DES PROIECTLLB8 DANS L’AIR

du de la moyenne de io6 expériences, une déviation à l’est, de 28 millimètres et un tiers. Il a aussi trouvé à très peu près six secondes pour le temps de la chute; au moyen de cette donnée, j’ai pu calculer, sans aucune h3rpothèse, le coefficient de la résistance de l’air que le mobile a dû éprouver; et ensuite , la formule a donné 27 millimètres et demi pour la déviation; ce qui didèrede l’expérience, de moins d’un millimètre. Dans le vide, cette déviation ne surpasserait pas d’un dixième de millimètre, celle qui a lieu dans l’air; en sorte que dans cet exemple, la résistance de l’air n’a eu qu’une influence insensible.

Quand le projectile part de la surface de la Terre, et qu’il est lancé verticalement de bas en haut avec une vitesse donnée, on conçoit que , pendant la durée de son élévation , il doit s’écarter de la verticale, vers Vouestj ou en sens contraire de la rotation de la Terre. Il semble qu’ensnite, durant sa chute, il devrait se rapprocher de cette ligne, et retomber à peu près à son point de départ; mais il n’en est ^x>iat ainsi. Parvenu au point le plus haut de sa trajectoire, et lorsqu’il a perdu toute sa vitesse verticale, le projectile, en déviant vers Vouest, a aussi acquis une vitesse horizontale dans le même sens, en vertu de laquelle il continue à dévier dans ce sens , du moins pendant une partie de sa chute. La difficulté analytique que ce second cas présente, est de raccorder, pour ainsi dire, les deux mouvements successifs, ascendant et descendant, du projectile, qui sont exprimés par des formules très différentes, lorsque l’on tient compte de la résistance de l’air. Ponr appliquer à un exemple la formule relative à la déviation totale du mobile , quand il est retombé sur le sol , j’ai supposé que ce corps fût une balle, tirée verticalement par un fusil d’infanterie, avec nne vitesse d’environ 400 mètres par secondes. La grandeur de cette déviation varie beaucoup avec celle de la résistance de l’air; en donnant successivement au coefficient de cette résistance des valeurs qui soient entre elles comme quatre et trois , on trouve des déviations vers Vouest dans les deux cas, mais d’environ un et trois décimètres : dans le vide, cette déviation s’élèverait à une cinquantaine de mètres; en sorte qu’elle est réduite à un cinq-centième de sa valeur, parla plus grande des deux résistances.

J’ai encore examiné en particulier, le cas où la vitesse initiale da projectile est presque horizontale, ce <{ui comprend, ix)ur Gxcr les idées, le tir à la cible. On trouvera dans mua Mémoire les formules qui s’y rapportent et qui en expriment toutes les circonstances, selon que le tir a lieu vers tel ou tel point de l’horizon. Ici, je me bornerai à dire que la vitesse initiale étant toujours d’environ 4<>o mètres, et la distance de la cible, placée au but en blanc, égale à aoo mètres, les déviations horizontale et verticale de la balle, dues au mouvement de la Terre, s’élèveraient à peine à un demi-centimètre, c’est-à-dire qu’elles n'influent pas sensiblement sur la justesse du tir et sont inutiles à considérer dans la pratique. Ces déviations sont également négligeables dans le tir du canon, et dans tous les mouvements qui ont lieu suivant une direction à peu près horizontale.

Dans le cas général , les effets que produit le mouvement de la Terre dans le mouvement d’un projectile, sont d’abord des accroissements positifs ou négatifs, soitde l’intervalle de temps que le mobile emploie à aller de son point de départ au point où il retombe sur le terrain , soit de la distance du second point au premier, que l’on appelle la portée horizontale. Les signes de ces accroissements dépendent de la direction du plan vertical dans lequel le projectile est lancé: il y a augmentation dans une direction et diminution dans une autre; leurs valeurs sont exprimées par des intégrales doubles , dont le calcul numérique serait très pénible. Le mouvement diurne fait, en outre, sortir le mobile du plan vertical où il a été projeté; ce qui donne lieu à une déviation horizontale, dont la valeur se compose de deux parties distinctes, exprimées aussi par des intégrales doubles. L’une de ces déviations partielles est indépendante de la direction du plan vertical; elle a toujours lieu à droite de l’observateur placé au point de départ et tourné vers la trajectoire;- à notre latitude, on peut la considérer comme étant l’effet principal de la rotation du globe; et, heureusement, on en obtient des limites plus faciles à calculer que sa valeur )nèin£, qui se réduiront en nombres, si l’on veut, au moyen de la longueur de la portée et de la durée du trajet^ données par l’observa-

