DES PROJECTILES DAHS L'AIR

En négligeant tonjoars k quatrième puissance de pA^ on pourra mettre dans les quantités comprises entre les crochets, Funitë et — pA à la place de i — pA et log (i — pA) -, et en ayant ëgard aux valeurs de u et (^9 il en résultera

/ïU = — ^' Q » — I -4- cos a) ,

Je substitue maintenant ces valeurs dans les deux dernières équations (R) du n^ 3i } en supprimant les termes de leurs seconds menv bres , qui dépendent de U' et V , il vient

Cette valeur de j^ exprimera à chaque instant la déviation horizon^ taie de la balle , due à sa non-sphéricité, et à sa rotation provenant des hélices tracées dans l'intérieur de Tarme \ elle est, comme on voit,^ indépendante de Tangle du tir. Suivant qu'elle sera positive ou négative , elle aura lieu à gauche ou à droite du plan de projection , et Ton 7 devra prendre le signe supérieur ou le signe inférieur , selon que la partie supérieure de la balle tournera de la gauche à la droite ou de la droite à la gauche du soldat. Il est facile de voir que la quantité comprise entre les parenthèses sera toujours positive ; et comme la fraction t est positive pour la balle allongée , négative pour la balle aplatie, il s'ensuit que, dans la supposition qu'on a faite d'une très petite valeur de pA, la balle allongée déviera à droite et la balle aplatie à gauche , quand la rotation se fera de gauche à droite^ et vice versa, lorsqu'elle aura lieu de droite à gauche.

Le temps t^^ au bout duquel la balle sera parTenoe à une distance donnée naty de son point de départ , sera toujours déterminé par Téquation (S) du n^ 32 , savoir :

I "h- fjuitf = ^[i ^- 2€ (i — lu/m — e '*^)] ;

et ne dépendra pas^ par conséquent, de l'angle du tir. Si Ton veut i^ue ^ soit la portée horizontale y c'est-à-dire la distance à laquelle la balle retombera sur le plan horizontal de son point de départ, et si l'on désigne alors par € l'angle du tir qui devra avoir lieu , de sorte qu'on ait z »» o pour f = ^ et b:=s€y il en résultera

g[i ^ i f log (i -+- /ua/^)] log (i ^ /Lutt") )

équation qui servira À déterminer t au moyen de la valeur de t\ déduite de Téquation précédente , et où Ton désigne par A^ la valeur correspondante de A.

Lorsque l'on tirera sous un angle by différent de é, et tel que l'on ait i = € -+- i' , si Ton représente par y et z' les valeurs, de^. et z , on aura, d'après les formules (i) et Féquation^ précédeqte,

y=r=F^'(-«.'-H-COSyV )

z^ = - 1^1 + 5 € log (i -h f^at^fj log (i -4- /uaf). )

Les coordonnées horizontale et verticale y' et zf, seront celles. du point où le centre de la balle viendra frapper le plan de la cible, placé à la distance ^ , vertical çt perpendiculaire au plan de projection. Elles auront pour origine le centre de la cible , c'est-à-dire le point de son plan vers lequel le soldat vise, à chaque coup. Toutefois, on ne doit pas perdre de vue qu'à cause de l'omission des termes qui

DES PROJECTILfiS DANS L'AIR. !lâ5

dépendraient des intégrales U^ et Y^^ les formules précédentes répondent à la position moyenne da centre de la balle sur la cible, dans un très grand nombre de coups , et qu'elles peuvent même se trouver en défaut quand il existe , dans la construction de l'arme , quelque cause constante qui influe sur les déviations du projectile. En effet 9 les valeurs de ces intégrales résultent à chaque coup; ainsi qu'on l'a expliqué dans le Mémoire , dp circonstances accidentelles dont les effets se compensent et disparaissent généralement dans les résultats moyens d'une longue séries d'épreuves, aussi semblables qu'il est possible. Ainsi , en tirant un très grand nombre de coups sous l'angle C déterminé par l'équation (n), on trouvera que la moyenne des coordonnées verticales z , positives ou négatives , approchera de plus en plus d'être égale à zéro , et finira par n'en plus différer sensiblement. En tirant sous un autre angle 0,^11^ on trouvera de même que l'ordonnée moyenne, conclue d'un grand nombre d'épreuves , différera très peu de la valeur de t!^ donnée par la seconde formule (3) ; et, quel que soit l'angle du tir, on vérifiera en même temps que la moyenne des abscjss^ horizontales y^ mesurées dans un très grand nombre de coups et en ayant égard à leurs signes , approchera aussi de plus en plus, de la valeur positive ou négative de ^ ^ calculée au moyen de la première formule (2)* Mais il n'en sera plus de même dans le cas de quelque cause constante, lorsque , par exemple, l'axe des hélices, tracées dans l'intérieur de l'arme, ne coïn^ cidera pas exactement avec l'axe du canon : alors les moyennes des abscisses horizontales et des ordonnées verticales tendront bien toujours vers des valeurs constantes, dont elles ne différeront plus sensiblement après une longue série d'épreuves ; mais la moyenne des abscisses ne sera plus égale à j^, et celles des ordonnées ne sera plus zéro ou égale à je^ : il pourra même arriver que les moyennes observées aient des signes contraires à ceux de^^ et js^

Quand il n'existera , indépendamment de la non-sphéricité et de la rotation du projectile, aucune autre cause constante qui tende à élever ou à abaisser les cotips au-dessus ou au-dessous du plan horizontal

326 SUR LE MOUVfiMBKT 3ES PROJECTILES DANS L'AIR.

mené par le point de départ de la balle ^ l'angle du tir^ déterminé par l'équation (i), lorsqae le produit pA sera une petite fraction pendant toute la durée du mouvement ^ comme on le suppose dans cette jid^ ditioHj ou bien par l'équation (T) du n^ 34 > lorsque ce sera la quan-f tité p qui aura une très petite valeur^ ainsi qu'on le supposait dans ce numéro; cet angle, disons^nous, sera le plus avantageux, c'est-* à-dire Fangle sous lequel il faudra tirer pour atteindre la cible placée à la distance donnée «sr, le plus grand nombre de fois dans une longue série d'épreuves. C'est, en effet, ce qui s'est vérifié dans l'exemple du n"^ 36. Par un très grand nombre d'essais faits avec des balles allongées , oïl avait trouvé que la chance de touclier une cible à la distance de ^So mètres , et avec une vitesse initiale de 384 ™^'* très par seconde , était la plus grande en tirant sous l'angle de &if 3o"*j et, d'après ces mêmes données, cet angle, calculé an moyen de l'équation (T), a été trouvé de 6o^ !i5l''j U petite difiéren ce, d'à peu près i' entre le calcul et l'expérience , peut être attribuée en partie aux erreurs des observations, et en partie au degré- d'approximation où Ton s'est arrêté dans cette équation.