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ils se rapportent, comme on sait, aux limites de l’intégrale.

h surface P ' en “ lnfln, ’ 1 3 ' lgle " deviendra nul P°“>' “>«* les points de lajiurface; ou aura, comme nous l’avons dit „• ,a, r=, x '=x el

s ^ équation (A) se réduira alors à

(B) .. . . N* Æ -4- 2 -ÜL- a , d’z

\dxi ^ 3 dx"‘dy + d^)+jp = 0 -

la snrf!rp V ÜÎ enl ^ ieS ® u PP 0slll0ns présentes ne peuvent convenir qu’à , . i, P 306 ’ 1 ec I ual,on (B) appartient donc à ce genre de surfaces

contenue Z le

tionjTsecoad d P JtT eS . élaSliqUeS a e ’ td ad “ise sans aucune contestaes Mémoires que j’ai présentés à l’Institut a été consacré

tout entier à en examiner les conséquences analytiques et à comparer les résultats de la théorie a ceux de l’expérience; enfin, la même équation peut être déduite de l’hypothèse des forces répulsives; je crois, en conséquence, pouvoir me dispenser de m’en occuper ici. En me bornant à faire remarquer que Ton obtient pour le cas des surfaces planes, une équation pareille, soit que l’on emploie l’hypothèse particulière à ce cas, soit que l’on substitue dans une équation résultante de l’hypothèse générale les valeurs propres au même cas, j’ai voulu seulement établir une induction favorable aux procédés qui ont été employés dans la recherche de l'équation des surfaces cylindriques, équation qui n'a pas encore été publiée et qui, ce me semble, ne pourrait pas être déduite des principes que j’ai combattus dans les numéros précédens.

Reprenons l’équation (A) et supposons x" constante, elle se réduira a

t».t, /^ 4 r i d*i\ , d 2 r (C)-N zp) -h gjs —o.

et cette dernière équation appartiendra à l'anneau circulaire. En effet, dans la supposition admise on pourra parcourir, sur la surface cylindrique, une ligne parallèle à Taxe, sans que la valeur de x", et par conséquent aussi celle de .r, varie; la valeur de x exprime la distance comprise entre le point auquel elle appartient et le plan des z et y; si en parcourant la ligne parallèle dont nous venons de parler, la valeur de x ne varie pas, il faut nécessairement que celte ligne soit réduite à un seul point; or, il est évident qu’une pareille supposition transforme la surface cylindrique en un simple anneau circulaire.

Les termes qui se rapportent aux limites de l’intégrale sont alors

— SN a

N dr * a* ds 1 ' ds’° J% ‘

! 5. J’avais déjà donné, dans le dernier des Mémoires que j’ai présentés à l’Institut, l’équation de la surface cylindrique et celle de l’anneau circulaire; mais elles différaient des équations (A) et (C) par le signe du terme dépendant de la courbure. Je conviendrai d’ailleurs que ces équations avaient été plutôt énoncées que démontrées; aussi ne paraissent-elles pas avoir été remarquées. Lorsque je voulus essayer l’hypothèse générale que les objections faites contre celle que j avais d’abord proposée m’avaient donné lieu d’imaginer, je vis avec plaisir qu’elle me conduisait à une équation des surfaces cylindriques, qui avait avec l’équation de l’anneau donnée par Euler (tome X des Mémoires de

St.-Pétersbourg), la même analogie que celle qui existait entre l’équation de la plaque vibrante, que personne ne conteste, et l’équation de la lame droite. Je.savais, à la vérité, que la théorie contenue dans le Mémoire de Sono Campanorum , n’avait pas été jugée conforme à l’expérience ; mais je ne pouvais croire que le grand géomètre à qui elle est duc ait pu commettre une erreur d’analyse réellement grave. Le temps me manqua pour me rendre compte du signe que j’attribuais .au terme dépendant de la courbure, et j’adoptai sans examen celui qu’Euler avait employé. Au reste, j’eus soin d’avertir que le peu d’expériences que j’avais tentées sur l’influence de la courbure, dans les surfaces cylindriques, donnaient des résultats contraires à ceux qui étaient indiqués par la théorie que je proposais. Je tâcherai de prouver, dans les numéros suivans, que l'équation de l’anneau donnée par Euler, dans le Mémoire de Sono Campanorum , n’est affectée que d’une simple erreur de signe, et que cette erreur qui, analytiquement parlant, est peut-être la plus légère qu’un géomètre puisse commettre, suffit cependant pour éloigner entièrement la théorie de l’expérience.