. DES PROJECTILES DANS l’AIR. * g

tion, et sufllt'ont pour appréciée la grandeur de la dévialion. En appliquant, par cxcnaple, ces limites au tir de la bombe, tel qu’il a lieu dans les exercices des /jo/ygones, c’est-à-dire sous l’angle de avec une vitesse initiale de lao mètres par seconde, qui donne une portée d’environ 1200 mètres, pour un projectile de 27 centimètres de diamètre et du poids de 5 i kilogrammes (*); on trouve ([ue la déviattion du point de chute sera comprise entre 90 et lao centimètres, lorsqu’on tirera dans un plan vertical, tangent au parallèle du point de déjMirt. Elle aura lieu vers le nwV//, quand oa tirera vers Vest , et vers le norr/, si l’on tire vers X'ouesl. En l’évaluant à un mètre, c-t observant qu’un tel écart à la distancie de 1200 mètres, répond à un angle d’à peu près trois minutes, il s’ensuit que, pour atteindre plus sûrement le but, il faudrait tirer à gauche du plan donné, dans un autre plan qui ferait avec celui-là un angle de trois minutes, dont la considération peut influer sur la justesse du tir et sur la chance d'atteindre le tonneau, dans les exercices où le canonnier doit apporter beaucoup de précision. La déviation horizontale sera un peu moindre et s'observera vers Vest, quand on tirera vers le nord; elle sera un pen plus grande et aura lieu vers l’on«f, quand on tirera vers le midi. Ajoutons encore, que dans le tir de la bombe à grande portée, par exemple à une distance du but, ^'environ 4000 mètres, ce qui suppose une vitesse initiale d’à pen près le tiers de 800 mètres, SQus l’angle de l\S°, et pour un projectile de 90 kilogrammes et d’un tiers de mètre de diamètre, les limites de la déviation, en tirant à Vest ou à l’ouest, seront à peu près 5 - mètres et 10 mètres; en évaluant donc sa grandeur à 7 ou 8 mètres, on voit que dans les sièges, des édifices et des personnes ont pu être atteints par la chute d'une bombe, à cause du mouvement de la Terre, et d’autres nepasTètro, pour la -même cause.

Ces nombres, et ceux qu'on a cités plus haut, se rapportent à une latitude moyenne; ils varieront avec celle du lieu de l’expérience : à

(*) La boniLc Je 10 pouces et de 104 I très.

lo SUR LE MOUVEMENT

l’équateur, et lorsque le tir a lieu dans son plan, la déviation horizontale s’évanouit, tandis que les accroissements delà durée du trajet et de la longueur de la portée y atteignent leur maximum; dans les hautes latitudes, ce sont, au contraire, la déviation qui approche de son maximum, et ces accroissements qui diminuent: au pôle, la déviation horizontale, la même en ce point pour le tir dans tous les plans verticaux , surpasserait d’à peu près moitidi|ftlle qui a lieu dans notre région. Partout, les accroisl^oienls de la portée et du temps sont nuis, quand la^vitMse initiale est dirigée dans le plan du méridien.

(i). Le projectile est une sphère homogène; c’est le mouvement de son centre de gravité onde figure que l’on considère; on y suppose sa masse entière réunie, et la résistance de l’air directement appliquée, La rot^ion de la Teire a une petite influence sur lé mouvement des corps près de sa surface ; son mouvement de translation n’en a aucune ; c’est pourquoi j’en ferai abstraction , et je regarderai le centre du globe comme un point fixe.

