , J ePz'dx' = ~ S'drdx.

Cela posé, et en faisant attention aux signes qui doivent être attribués aux différens termes que nous venons de calculer, nous trouverons