ADDITION

Au § m du Mémoire précédente

Pour calculer lès întëgrales U et V, comprises dans les formulés (R) du n^ 3 1 de ce Mémoire, on les a dëveloppëes dans le n^ 34 , suivant les puissances d'une constante désignée par p; et pour que les séries que Ton a obtenues de cette manière soient convergentes y au moins dans leurs premiers termes, et puissent servir à ce calcul , il est nécessaire que p soit une petite fraction , ainsi que cela a lieu dans l'exemple du n^ 36. Mais sans que la valeur de p soit très petite , il suffit que celle du produit de p et de la variable \ le soit pendant toute la durée du mouvement , pour, qu'on puisse développer d'une autre manière U et V en séries convergentes , qui se trouveront ordonnées suivant les puissances de pA^ , et renfermeront en outre des fonctions de \j sinA^, cosA^, dont les valeurs seront limitées et ne sauraient empêcher la convergence. C'est ce que nous allons faire voir dans cette uâddition.

Pour plus de commodité, j'emploierai la lettre A au lieu de A^. D'après les valeurs de cette quantité A^.et de p (n^ 39 et 34)^ on aura

f^at , I

" ' jUUlt

A cause de — = i , et des expressions de Ai et A^ (n^ 34) , on aura donc

DES PROJECTILES DANS L'AIR. :2a ^

en mettant sous les signes /, la valeur prëcëdente de i -^ imaty puis la lettre d au lieu de A. Par Fintëgration par partie , on a d'ailleurs

/'x co8$<JI0 C08A ' -1- * /*^sinOdO

o{i —fSy p (I — PAO ê jj o I — 190> /•x sin ddft 8În A 1 P^ nos OS ^

par conséquent , . les formules précédentes se changeront en celles-ci :

^,/= (ô -f. V) sin A - -f^'4. -h ^ -. -S^/^^ ,

A,/= (34- ^) (i ~ cûs A)---f^4.^ ^ T'-^;

^•^ V ' O./ V /. p(>— PA) /B^oi — p«'

d'où Ton tire

A,/C0S A — (i — Aa/) sin A== — ^— - ^ l' P,

Ai/sin A -h (* — Aa/) COSA=*H-g^H-^Q,

où l'on a fait ^ pour abréger ,

sm A

Au mojen de ces formules , et à cause de

log(n-^f)== — log(i— pA), j

+^r I — pA^

les expressions de U et Y du n'^ 3i ^ multipliées par (jm ^ deviendront

-loge- f^)/^,^ r "".;' ^ 3..

les intégrales relatives à A commençant à A = o.

Celles que P et Q contiennent ne peuvent pas s'obtenir sous forme finie; mais pA étant , par hypothèse, une petite fraction , et ces intégrales ayant 9 = o et d = A pour limites, on pourra développer sous les signes /, en séries convergentes, coordonnées suivant les puissances de pd ; et comme les quantité P et Q se trouvent multipliées , dans les formules précédentes , parlog(i — pA) etp^A, il suffira, si Ton borne Tapproximation , par exemple, à la quatrième puissance de pA inclusivement 9 de s'arrêter, dans ses développements, au carré de pO. Alors, on aura

P = cosA -+-psinA — /"^i -»- pfl4-p^ô^)sin (fl — ?C) d9

= I -+- /ïA -f- p^A^ — ap^A^tt , Q= sin A — p cos A — y^(i -f- pfl -t- p*d*) cos (fl — A) d9

= — p — 2p*AV;

les lettres u et v désignant des fonctions de A , savoir :

M = ^ (i — cos a) , i; = ^ (a — sin A),

dont les valeurs ne deviendront jamais très grandes. Avant de substituer ces valeurs de P et Q dans les formules précédentes , où elles seront multipliées par log (x — pA) et pi/A , on y pourra remplacer

I -^ pA H- /)*A* par j-;;;:^-^» De cette manière, ou aura d'abcNrd