Soit C ce point. Au bout du temps quelconque t, écoulé depuis l’origiue du mouvement, soit aussi M le point de sa trajectoire où se trouve le mobile. Par le point C, menons trois axes fixes et rectangulaires Cx^, Cjr„ Cz,, et désignons par x,,y^, z,, Ips coordonnées de , M rapportées à cas axes. En appelant V la somme des molécules du .sphéroïde terrestre , divisées par leurs distances respectives au point M, les composantes parallèles à ces mêmes axes, de l’attraction de la Terre sur le point matériel situé en M, seront exprimées, comme on sait, par les différences partielles . et selon qu’elles au-

ront des valeurs positives ou négatives , elles agiront dans le sens des demi-axes Cx,, Cj-,, Cz;, des coordonrt#! positives, ou dans le sens contraire. Représentons aussi par <p la force accélératrice provenant de la résistance de l’air, et par A, les angles que fait sa direction

DES PB01ECT1LE5 DAMS l’AIR.

avec des parallèles à ces trois droites, nieoe'es par le point M , de sorte que ^cosA, ^cos/u, ^cosr, soient les composantes de suivant les mêmes directions que celles de l’attraction. En prenant le temps t pour la vaiiable indépendante, dont la différentielle est constante, noos aurons

dt‘

dV

(pCOSA,

^ ■ àx,

dl‘ dt^

■+■ (pCOSM, -I- (pcos »,

pour les trois équations différentielles secondes du mouvement absolu du projectile dans l’espace.

On prendra le plan 'du méridien passant par le point de départ du mobile, c’est-à-dire, le plan de ce point et de l’axe de rotation de la Terre, ponr celui des y, et ; les demi-axes Cj, et Cz, seront compris dans notre hémisphère, le second sera dirigé vers le pâle, et le premier sera compris dans le plan de l’équateur , ainsi que l’axe des Xf. On représentera par rie rayon vecteur CM, par fl l’angle compris entre CM et le demi-axe Cz^, et par 4 l’angle que fait le plan de ces deux droites avec celui des y, et z^; en sorte qu’au bout du temps les coordonnées polaires du mobile soient r, fl, 4> et qu’on ait en conséquence ' .

z^ = rcos9, = r sin 9cos4> x, = rsinflsin4»

Soit aussi n U vitesse angulaire du mouvement diurne de la Terre; nrsin 9 sera la vitesse absolue de l’air an point M,- et cette dernière vitesse étant tangente au parallèle passant par ce point , ses composantes par rapport aux directions des coordonnées z,, x^, seront zé-

ro, — ^ nrsînfl . sin4» nrsin fl.cos4 > en supposant le demi-axe Cx, dirigé vers Varient. Les deux dernières composantes pourront être remplacées par — nx, et ny,; au point M, les trois composantes de' la vitesse relative du mobile et de l'air, auront donc pour valeurs,

abstraction faite du signe ,

^ -i- nx — nv '

rfi» dt ^ dt

et en désignant par j», celte vitesse, on aura

(Si ”') “*■ iSi —

Ou considérera la résistance de l’air comme nne fonction donnée de cette vitesse relative; et de plus , on supposera celte force directement opposée à cqtte vitesse: ou aura par conséquent

^' = ~»zcosA, ^ + njr,= — VCOSM, -« 7 ,= — vcos»,

pour déterminer les angles A, fj., V, qui répondent à la direction de f au point M.

Après ((u’on aura fait une hypothèse sur la forme de la fonction les équations (a) ne contiendront plus que les inconnues j:,,/,, et leurs diflerentielles, ou, si l’on Veut, les inconnues r, 9, 4; en les intégrant, du moins par approximation , elles feront donc connaître, à un instant quelconque, la position du mobile dans l’espace; mais dans la question qui nous occu|)C , c’est à des axes fixes à la surface de la Terre, et participant à son mouvement de rotation, qu’il faut rapporter la position du projectile, c’est-à-dire qu’il s’agit de déterminer son mouvement apparent, tel qu’on l’observe à cette surface, ce qui exige que l’on change les inconnues or,, y/, x,, en d’autres coordonnées.

