DES PROJECTILES DANS L’AIR

En ayant égard h la rotation de la Terre.

tu A L’ACADÉMIE DES SCIENCES, LE 14 NOVEMBRE 1857.

Dans ce Mémoire, le projectile sera considéra comme un point matériel et isolé, c’est-à-dire comme an corps dont la masse est réunie au centre de gravité ; et il s’agira d’apprécier l’influence de la rotation de la Terre sur son mouvement. J’en présenterai incessamment un autre à l’Académie, où l’on aura égRrdà la forme et aux dimensions du mobile , et dont l’objet sera de déterminer , principalement en ce qui concerne les projectiles de l’artillerie, l’influence que leur propre rotation peut produire sur leur mouvement de translation.

La théorie de la résistance que les fluides en général, et l’air. en particnlier, opposent au mouvement des corps qui les traversent, n’est, jusqu’à présent, qu’une ébauche très imparfaite. On y assimile cette force à une suite continuelle de chocs du mobile contre les particules

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du fluide, qui disparaissent et s’anéantissent pour ainsi dire, à mesure qu’elles ont été atteintes par ce corps, et qu’elles lui ont enlevé de petites quantités de mouvement , proportionnelles à leurs masses et à sa vitesse. Newton, à qui l’on doit cet essai de théorie, en avait conclu qu’abstraction faite de la rotation du mobile, et pour une sphère, par exemple, la résistance de l’air est égale au poids d’un cylindre de ce fluide, ayant pour base et pour hauteur, le grand cercle de la sphère et la hauteur due à sa vitesse. Mais les expériences qu’il Gt sur la chute, des corps dans l’air, lui montrèrent bientôt l’inexactitude de ce résultat, et l’ont conduit à réduire de moitié, cette mesure de la résistance; on a jugé, depuis, cette réduction trop forte; et Borda a conclu de ses propres observations, que la mesure de la résistance devait être seulement abaissée aux trois cinquièmes de sa valeur théorique. D’après la théorie de Newton, modiGée par l’expérience, la force retardatrice, rapportée à l’unité de masse, d’une sphère qui se meut dans l’air, a pour expression le carré de la vitesse de ce corps, divisé par son diamètre et par le rapport de sa densité à celle du Guide, et multiplié 'par un coeillcient numérique sur lequel tous les auteurs de Balistique ne sont pas d’accord. Suivant Lombard et en s’appuyant sur les expériences de Borda , ce coefficient serait égal à environ neuf quarantièmes. Mais la loi véritable de la résistance en fonction de la vitesse, est beaucoup plus compliquée: dans les mouvements qui sont, ou très rapides, ou très lents, elle parait s'écarter notablement de la proportionnalité au carré de la vitesse; elle croît suivant un plus grand rapport , dans le cas des très grandes vitesses; et au contraire, elle est sensiblement proportionnelle à la simple vitesse, quand il s’agit de petits mqpvements, comme les très petites vibrations du pendule à secondes (*^).

Pour déterminer directement et sans aucune hypothèse, la loi de la résistance qu’un corps éprouve en se mouvaut dans un Guide, il

(*) Traité du ^Iou%>ement des Projectiles , 95.

Additions à la Connaissance des Tems , ann<e i 834 i 18.

