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Reprenons la formule \/£" a + ^, e ^ e montre c l ue s ’ a git
de l’anneau fermé les sons seront proportionnels au nombre y/V a +4r
des deux tiers de la circonférence.
. . f N 7T fi" / „
de la demi-circonférence.•. ~£*~ V ^ 1 *
du quart...*.
et enfin de la lame droite.*--
On voit que pour une valeur donnée de fe* le son sera d’autant plus aigu que la courbure de la lame sera plus grande. L’intervalle entre les sons correspondans à deux cas donnés de vibration sera au contraire d’autant moindre que la courbure de la lame sera plus grande.
Il est clair que si, à l’exemple d’Euler, on eût donné un signe contraire au terme dépendant de la courbure, on serait arrivé à des conclusions opposeés.
Pour connaître dans chaque cas de vibration les nombres qui donnent la mesure du son, il faut déterminer d’abord les valeurs correspondantes de la quantité / 3 ". Nous y parviendrons à l’aide de l’analyse dont Euler a fourni le modèle dans le mémoire de 177g.
TT et" 7T ô"
T g. En mettant dans l’intégrale (F). .. . au lieu a et au lieu de jS, elle devient
(G) • (A<T x -4- A + C sin *0" D costt/S").
qu’une partie comprise entre deux lignes nodales était, toutes choses égales d’ailleurs, d’autant plus grande que l’épaisseur était plus petite.
La théorie pouvait rendre compte de cette compensation, mais elle ne tue parut pas devoir en fournir la mesure. Je remarquais, en effet, que le moindre changement dans l’épaisseur en produisait un très sensible sur l’étendue de la partie comprise entre deux nœuds, et je ne pouvais expliquer une si grande influence, lorsque j’admettais, comme on avait coutume de le faire, que le son était en raison directe de la simple épaisseur. Quand j’ai été conduite , par des considérations tout-à-fait indépendantes de cette observation, à penser qu’on devait mettre dans la formule le carré , au lieu de la première puissance de l’épaisseur, le fait dont je viens de parler m’a paru facile à expliquer.
Au reste, je ne me suis pas arretée à chercher la mesure de 1 influence d’une aug— * mentation donnée de l’épaisseur-, ainsi je ne me crois pas encore suffisamment autorisée à annoncer que l’expérience confirme le choix du coefficient que j’ai adopté.
Les conditions des extrémités données n° 14 sont
= SN“ ~.J'r= o, SÏ.g*.^=o.
Il est évident que si les deux premières sont satisfaites la troisième le sera dè même.
Si l’on fait à la fois c ~ = o et = o, pour les deux valeurs S = o,
S= A } on aura tous les cas de vibration dont une lame libre à ses deux extrémités est susceptible.
j~= o)p our ^ exlr é m i l éS=o, A -f- B — D =o J i donnent A — B—G =o
^ = o J.S =A, Ae**"-hBe —*-*".—G sin-7r/3 f '—D cos 7 rfi"=o
—Gcos9T/3' , -f-Dsin7r/3 f —o.
En mettant dans ces deux dernières équations pour D et G leurs valeurs tirées des deux premières, elles deviennent
Ae**" + Be-**" — (A—B) sin *j0" — (A + B) cos Afl~" — Be-~r — (A—B) cos tt/ 3" -f- (A^f-B) sin tt/ 3" =o,
ou
A ( e™ — sin tt/S" — cos 7 r/S") -f- B (e— »«" -f- sin — cos = o,
A (e**" -f- sin -zr/3"— costt/S'') — B (©—*■«"— sin 7 rf 3"— cos tt/S") = 0 , on en tire
— sm x/i
e **■ + sin x/f — cos x/i ir
rtt -f- sin x/i" — cos x/i" è 7rx — sin xfi" — cos 7r^ n *
1 —( e**" -f- e ~»*") (sin 7 r( 3" -f- cos tt/S") -f- (sin 7T/3" -f- cos tt/3") 3 = — 1 — (e w '+ e-**") (sin 7T/3"— cos 7TjS")—(sin 7rfi" — cos '7r/3") , ) 2—■2 (e»»" -f- e—**") cos tt/S" -f- 2 (sin 3 tt/ 3" +cos a -7ryS f '^ = o ;
4 — 2 (e jr «"-f- e—*■*") cos 7r/3"= o.
Et enfin, cos 7 r@>'^,
-- et sin'7r^==t:\/i—cos
si l’on mel dans l’équation 4 = “—«-- - —7"> 311 ^ eu s ' m7r @'
et. de cos 7 r/3’, les valeurs qu’on vient de trouver, et qu'on multiplie le numérateur et le dénominateur du second membre par + on aura
e ~ ) —i -f-e" w 'zp (e ffa "— ë~ 7r et "') .
A - = hP ( e Wet " i) (e**' e~
î ihCe** —«■“*■*)
Les signes supérieurs appartiennent au cas où sin7r/3' r est positif; ils
donnent * . i
Qonneni B c e W! 4. ( e ** *-«» )
on aura, en prenant A = 1 , B = e** ,
L’intégrale (G) deviendra donc
