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DES PE(UBCTtL.&S- DANS L’AIR.

eo faisant, pour abréger,^ » ,

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CO» (awtiin y) rft

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et RSjppaiaBt qub oas -ioiégraloa soEauouiiBseot avec t, r£Id 4{«’on ait JC = 4> «t j< » a , quand. < =;=» o. • ^ . • . - ■ . .

J Si. I? vitesse de projection a n’est pas exlrémeoient grande, le produit nt ne cessera pas d’être une petitefraction, et par la comparaison des vafeurs de x et de , on s’assurera facilement que la déviation j dans le sens du méridien , sera aussi très petite et négligeable, par rapport à la déviation ar dans le s^s du paralUle. Quant à celle-ci , si l’on néglige le cube de n dans son expression , et si l'on j supprime, en conséquence, le terme qui contient T, on abra

• • . Jf ÇI' \^g — '■

ob IVn prendra • ' . ‘ ‘ • • • ■ '

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ou,‘ce qdî ést la méine chôw’, ‘ ■ • — ' • ' ■

T' y/e = af v'gc l/c /* ■

» J (a'c +r)eo»*< — «*c («'c +y)»in‘ < l/^7-

Ces intégrales s’obtiendrwît par les r^lbs ordinaires: si ou les étend depuis t = o jusqu'à et en ayant é^j^à ja Valeur de V du

nnniéro précédent , 'où trouve, toutes réducn$jP|

et en'désigiianrt parT' la déviation' jr' qui i^pond à an point

- SUR LB HCKTTBMBNT' le plus haut de la trajectoire, il en résultera

» nco*>| ~

J’appellerai Tif ce point le plus élevé, et je désignerai par a' et A' les composanlet parallèles aux axes des x ét des j , de la vitesse horizontale dont le mobile sera animé en eepoint. Leur» valeurs se

déduiront de celles de ^ et ^ qu’on vient de former, en y faisant r = ô'-, 4*®“ il résultera

air co« y a n «»» y

4n*(a — iin y coi y

en négligeant toujours le cube de n. Gela étant, si l’on Irâusporte l’origine des cordonnées en [y; que l’on compte les z çbus je set» de la pesanteur, et le temps t à partir de l’époque où le mobile a atteint ce point ly, Ig^ déviatioas borizautales du mo^lc , pendant toute la durée de sa chute, seront e^cprlmées'par Tes formules âu n° 6, en ayant ^ard aux termes relatifs aux vitesses cl vX V iddic^ués Ju la ün de ce numéro. Au degré d’approximation où nous nous arrêtons, ces termes, dans l’eiq>ressioB de x, se réduiront à

.... ' cV'a’c+y JJ gAVm ^ g—

l’intégrale étant prise depuis t==o. Dans l’eApreasioa deyr, ils auront pour facteur^ en sorte que la déviation dans le sens du méridien continuera d’ètre très pel^ et négligeable par rapport à la déviation dans le sens du panrllèle.JËin représentant par J, cette dernière déviatio« , comptée à paetw de U verticale du point ly, et> qui aura Uett

DES PBOWmLBS DÀ.NS L’AIR. 3g

quand le projectile sera retombé sur le sol ^ la valeur de se déduira de celle de J" du n® en y faisant t—S^, et y ajoutant la formule qu’on vient d’écrire , dans laquelle on étendra l'intégrale jusqu'à cette valeur de /. Üe cette manière , on aura ' .

J. an 009 >

^*rc ( lans = ^

Le temps est ici celui de k chute totale du mobile , dont la valeur a été donnée dans le numéro précédent , et d’après- laquelle l’expression de la déviation J'' , pendant l’élévation du mobile, pourra s’écrire sous cette forma :

Maiutenant , soit <T la déviation totale du projectile, comptée de son point de départ O et sur le soi, à l’es/ ou à Pouest de ce point, selon que sa valeur sera positive ou négative ; nous aurons évidem- ^ ment

résultat qüe l'on pourra oomparer à fa mesure' directe de celte quantité S.

Dans le cas du vide ou de c=o, les eqnations (e) ne contiennent pas ds ; elles conviennent donc aux parties ascendante et descendante delà trajeotoire^et comme elles sont linéaires et à coefficients constants, on en peut déduire les valeurs eutetes de jc , j, a , en fonctions de /, par les règles ordinaires. Pour plus de simplicité, -si l’on néglige le carré de n, on trouvera

X = a/*^nco*r, j- = o, x =

le temps / étant compté à partir du départ- du projectile , c’est-à-

' SUR I>K MOUVEMENT . -

dire, à partir dé l’ëpoque oii x,jr,z, soataéro^ et ôiil’oa a ^=^4.

