BIPLAN D'ENVERGURE INFINIE

Tandis que la théorie des ailes sustentatrices monoplanes s'applique avec une approximation suffisante dans la pratique, il est intéressant de noter que les nombreuses théories existantes concernant l’étude de la cellule biplane d’envergure infinie, souvent compliquées, ne peuvent pas expliquer ni l’existence de la variation de l’angle de portance nulle, ni les résistances induites positives ou négatives. |

La plupart de ces théories sont basées sur l’hypothèse que chacune des ailes réelles d’une cellule biplane peut être remplacée par un tourbillon de même circulation que l’aile réelle isolée. Mais, cette simplification ne donne pas de solutions que vérifie l'expérience, surtout en ce qui concerne chacune des ailes de la cellule. Au contraire, dans sa théorie approchée de la cellule biplane (1), M. ToussaiNT a montré que le système de remplacement habituel d’une aile sustentatrice, dans le cas de la cellule biplane, doit être complété par deux doublets, dont l'intensité résultante est caractérisée par des termes dépendant de l'épaisseur relative des profils. L'expérience vérifie cette hypothèse, notamment en ce qui concerne la sustentation de chacune des ailes de la cellule biplane.

Système de remplacement de l’aile influençante dû à M. Toussaint. L’écoulement autour d’un profil circulaire est défini par le potentiel complexe : -

{ Lo, a ia sh () FO Vo[G—u) ee + en] +5 Los (0)

avec V, la vitesse de translation, a le rayon du cercle générateur, n l’affixe du centre M et T la circulation autour du profil circulaire (fig. 3).

Il est toujours possible de passer par une transformation conforme du cercle C au profil d’aile K.

(1) A. ToussaINT. — Compte-rendu des séances de l'Académie des Sciences, t. 199, p. 700 (1934).

FT Admettons que le profil K dérive du cercle C au moyen de la fonction : (2) z=t+—.

Pour avoir le potentiel complexe qui correspond au profil d’aile, il suffit de remplacer & par sa valeur correspondante, en fonction de z.

La vitesse complexe en un point P est :

2 4 we = — io = %E = — V | (1 +5 = SR .) où @) 1 24 LP Tel ue c + Lu?

Pour les points z, modérément rapprochés du profil, nous pouvons : : Re AR 1 admettre que l’expression de la vitesse se réduit aux termes en = ét -depius

négligeons & devant c. Dans ce cas, nous aurons :

Vie Fe (6) wW, œ — V, eir — + ml à . 7 CE

DER

Par conséquent, pour un point P modérément rapproché du profil influençant, la vitesse induite par le profil est équivalente à celle provoquée par le système de deux doublets :

Nec. NA (7) + ein et — 2 exit et d’un tourbillon :

ë 1 2%ri Der

Pour l'incidence «—0, « le système de remplacement » du profil sera .

(@ — c?) V, r ee ce

(9) ROLATERS 4 Il est facile de voir que le doublet résultant est caractérisé par le facteur a — c?, donc, par l'épaisseur relative maximum. En effet, d’après la théorie du tracé des profils d'ailes sustentatrices, on a :

a Em (10) Ce dure avec n æ 0,77 à 0,62 (1), d’où :

9 9 9 P d—c—2nea nez (11 2 2 20: FR ER é | RS Er er) Se.

Il est à noter que dans les formules précédentes T représente la circulalion résultante, et non pas la circulation autour du profil à l’état isolé, car l'influence mutuelle modifie celle-ci.

Circulation résultante de chacune des ailes.

La circulation résultante pour chacune des ailes influencées peut être représentée par :

= Ty + Al lo — los + Ayo

dans lesquelles T;; et T, représentent les circulations pour chacune des ailes dans l’état isolé et AT,, et AT, sont les circulations complémentaires dues aux interactions mutuelles de deux ailes.

(1) La valeur exacte de x est donnée par l’épure du tracé théorique du profil qui permet le calcul du rapport :

EN re.

Supposons qu'entre les deux ailes existe une interinclinaison €. Nous admettons que + est positif quand l'aile supérieure est cabrée par rapport à l’aile inférieure, que nous allons prendre comme aile de référence. La théorie des ailes sustentatrices nous donne :

13 Tr, =47ra, V,sin a xl (1 + ne) Vos ( ) Lo — 4 x do Vo Sin (a + €) æ 7 lo (1 + ne) Vo (c + €). Pour calculer la circulation complémentaire AT due à un tourbillon placé

à l'extérieur du cercle générateur, il faut écrire la condition que la vitesse résultante est nulle au point B’ qui est l’antécédent de la pointe du profil.

Prenons le cercle C; (fig. 4) comme antécédent du profil K, et admettons un tourbillon Tr, à l’extérieur du cercle en un point Q, (& — b, ei).

Pour que le cercle C, soit une ligne de courant, il est nécessaire de placer , a? . re “élne : 4e en ©, ire = e") un tourbillon — T,, image du tourbillon extérieur, et pour

compenser la circulation introduite dans C;, nous plaçons au centre + T,. Par conséquent, le potentiel complexe autour du cercle C, s'écrit :

À 5 PMR SE La) | F@=— Vire + eu] + UE Log s A | APT Û ss Tor b, eï lé + a? ib À Tnt 086 Pig CHR

nue

La vitesse complexe en un point & sera :

: dF Ce POUR ESS Ve [er El ei. | de HT

(2 27%i (15) RME 1 1 Ho TRE AE ay? ; À é — — etl b, D’après ce que nous avons dit, il est nécessaire que, pour €——a,, nous ayOnS :

dF és

Cette condition nous donne :

a; + b, cos 0

(17) No oo EL cost:

En comparant la formule précédente (17) avec celles de (12) et (13), on voit que la circulation complémentaire est donnée par la relation :

E & + D, cos 6 NS ele a? + b2+2a,b, cos 0°

Reportons-nous à la figure 4. Il est facile de voir que :

B'H — a, + b, cos ü

ce qui donne :

DTA : 2 .

AT —= — ST sin y —=— 4#+ra, 2r0, P sin y.

D'autre part, la composante normale à OB de la vitesse induite due au tourbillon Fr, est :