On voit, par ce qui précède, que je suis loin de contester l’inexactitude de l’équation qui se trouve dans le tome X des Mémoires de Saint- Pétersbourg; j’avoue cependant que l’idée du défaut d’accord entre la théorie et l’expérience ne me parait fondée sur aucun fait actuellement publié, je ne sache pas même que l’on ait encore tenté de soumettre à l’expérience le genre de mouvement de l’anneau auquel se rapporte l’équation dont il s’agit. On m’objectera peut-être l’assertion de M. Chladni. Cet habile physicien a fait ici tout ce qu’il a dû faire : il a comparé les nombres qui expriment l’intervalle des sons qu’il a obtenus, avec ceux qu’indique Euler, d’une part dans le mémoire de Sono Campanorum et de l’autre dans celui Investigatio motuum qilibus lamince, etc., 1779, et il a conclu delà différence qu’il remarquait que la théorie énoncée dans l’un comme dans l’autre de ces mémoires, n’était pas d’accord avec l’expérience. Il n’entrait pas dans l’ordre de ses travaux de pénétrer dans la théorie plus avant que ne l’avait fait l’auteur lui-même, pour y chercher l’explication des faits qu’il avait recueillis.

Dans le mémoire de Sono, etc., il s’agit du cas où chacun des points de l’anneau se meut en changeant sa distance au centre du cercle, mais sans sortir du plan de celte courbe.

Au c °ntraire,la théorie de l’anneau donnée dans le mémoire dé 177 g est relative au cas où le mouvement s’exécute dans une direction perpeu-

diculaire au plan de l’anneau. Le premier de ces cas se lie à la théorie des surfaces cylindriques : j’y reviendrai dans les n os suivans.

Le second appartient à la théorie des surfaces planes, je m’en suis occupé dans le second de mes Mémoires, et quoique je n’aie présenté alors que de simples conjectures sur la manière d’expliquer les expériences de M. Chladni, j’avais cru pouvoir affirmer que les formules d’Euler étaient d’accord avec l’expérience; c’est ce dont je m’étais assurée par des expériences relatives au cas particulier auquel se rapportent les nombres indiqués par l’auteur.

Le genre de mouvement dont il s’agit ici est étranger à l’objet principal de ce Mémoire ; cependant comme on a souvent confondu les deux équations qu’Euler a données, je crois devoir m’arrêter un instant à expliquer les expériences de M. Chladni et la théorie contenue dans le mémoire de 1779.

11 me parait certain que les expériences mentionnées au n° 89 du Traité d’Acouslique appartiennent au cas où le mouvement de l’anneau s’exécute dans une direction perpendiculaire à son plan ; en effet, l’auteur dit positivement que l’anneau repose sur des chevalets appuyés eux-mêmes sur une table, ou, ce qui est la même chose, sur un plan horizontal, et que le frottement exercé par l’archet doit être exécuté dans la direction verticale. 11 est impossible que le genre du mouvement soit indiqué d’une manière plus précise.

M. Chladni a trouvé que dans les vibrations de l’anneau il se formait 4,6, 8, 10 ou un plus grand nombre de nœuds placés à distances égales les uns des autres, et que les sons correspondans étaient entre eux comme les quarrés des nombres 3 , 5 , 7,9, etc.

Revenons à la théorie d’Euler. L’équation de 1 anneau donnée n° 52 du

mémoire de 1779 ne diffère de celle de la lame droite que par le changement de x en 5 ; celle différence seule se fait aussi remarquer dans l’intégrale : il est donc évident que l’une et l’autre, considérées analytiquement, peuvent s’appliquer aux mêmes cas de vibrations : cependant 1 auteur semble avoir éprouvé une sorte d’embarras par le défaut d extrémités pliysiqu& qui caractérise les courbes rentrantes. Cet obstacle, P* us a P’ parent que réel, la empêché de déterminer, comme il l’avait fait a l’egard de la lame droite , la valeur des constantes qui servent a distinguer les différens cas de vibrations compris dans l’intégrale.