(a). Soit donc O, un point déterminé de la surface du globe. Par ce }K)int, menons trois axes rectangulaii-es Ox’, O^'’, Ox^; le premier dirigé suivant le prolongement du rayon CO, le second compris dans le plan du méridien et dirigé vers le nord, et le troisième dans le plan

DES PKOIBCTILBS DANS L’AIR. i5

du parallèle, etdirigé vers Yest, ou dans le sens do mouvement diurne. Au bout du temps t, soient , y, les coordonnées du lieu M du mobile, rapportées à ces nouveaux axes. Si l’on suppose qu’à 1 ’ori.gine du mouvement , le méridien du point O coïncidait avec le plantées et a,, l’angle compris entre ces deux plans au bout du temps t, sera égal à nt. Je désignerai par y la latitude du point O, ou plue exactement, l’angle compris entre le rayon GO et sa projection sur l’équateur; et je représenterai ]Mr l la longueur de ce rayon. Les coordonnées du point O, rapportées aux axes Cx^, Cy,, Cz,, se déduiront de X,, Z,, en y faisant r= l, 8 = 90° — 7,4 = nf, en

sorte qu’elles auront pour valeurs /cosysinnt, /cos y cos nf, /siii y. D’après les formules connues de la transformation des coordonnées, dont on change A la fois, l’origine et les directions, on aura alors

x'= — /cos y sin nt) cosnt — (y, — /cosycosnf) sin nt,

y (z^ — / sin y) cos y — (y, — / cos y cos nt) sin y cos nt

— (x, — / cos y sin nf) sin y sin nt, z' — {z, — /sin y) sin y -4- (y, — / cos y cos nf) cos y cos nf

-4- {x, — /cos y sin ni) ces y sin nf,

ou bien , en réduisant,

x' = X, cos nf — y, sin nt,

y == z^cosy ^y^ sin y cos nf — x,siny sin nf,

z' = z,sinyH-y,cosy cos nf -4- X, cos y sin nf - / ;

d’où l’on tire réciproquement

X, = y cos nf -:-y sin y sin nf -4- (z' -f- /) cos y sin nf , y, = — x'siunf — ysinycosnf -I- (z' -4- /) cos y cos nf Z, = y' cos y -4- (z' -4- l) siny ,

pour les valeurs de X,,y„ z,, qu'il .faudra substituer dans les équations (o), et dans celles qui déterminent la vitesse v et sa direction.

i4 SUR LE MOUVBMTBMT

L(bs coeiEcieuls de x,, dans les Vtileors de æ' , , z'« dol>

vent être les cosinus des angles que des parallèles aux axes des x, , y,, z^, menées parle point M, font avec ceux des x' , y ,,zf et cest, en effet, ce qn’il est aisé de vérifier. Il s’ensuit donc que si l’on appelle a', fJt! , les angles que fait la direction de la vitesse»», contraire

sr celle de la force f, avec ces nouveaux axes, on aura •

V cos a’ = — cos A. cos nt 4- <» cos /u . sin ni ,

♦»cos /u' = — vcos».cos7 + »»coS/i*.sin>cosnt 4- t»cosA.sin>sin ni, i»cos/ = — »>cos r . sin y — t»cos ju . cos y cos ni — pcosA .cos y sin ni.

Ei\ vertu des valeurs de x,,y,, z,, on aura aussi

dx dx' ^ dy . . <u . .

— ny, = cos ni — sin y sin wt 4- ^ cos y sin nt ,

dT • dx* • dtt

-^-hnx^==! ^sin/if — ~ sin y cosnt 4- cos>cosnf,

jît, dy dx* •

ii = cos y 4- sin y,

pour les valeurs précédentes de — »»cosA, — vcos/x, — »»cosi’j et toutes réductions faites , il en résultera simplement

. I dy ! dy / di

»» cos A' = V cos ^ cos f —

La vitesse relative v du mobile et de l’air, est donc en grandeur et en direction , la vitesse même du prc^ectile dans son mouvement apparent; ce qui tient à la nature du mouvement de rotation du fluide, et n’aurait plus lieu, en général , si l’air avait un autre mouvement , comme dans le phénomène des vents alisés, par exemple. Si l’on appelle s l’arc de la trajectoire apparente, compté à partir d’un point fixe sur cette courbe et dans le sens du mouvement du projectile, on aura

df’ = 4- dy^ 4- dz'^ ;

la différentielle ds sera positive ainsi que dt, et les éqnations précé-