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faudrait considérer A la fois oe mouvement et celai que le mobile communique au fluide: par TelTet de ce double mouvemeut , le fluide exerce à chaque instant une certaine pression, en cbacfüe point du mobile e^'Hormale à sa surface; cette pression , différente de celle qui a lieo^ans l’état de repos, produit la résistance proprement dite que le mobile éprouve, et à laquelle il faudrait encore joindre la force tangente à la surface, provenant du frottement de ce corps contre la couche fluide qui le touche. C’est ce que j’ai pu faire , en effet, dans mon Mémoire sur les Mouvements simultanés du pendule et de l’air environnant (*), et oe qni m’a coudait à déduire de la théorie, la correction nouvelle que M. Bessel a fait subir, d’après l’expérience, à la longueur du pendule à secondes. J’essaierai, par la suite, d’étendre mon analyse au cas du mouvement progressif des projectiles dans l’air, et de déterminer, s’il m’est possible, la pression que le fluide, qu'ils déplacent en le comprimant d’un côté et le dilatant de l’autre, exerce sur leur surface, ou la résistance qu’ils éprouvent , envisagée sous le point de vue que je viens d’indiquer. Je n’ai pas besoin de dire combien la connaissance de cette loi, exacte et générale , serait importante dans beaucoup de questions , et , par exemple, dans le problème de la Balistique. Mais pour l’objet que je me suis pr<q>osé dans ce Mémoire, j’ai pu admettre comme étant suffisamment approchée, la loi ordinaire de la résistance proportion* nelle au carré de la vitesse.

C’est aussi Newton qui a donné le premier exemple de la détermination dn mouvement d’un corps pesant dans un milieu résistant. Quand le mouvement est vertical, il a résolu le problème, en supposant la résistance proportionnelle, soit à la vitesse , soit à sou carré; mais lorsque le projectile est lancé dans l’aif suivant une direction quelconque, il s’ust borné à considérer le cas de cette force proportionnelle à la simple vitesse, en observant toutefois que ce cas n’était pas celui de la nature. Les deux équations que Newton a dû intégrer

(*) Tome XI dci Mémoim de C Académie det Sciences.

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pour déterminer les composantes horizontale et verticale de la vitesse à un instant quelconque, sont linéaires, du premier ordre et à coef* ticients consfanls; et les deux inconnues y sont séparées, de sorte que ces deux équations se résolvent indépendamment l’une dcl^tre,et que leur solution ne suppose réellement qu’une simple iot^||Fation immédiate. 11 n’en est plus de même dans le cas de la résislanoA proportionnelle au carré de la vitesse ; les deux inconnues entrent à la fois dans chacune des équations du mouvement, qui ne sont plus linéaires; et ce n’est que par une combinaison particulière, que l’on parvient à j sé]>arer les variables et à les ramenei* aux quadratures , ce que l’on regarde comme la solution complète du problème. Elle est due à Jean Bernouilli, qui l’a donnée dans les actes de Leipzig de 1719, plus de trente ans après la solution de Newton, et à une époque où le calcul intégral avait déjà fait de grands progrès. Cependant, Euler, au commencement de son mémoire sur cette matière (*), exprime sa surprise de voir que Newton se soit arrêté au cas de la i-ésislance proportionnelle à la simple vitesse, et n’ait pas considéré le cas de la nature; lui, dit-il , qui a résolu bien d’autres problèmes plus difficiles. On sait d’ailleurs que la question delà trajectoire dans un milieu résistant en raison du carré de la vitesse, fut proposée comme un déG, anx géomètres du continent, par un Anglais nommé Reil, qui croyait le problème insoluble, jMirce que son illustrecorapatriote ne l’avait pas résolu. Maintenant le calcul numérique des intégrales qui expriment le temps et les deux coordonnées du mobile en fonctions d’une quatrième variable , s’effectue aussi simplement que la question le comporte, et en poussant les approximations aussr loin qu’on veut. On en peut voir un exemple dans les Exercices de calcul intégral , de Legendre (**), où ces coordonnées sont calculées à moins d’un cent-millième de leurs x’aleurs.

Indépendamment de la force centrifuge provenant de la rotation de

(*) Mémoires de t Académie de Berlin, «once 1^53.

(•*) Tom» 1", ptgc 336.