Il est hors de doute que soit qu’il s’agisse de la corde tendue, de la flûte ouverte aux deux bouts, de la lame élastique , de la surface tendue

C Si )

ou de la surface élastique : une partie vibrante est le plus souvent partagée en plusieurs portions qui sans être terminées par des points ou des lignes d’extrémités physique, sont pourtant séparées par des points ou des ligues de limites analytiques .

Je ne pense pas que cette remarque ait été encore faite au temps où Euler écrivait, il est même certain que je ne l’ai rencontrée nulle part; mais dans le second de mes Mémoires j’y ai beaucoup insisté ; j’observerai, en passant, qu’elle pourrait fournir une forte objection contre l’hypothèse des forces répulsives qui, comme on sait, est si peu propre à rendre compte de l’état des limites.

Quoi qu’il en soit, l’auteur n’a appliqué sa théorie de l’anneau qu’à un seul cas, et bien qu’il ne paraisse pas s’en être apercn , dans ce cas même, le plus simple de tous,si l'anneau pre'sente n points de repos il existe sur sa circonférence 2/1 points de limites analytiques. Je regrette de ne pouvoir m’arrêter à prouver celte assertion , je me contenterai d’observer que le cas dont il s'agit ici est entièrement semblable à celui, qui relativement à la lame droite, fait le sujet du n° 35 du mémoire d’Euler. Je me suis assurée que les nombres indiqués par Euler expriment en effet les intervalles des sons qui accompagnent chacune des figures nodales.

J’avais d’abord hésité à rapporter les expériences de M. Chladni au cas qui fait l’objet des n os i 5 — 22 du même Mémoire ; mon doute venait uniquement de l’égalité entre les intervalles qui séparent les points de repos, car si 1 anneau vibre alors comme deux lames courbes séparées et qu on puisse par conséquent appliquer ici l’analyse contenue dans les n os cités, les intervalles entre les nœuds ne sauraient être parfaitement égaux entre eux; j’en aimonlré la raison dans le mémoire dont j’ai parlé. Cependant comme je crois que celte observation ne se trouve nulle part ailleurs, il me paraît probable que l’inégalité n’aura pas été remarquée. 11 est certain au moins qu’en rendant compte de ses expériences sur la manière de vibrer de la lame droite qui se rapportent aux n os 1 5 et suivaqs, 1 auteur n’a pa paru attacher une grande importance à l’inégalité des intervalles qui séparent les nœuds. On lit en effet n° 71 du Traité d’Acoustique «.••• et la longueur d’une partie entre deux nœuds est a peu près le « doublet, une partie située à une extrémité. » Cependant j’ai reconnu que, conformément à la théorie d’Euler, les intervalles entre deux nœuds ne s °nt alors ni égaux entre eux ni double de celui qui sépare l’extrémité, du nœud le p] us voisin. Les inégalités qui doivent avoir lieu sur l’anneau sont absolument les mêmes que celles qui peuvent être observées sur la

lame droite, ainsi je crois être fondée à rapporter les expériences de M. Chladni à la manière de vibrer à laquelle s’appliquerait l’analyse des n os i 5 et suivans. La série des nombres qui représente les intervalles des sons et le nombre des nœuds correspondans sont égaux de part et d’autre, et cette double ressemblance établit la plus parfaite identité.

On voit que la théorie d’Euler est plus étendue que ce savant auteur ne l’avait pensé et qu’elle s’applique parfaitement à des cas qu’il avait cru devoir exclure. 11 me paraît donc prouvé que les expériences de M. Chladni appartiennent exclusivement au cas où le mouvement de l’anneau s’exécute tout entier dans la direction perpendiculaire au plan de la courbe. Je ne crois pas qu’il ait encore été publié aucune expérience sur les vibrations des lames courbes dont les différens points se meuvent sans sortir du plan de leur courbure. Dans tout ce qui va suivre je m occuperai exclusivement de ce dernier genre de mouvementauquel s’applique l’équation (G). Je remets à un autre temps l’examen des mouvemens de l’anneau qui s’exécuteraient dans d’autres directions, et j’espère donner dans la suite une théorie complète de ces divers mouvemens en les liant à celles de différentes surfaces élastiques.