Quand le mobile sera retombé sur le sol, on aura encore z = o j si donc un appelle toujours 9 le temps entier de son élévation et de sa chute successives , et é' sa déviation totale dans le sens du parallèle , il en résultera

û * n ! 4"®’ to* >

Cette valeur de J' montre cfue la déviation aura lieu à l’ouest du point O) et sera proportienuelle au cube de la vitesse de projection: On la déduit aussi de k somme des valeurs de é' et en développant , suivant les puissances de c, d’abord les «apressions^e f et 6,, ce qui donne

etc.

etc.;

puis celles de J' et et faisant ensuite c—o , d’où il résulte

f/ • r irui* CO» V

en sorte que les deux déviations successives S' et sont égales, dans le même sens, et, moitié de la valeur de, é' qu’il s’agissait de vérifier. Pour c = O, l’expression précédente de a' se réduit à

i na* cot >

ce qui s’accorde aussi avec celle que l’on obtient en faisant dans

l’expression de ^ relative au mouvement dans le vide.

(lo) Prenons pour exemple, comme précédemment.

-/ = So^SS', g 9,81075, i = ’4oo,ot,

- a »= 68,89, ^ — 5, 3 J 8, fl, =>»■ 6,06; r .

DES PROJECTILES DANS l’aiR. 4i

□ombres qui supposent que le mètre et la seconde sexagésimale soient les unités de longueur et de temps, et qui répondent à une élévation h' du mobile dans l’air, égale à i58“,54< A cause de

on trouvera pour. ses déviations

— o,o 455 oa, é, = — 0,086471 , S — — 0,081978;

de sorte qu’elles s’observeront à Vojiest du point O, et que celle qui a lieu pendant l’ascension du projectile surpassera l’autre d’environ 9 millimètres. On aura , en même temps ,

j)our la vitesse horizontale du mobile au point le plus haut de la Irajectoire; et c’est à raison de cette vitesse, dirigée vers Vouest, tjue dans cet exemple, le corps retombe à l’ouest du pied de la verticale de ce point, et non pas à l’est, comme dans le n" 7. La hauteur h' restant la même, on aurait, dans le vide.

« — 55,774, Ô= 5 , 685 i, iT = — 0,11057a;

ce qui fait voir que la résistance de l’air a diminué la déviation totale d’environ a8 millimètres.

Pour donner un second exemple , je supposerai que le projectile soit une balle de plomb lancée verticalement par un fusil d’infanterie, et que sa vitesse de projection soit

Si l'expérience est faite à Paris, on aura

et pour plus d’exactitude, si l’on veut tenir compte de la perte de poids du mobile dans l’air, il faudra diminuer un peu cette valeur de g, et la réduire à 9,80750.

En répétant l’expérience un grand nombre de fois, et observant à chaque épreuve la durée totale de l’élévation et de la chute successives du mobile, si l’on prend la moyenne de ces durées pour le temps fl, l’équation (g) fera connaître le coefficient c de la résistance, relatif au projectile dont on aura fait usage. Pour fixer les idées, je prendrai

valeur qui se déduit de celle qui avait lieu dan^ l’expét'ience de M. Reich , en admettant que ce coefficient soit en raison inverse de la densité et du diamètre du projectile , et que dans cette expérience, où il avait o,ooa 5 pour valeur, la densité du mobile était environ les deux tiers de celle du plomb , et son diamètre à peu près deux fois et demie celui d’une balle de fusil; ce qui donne o,ooa 5 . -j . 7, ou à peu {)rés o,oo 4 > pour la valeur de c relative à cette balle. Les unités de temps et de longueur sont les mêmes que dans l’e.xemple précédent.

Cela posé, par les formules des n“* 8 et 9, on trouvera

ô' = 7,3567, fl, = i 4 ) 474 )

pour la hauteur à laquelle le projectile parviendra, sa vitesse horizontale au point le plus haut, la vitesse verticale qu’il acquiert en retombaut, les durées de son élévation e^de sa chute successives, qui sont, comme on voit, très inégales. On en conclura ensuite

La déviation é',, qui a lieu pendant la chute du mobile, se ferait donc à l’est du point O; ce qui signifie que la vitesse horizontale, acquise k Vouest pendant l’élévation , ne suffirait pas , comme dans