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la Terre, et qui influe snp le mouvement des corps pesants, en dimi-^ nuant la gravité, d’une quantité variable avec la latitude; celle rola-^ tion produit encore, dans ces mouvements, certaines déviations qu’il est intéressant de connaître, soit en elles-mêmes, soit pour savoir jusqu’à quel point elles peuvent influer sur la trajectoire des projectiles, et s’il est nécessaire d’y avoir égard dans la pratique de l’artillerie. Plusieurs physiciens ont mesuré, avec autant de précision qu’il a été possible, les petites distances dont les corps qui tombent d’une hauteur considérable, s’écartent du pied de la verticale. Laplacc et M. Gauss ont soumis celte question au calcul; mais en intégrant les équations de ce mouvement à très peu près vertical, ils ont fait abstraction de la résistance de l’air, qui peut cependant avoirquelquefois une influence eatrémement grande sur le résultat. J’ai donc pensé qu’il serait utile de reprendre ce problème en entier, et d’en étendre la solution au cas général où le projectile est lancé dans l’air, avec une vitesse et suivant une direction quelconques^

Pour cela, j’ai d’abord formé les équations diflercnlielles do mouvement absolu dans l’espace, en rapportant à des axes Axes les coordonnées du mobile; puis j’en ai déduit les équations du mouvement apparent, tel que nous l'observons près de la surface du globe, ou rapporté à des axes (ixes à cette surface, qui participent, ainsi que nous, à la rotation de la Terre. Ges équations différentielles sont très compliquées; mais, en prenant la seconde de temps pour unité, la vitesse angulaire du mouvement diurne est une très petite fraction ; ce qui permet de les réduire à une forme plus simple. On en déduit alors quelques consécjiiences générales, dont voici les énoncés.

Le mouvement de la Terre empêche un liquide, contenu dans uu vase et tournant avec une vitesse constante autour d’un axe vertical , de parvenir rigoureusement à une ligure permanente, qui serait celle d’un paraboloïde de révolution, si la Terre était considérée comme immobile.

Si un corps se meut snr une courbe donnée et attachée lixemeut à la surface du globe, l’équation diflérenlielle de son mouvement ne

contient pas la vitesse de rotation de la Tecre, et ce mouvement est le même, en conséquence, que si la Terre était en repos. Ainsi, pour une valeur donnée de la pesanteur, résultante de la ügure et de la rotation du sphéroïde terrestre, les oscillations du pendule sont les mêmes dans tous les azimuts autour de la verticale; résultat qu’il était important de démontrer, vu le degré de précision que l’on apporte maintenant dans la détermination du pendule à secondes, en diflTérents Iieux delà Terre. Mais le mouvement diurne et la direction du plan des oscillations ont une petite influence sur la tension variable que le fil éprouve pendant qu’elles ont lieu, et qui n’est pas rigoureusement la même dans tous les azimuts.

Enfin , quand un projectile est lancé dans l’air Suivant une direction quelconque, la rotation de la Terre n’augmente ni ne diminne la distance à laquelle il se trouve à chaque instant, du plan parallèle à l’équateur , mené par son point de départ.

Avant de chercher les intégrales des équations du mouvement apparent', dans le cas général, d’une grandeur et d’une direction quelconques de la vitesse initiale , j’ai considéré les cas particuliers les plus simples. Le premier est celui où le mobile part d’un point situé à une hauteur donnée au-dessus du sol, et est abandonné à l’action de la pesanteur, sans qu’on lui imprime aucune vitesse particulière, de sorte qu’il commence à tomber verticalement. La vitesse à son point de départ, provenant de la rotation de la Terre à laquelle il participe , étant plus grande que celle qui répond au pied de la verticale, on comprend que le mobile, quand il a atteint le sol, doit s’écarter du pied de cette ligne, à l’est ou dans le sens du mouvement vrai de la Terre. Mais le calcul peut seul donner la mesure de cet écart, surtout lorsqu’on a égard à la résistance de l’air: il fait voir, en effet, que la déviation a lieu vers l’est^ et qu’elle est nulle dans le sens du méridien. Pour comparer à l’expérience, la formule qui en exprime la grandeur, j’ai choisi les observations de ce genre qui ont été faites en i833 par M. le professeur Reiidi, dans les mines de la Saxe. La hauteur de la chute était de i58 mètres et demi ; et M. Reich a con-..