16. Revenant à l’objet principal des présentes recherches, nous nous bornerons a considérer, parmi les différens mouvemens qui peuvent se manifester, ceux qui intéressent la théorie du son.

Lorsque les mouvemens sont réguliers, ils peuvent être comparés à ceux du pendule simple, dont la longueur est A ; et si l’on prend pour unité des espaces parcourus, la hauteur dont un corps abandonné à lui-

même tombe dans une seconde, on obtient l’équation ^7= —

Cette valeur de — mise dans l’équation (A), n e 14, donne l’équation

dW

dx n *ds a

dh 1 / d*r , f? 2 r\~~l ___ & ds± Vïc^ J r*

L'équation (D) s’appliquera donc aux mouvemens réguliers de la surface cylindrique.

La même substitution opérée dans lequation (C), donnera

( E) ...N*(ir-

a 1 ds v

et celte dernière équation comprend tous les mouvemens réguliers dont l’anneau circulaire est susceptible.

L’intégrale de 1 équation = -j est ,=Msin (f-f. « f ormu , e

dans laquelle M désigne non-seulement une quantité constante mais encore une fonction de æ"el de s, s’il s’agit de la surface, et de s seulement, s il n’est question que de Panneau. La quantité £ représente un angle pris pour constante arbitraire.

Cela posé, puisque le mouvement doit toujours être tel qu’il puisse elre comparé à celui du pendule simple, dont la longueur est k, le temps

dune vibration exprime en seconde, sera wy/k, et on aura ■'^7= pour

le nombre des vibrations qui s’exécutent dans la durée d’une minute. Ce nombre donne par conséquent la mesure du son.

17. En négligeant d’écrire le coefficient relatif au temps l’intégrale complète de l’équation (E) sera de la forme

(F) . r = • • • • (Ae* 5 -f- Be—** 4- c sin /3 s + tj* cos @s)

À, B, Cet D sont des constantes arbitraires qui doivent être déterminées, comme Euler l’a pratiqué pour le cas de la lame droite, à l’aide des conditions auxquelles peuvent être assujetties les limites de l’intégrale. Les coeificiens et et /3 doivent satisfaire à la double condition

h = & ^ % = fcjgstf on en tire a* — & — et en divisant

par a*a» —./ 3 a = —, il est facile de voir que l’intégrale quon vient de donner est en effet l’intégrale complète de l’équation (E); car si ion satisfait à cette équation en prenant r =..^, on aura la condition 1 1 .. / .

~â : kW* celte dernière équation donnera pour X quatre valeurs,

et la somme de ces quatre valeurs multipliées chacune par une constante arbitraire, sera l’intégrale complète de l’équation (E). Il ne s’agit donc

Plus que de déterminer les différentes valeurs qui doivent être attribuées a X.

I/éqü a UonA4£. = ^ d0Qne

a“ ~ 4<i* AM* ~ 4o*>

^ — ^ \/„.+ \/ÂÎr*+4àî"

Les deux valeurs ± v/i+ + 4^4 SOnl réelles; ce sont celles

que nous avons représentées par rira; les deux valeurs.

ziz y/- 1 -— ~ sont imaginaires, et ce sont celles que nous

avons représentées par d= / 3 .

18. L’équation de l’anneau circulaire est applicable à la lame courbe qui, dans toute son étendue, forme un arc d'un nombre quelconque de degrés. Les effets de la courbure seront d’autant plus sensibles, que l'arc sera plus grand. Cet arc aura pour limites d'une part zéro, et. de l’autre 36o°. Le simple calcul conduira donc par une série non interrompue de la théorie de la lame droite à celle de 1 anneau complet.

