DES PROJECTILES DANS L’AIB

l’exemple précédent, pour rendre la valeur de négative. Dans le vide, on aurait, pour la même vitesse de projection.

où l’on voit combien les résultats seraient différents de ceux qui ont lieu dans l’air, surtout à l’égard de la déviation ^ que la résistance du fluide réduit à environ un 5 oo* de sa valeur dans le vide.

Les auteurs qui ont écrit sur la Balistique ne s’accordent pas sur le coeflicient 'c de la résistance de l’air; plusieurs même le supposent dépendant de la vitesse du mobile; ce qui revient à considérer la résistance comme n’étant pas proportionnelle au carré de cette vitesse. D’après son expression le plus généralement adoptée, et que j’ai citée dans mon Traité de Mécanique, on a

P étant le rapport de la densité de l’air à celle du projectile, et d son diamètre, exprimé en mètres. Le rapport de la densité du plomb à celle de l’eau étant 1 1 , 352 , et en prenant 825 pour celui de la densité de l’eau à la densité de l’air, qui répond à la température, à la pression et au degré d’humidité ordinaires, on aura, à peu prés ,

et si le diamètre de la balle est

il en résultera

d = o,oi 635 , c = 0,0029275,

ou environ les trois-quarts de la valeur de c, dont nous venons défaire

4{ SUn LE MOUVEMENT

usage. Toutes les autres donuées restant les in*}[iies , on trouve

c’est-à-dire une valeur de ^ à peu près double de celle que nous avions obtenue. C’est d’après cette valeur de p qu’on a effectué plus haut, la diminution de valeur de g, due au poids de l'air déplacé par la halle.

(il). Considérons actuellemeut le cas général ou le mobile est lancé du point O, suivant une direction quelconque,^ qui fait avec l’axe vertical Oz, un angle donné A; et désignons par «sa vitesse initiale.

,Soit OA la projection horizontale de cette direction; appelons € l'angle AOx que fait OA avec l’axe Ox des x positives (n“ 4 ); angle qui sera compté vers le nord à jiartir de Ox, ou à la gauche de l'observateur jilacé en O et tourné vers Vest, et qui pourra s’étendre depuis zéro jusqu’à SGo". Par le point O, menons une autre droite horizontale OB, perpendiculaire à OA, et telle que l’angle BOx soit égal à S 90“. En désignant par u et v les deux coordonnées horizontales du point quelconque M de la trajectoire, rapportées à ces a.\es OA et OB, on aura

X = Mcosfi — vsiuê, usiné -t- V cos C,

[lour les valeurs de ses anciennes coordonnées x et j'.

Si l’on n’avait point égard à la rotation de la Terre, ou à la fraction n , le projectile ne sortirait pas du plan vertical des axes OA et Oz ;

pendant toute la durée du mouvement, l’ordonnée v et la vitesse ,

perpendiculaires à ceplau, seront donc des quantités de l’ordre de petitesse de n; nous négligerons, eu conséquence, les carrés et le

|)! oduit de ~ et de n. Nous aurons alors

ifP IfF

DBS FHarBCi'ILBS DANS LAIR.

et les équations (e) deviendront

AÊ. d’y • A cui • O •

^cose— ^sine = 3n*^smesin>— cos>

du •

ds

du

ds du P Î^^COSb -4dt dt

di dv C-r "T î

di dt

ds du • P

ds dv

~^'dt'di

ds dz

OU, plus simplement,

ds du dt fi

U V ds dv du • di • fi '

^ 2/1 ^Sin > -+- an ^ sm € cos 7,

du

’dF

d*9 ds dv

~dF di

d'z ds dz

d'z ds dz du fi

^ Â ê' = Â cos ^ cos y

Pour déterminer les six constantes arbitraires que renfermeront les intégrales de ces trois équations, on aura, pour t = o, les six conditions initiales :

.« = 0, F = o, x = o, ^ =a cos«, ^ =0, =asin«,

où l’on a fait 4 = 90“- — a, de sorte que a soit l’angle compris entre la direction de la vitesse a et sa projection OÂ, qui sera positif ou négatif , selon que le mobile aura été lancé au-dessus ou au-dessous du plan horizontal, mené par le point O.

(12). Si l’angle «est positif et très petit, la trajectoire s’écartera aussi très peu de la droite OA, tant que le projectile sera au-dessns de ce plan horizontal. Dans cette partie de la courbe, on pourra négliger

le carré de ~ ; et comme la dillérentielle du sera constamment positive , on aura alors ds = du.

' SCH LB MOUVEMENT ds

En négligeant également le produit n ^ , les équations (A) se rédui

ront a

d'à <fu*

iPv du dv du •

c — ^n-^sxny ,

dû

di di du d%

du ^ . du Æ

ou bien , en faisant

et observant qu’on aura

il en résultera

d- n / du itv / ^ ^ ^

dt' ~ ** ’ dt‘ ' du ^ dt' du ^

eu' — O,

dd J *

-J- =s — an sin y.

du

^ cr' = — ^ -4- 2/1 cos 6 cos y.

du U

En même temps , les conditions initiales qui serviront à déterminer les constantes arbitraires, dans les intégrales de ces trois équations différentielles du premier ordre, seront

u' = a, v' = O , z' = aa,

pour M c= o , en négligeant le carré de «.

