DO

et on voit facilement que la circulation complémentaire est donnée par l’expression :

AT = 47ra V (+) LT pete VAN TEE ou

U (18) A lo SN 70 b ( +- ui es) Vo (+)

FER Un calcul analogue nous donne :

D (19) AT = 7 lo (A + ne) Vo (rh.

Donc, les circulations résultantes peuvent s’écrire :

V, = xl (A + ne) Vo [- à (pal

0) la # lo (1 + 62) Vo Le na (val

Pour les calculer, il nous reste à déterminer les vitesses induites :

DL . 12 É Vo/21°

Vitesse induite due à l’aile influençante.

Soit un biplan (fig. 5) à ailes inégales caractérisé par un entreplan À, un décalage d ou à et une interinclinaison € de l’aile supérieure par rapport à

Fig. 5

l'aile inférieure. Désignons par les indices (1) et (2) respectivement l’aile inférieure et l’aile supérieure.

La vitesse complexe induite provoquée par le profil d’aile supérieur au point M, du profil inférieur est donnée par la relation :

[do? e-i(a+e) pet Co? eita+:)] Vos To 1}

d 91) E = ET Ss à — (( Win = (U — iv)4 — PA 2 ER

LE Oo

où il faut remplacer :

(22) Ze = — ire + x,

ce qui donne :

or 1 Ze-itat:) — ç,2 ei(a+:) (23) win = (u — iv}x — RL ot mn où 2 A arle (x, — ir e-ÿ}? 27ri(x, — ir e-ô)

Il en résulte :

Aÿ — Co

u == PNR RS hr RO RUEE FE ,

A9? Sin (à — x — €) — C9? Sin (à + « +E)

24) — 2rx :

CS : (2 + x? —2rx, sin 5} 0, Ag COS (20 — a —€) — cu cos (25 + a +E) To r cos à (2 + x — 2rx, sin oi} 27 V,(?+x?—2rx,sin à) et aussi :

HR ne ter (a TN Gta —2rx, sind) ps (+)

A9? COS (D — x — €) — Cÿ? COS (à + à + €)

mr (2 + x? —2rx, sin 5} HN pe) T, r sin à (2 + x? — 2rx, sind} 27 V,(2+x? — 2rx,sinô)

Po x; FIV GE Exr-—2ra sin)

Par le même procédé, on trouve aussi :

( + (y) Vi/12 ; Vi/12°

Les vitesses induites ainsi calculées se rapportent au plan des profils d'ailes. Pour calculer les circulations résultantes, il est nécessaire de les transporter dans le plan du cercle. Comme l’antécédent du point @, est O, où nous avons placé les doublets et le tourbillon, il est facile de voir que les vitesses

induites dans le plan du cercle se déduisent de ( Ÿ. ) et (5) en y remplaçant : rparb , ÿparà

et, de plus, pour avoir les vitesses induites aux SON B',ret°B';;'il faut:

Mdr el To — 7 COS €.

La relation :

LRO

donne la liaison entre À, b, 6, à’, d’où il résulte :

Pour simplifier le calcul, nous introduisons les approximations usuelles pour les valeurs modérées des incidences. Ainsi l’on a :

COS o« & 1 : COS (x He) 1 : cos € & Î]

sin & & « $ Sin(x+He)ma+e ; Sin €

IIè

ce qui donne pour la composante normale à OB de la vitesse induite dans le cas e=0 :

—) = ff el en Tel (mn =— D? Le cos 209 + > Sins] 1 di? — Ci? LE ; Do , + ie bo . | os D? Le 4 sin o, 1] + [4 sin 5e — 1 (25) U ER Aÿ + Co? 2 = 1 . 1 (y) DE [7 cos 25, MAC Ce: sin 54 — ;& 5 1 a — cb, Ÿ b, - r2 ASE D? n cos 3 [4% sin», +1] svn [47 sin 3, +1 | avec :

b th D, — RE NT L? 9 : 16 (26) LR lb, : 1 CRT DT EN MER AU Pour abréger l'écriture, posons aussi :

| BE 2 er 1 b, à Se 1 RÉ TS COS APR NUE TE ae D? !' 1 LE : ; 1 Îe = 7x cos 25, FETE B = 4 (7 sin à ++) (27) à l, GR

EC + a

En faisant la substitution dans les formules (20), supposant les mêmes profils de cordes égales, on trouve :

Pen Lun MAD 0 on SRI . Br pie+s— AROD SN Di La solution de ces deux équations par rapport à l, et T, nous donne : | | Fr: [ %& (i+2ne)B, Be] rl( +" e) Vo 64 D, D, SA l'He li+reAB, " € 1 1+ne B An Gén rodl:t6oln sim) (29) 2e [1 (1 +2ne) B, à | dre) le Ce CLD D,

se 1+nre À, 1+neA, B, B, 1+nre B, =[1+5$ (m5 be) +5, + 5 De) Forces aérodynamiques.

Pour calculer les forces aérodynamiques pour chacune des ailes, nous allons appliquer le théorème classique de Kutta-Joukowsky :

Dans ces calculs, M. ToussaiNT a préconisé de prendre comme vitesse résultante la vitesse du courant général augmentée ou diminuée de la composante u cos « due au profil influençant; mais il semble, d’après le calcul numérique, que l'influence de cette vitesse induite sur la vitesse générale du courant peut être considérée comme négligeable.

Donc, pour chacun des profils constitutifs, on aura :

Ry —e Vol , Ry = 0 Vol»

et, par conséquent :

2, 21e Nes PS RS et Er fie:

ce qui donne : :

| LE 2r(1+ne) (F — HE ( sn) | | Cys He; (1 nu 2 e) B, B, | 1 8 D, B, A5 D, 8 D,? #