Reprenons l’équation a a — /B a = désignons, comme a 1 ordinaire, la demi-circonférence par 7 r, et faisons a = a'7r, /3 = @tt. ; cette équa¬

tion deviendra a'* — / 3 ' a =

Si A représente la longueur de la lame courbe dont la courbure est mesurée par le rayon a , et que d soit Tare qui appartenant au cercle dont le rayon est l'unité, est composé du même nombre de degrés que l’arc A,

on aura cette proportion, a : i :: A : d) on en tire-7 = ^. Celte valeur

de A mise dans l’équation précédente, donne et'*—/ 3 /a = — • On peut

encore prendre = / 3 '= j; la même équation se réduira alors h

La différence entre a" a et jS" a dépend donc uniquement du nombre de degrés compris dans l’arc A, c’est-à-dire que celte différence est proportionnelle à la courbure de la lame.

Ainsi, par exemple , on a pour la circonférence entière a" a — / 3 " a = 4

pour les J.a ,/2 — / 3 ,/a = |

pour la {.—/ 3 " a =i

pour le ^. a P —4

et enfin lorsquerf = o, on a, conformément à ce qu Euler a trouvé en considérant isolément le cas de la lame droite , /3 * = 0. Le son est

«primé par la formule si dat.sl’equalion^+t^^L 0 u met

pour & et - les valeurs précédentes, elle deviendra

ï-JÜi . i

on en tire

j—; gyf , ÆTT^ i . r :.—tf

Celte formule montre que l’élévation du son est en. raison inverse du carre de la longueur de la lame vibrante.

Comme je lai dit n“ 7 , on a coutume de regarder le coefficient N* comrtre

mull.p e du sm.pl. quarre de l’épaisseur, et on admet, par conséquent, que 1 élévation du son est en raison directe de l’épaisseur. J'ai cherché à prouver, dans le n” que je viens de citer, que le coefficient N* est réelle ment multiple de là quatrième puissance de l’épaisseur; il en résulterait que 1 élévation du son serait en raison directe du carré de l'épaisseur

F„ e a (re°, Ue |’ qU , eCe '!, e C r ClUSi0nme Parai ' C0,ïf0 ' me a la " a ^e des choses'.

d ni un no T j 7 ? exté ' ieu,e f ' ue P r °d u ' t le son, considérée dans un point donne de la lame, équivaut au moment d’un certain poid»

Si Ion conçoit que la longueur de la lame vienne à être doublée le bras de levier et le moment supposé seront également doublés • mais si on veut en meme temps que l’épaisseur soi. aussi doublée, la réslTtance era acciue dans la meme proportion que la force à laquelle elle est on posee, par conséquent l’angle de contingence sera I cra L , 0p -

eû. conservé ses premières dimensions. 6 qU ° 41 h lame

Nous avons vu que l’élévation du son, toutes choses égales d’ailleurs est en raison inverse du carré de la longueur de la lame; cette élévation

la \atne droite i] • “ re ^ et j er ^ e3 ex périeuces de M. Chladni sur les vibrations de lesquelle, le, iL “a f"? ? lus,eurs fols de r eucontrer de, pièce, défectueuses sut Comme je tfemul ’ T”', d,9 P osées an,reœe " t 1 ue le, autre, lames, le défaut de, pièces des Iames.de verre, il me parafait difficile d'attribuer

i. , e élasticité naturelle, différente dans les divers no r j

leur longueur. Je pensa, que ce devait être plutôt l’épaisseur qui, quoitme P u “ égalé, variait cependautd’un point à l’autre. Afin de vérifier ce s „„n “ensibiement

de, lame, dont l'épaisseur était sensiblement inégale et augment-,/' 0 " ’ ’* , m ® P rocurai Le P d- nt 4 1,a, " re ’ da " S t0 “ te ' eUr l° n S ue ur. S aSS6Z regulierement

sidérablé; , ur j e3 ho nes nodales, que j avais d’abord remarqué, était peu coqentre la longueur et J’*' 6 * - ,° nt VIens de parler, il devint fort apparent, et il s’établit épaisseur des diverses parties de Ja lame, une compensation telle