De cette manière, on trouvera, sans difficulté ,

; ae

an tin y / ~ c '

— fM e f tu

DES PROJECTILES DANS l’AIR.

Ijb première de ces formules donne

d’où l’on tire

A cause de

nous aurons aussi

et en intégrant et déterminant les constantes arbitraires, il en résultera

quelconque.

(i3). Pour en énoncer les conséquences, menons par le point O , un plan perpeudiculaire à OA et un plan horizontal.

Soit <a la distance au premier plan, du lieu E où le projectile retombera sur le second^ cette distance exprimera la portée horizontale; et comme ce sera la valeur de u qui. répondra à z >=o, on aura , pour k déterminer, l’équation transcendante :

Ces deux dernières équations seront celles de la trajectoire à double courbure; en y joignant la valeur de u en fonction de t, elles feront connaître les trois coordonnées, on la position du mobile à un instant

que l'on l'ëaoudra par des essais , lorsque les valeurs numériques des quantités dilTérentes de <0' qu’elle contient, seront données, et qui fera connaître, réciproquement, V angle du tir, ou l’angle «, qui correspond à une valeur aussi donnée de <».

Si cette portée et cet angle se rapportent d’abord au cas où l’on a tiré dans le plan du méridien , on aura êc= t)o“ ou 6=2^0°, selon que ce tir aura eu lieu vers le nord ou vers le midi; et, dans les deux cas, U <lis|>araîlra de l’équation précédente qui se réduira à

Soit ensuite <w -+- w , ce que devient la portée lorsque l’on tire sous le même angle a, et avec la même vitesse a , dans un autre plan vertical; selon que la quantité n sera positive ou négative, elle expi’imera l’augiuentation ou la diminution de la portée, due au mouvement de la tei're ; et si l'on néglige son carré, ainsi que le produit nu, dans l’équation (i), on eu déduira

ana co< Cro*y ( e— — i-w — i)

Soit aussi « -t- § l’angle sous lequel il faudra tirer dans cet autre plan , pour que la portée reste égale à <or, de sorte que » soit l’augmentation positive ou négative de l’augle du tir, due au mouvement de la terre; l’équation (/) donnera immédiatement

an cos C cos y a<’ w

Le point de chute E appartenant à la branche descendante de la trajectoire, la vitesse-^ y sera négative; ce qui rend positif, d'après la valeur

trouvée j)our z' , le dénominateur de l’expression de »i, et cette expression , de même signe que cosC, tandis que celle de t sera de signe contraire. Il s’ensuit que si l’on tire, par exemple dans un plan vertical.

ittiw i^iâ.

uageDt «à plan do parallÂle, at sous le même angle « que dans le plan da méridien , la portée m- sera aogmentée ou diminuée j selon que ce tir aora lien vers l’esf ou rer» fouestf et pour atteindre ê la même por« (ée^ il en résnlte aOssi qu'il faudra diminuer l'angle quand on tirera vers l’est , ea l'augmenter, lorsque Pon tirera vers Vouesi.

it^angle « restant le même , et le tir ayant lien dans le plan vertical qui répood à l’angle AQv égal i C, ai l’en appelle Çla eatenr de Por^ donnée a correspondante à etqn'on ait égard à l’éqnatiou'^/)

et à la valeur de s, on en conclura

if/* A

■m«oê< tmy /. ••

e — — ij MS.

Knfia , seU X la valeur de r qui rêpepd a w , oq la dé^iatiçù riabotale du piujactile, masnrée par la perpeud'icu’laire abaiaa^ du point E sur la droite OA ; uous aurons , ,

: : vsi f-i

Sn iU>

CeM*qAautiUé.^MMUk iodépebdauSa da d, ut t oa tipui » aégatia%-«aln«aAar> que U d^risdut^ 4(Wê U aSàpC tomb«p le pcdniiy ànt ds

1 OB,. c'mt- ^r dirnà4*eiUe de mgardantttn potnl O emn

le point E. Par conséquent, si l’on fiiit eoîncider uiirfieani Tentent la 4i» gne OA, avec les quatre demi-axés des x et y, ou , awtrenseut dit, si l’on tire successivement vMS l'est, le noni, Pouêst et le mü/i, les déviations hori ion taies du projectile auront lieu respectivement, vers le atâdiy I eti, le nord et Pouesf, eh conservant une grandeur constante. " ‘ '

On peut remarquer qu’a existera entre les quantité# ^ éè'iupl port ttês sirh pie r * ’

- M '< - ‘ X=*~Acoêréol>, -

<{ai M

fioT

* fc -r* A

Oigitized by GoogU