VII. — COMPARAISON AVEC LA THÉORIE
Je rappellerai d’abord brièvement les principes de la théorie. .,
Dans un conducteur homogène et isotrope, dont on suppose la perméabilité magnétique invariable, lechamp magnétique HI satisfait à l'équation
oH (1) AH = 4ruc—
c représentant la conductivité(!).Si l’on se borne au cas où H est une fonction périodique du temps, on peut simpli-
(*) La démonstration de cette formule est donnée dans une Note placée à la fin de ce travail.
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fier beaucoup l'étude d’une équation de cette forme (!).
Une fonction circulaire (qui sera si l’on veut un des termes du développement de la fonction périodique) peut être représentée par l’écriture
H — pleins En posant m=— 4ru.cw, l'équation (1) devient (2) Âp = mi.
Dans le cas d’un cylindre de révolution placé dans un champ primitivement uniforme, parallèle aux génératrices, la fonction + ne dépend que de la distance p à l'axe, et (2) se réduit à
(3) En
L'intégrale générale de cette équation est, en posant
—— î 2 LI UTLOEe
(4) o= AJi(æ)+ BKo(x).
Dans cette expression, J, représente la fonction de Bessel d’ordre 0, c’est-à-dire la série
x? PA PA Jr) À — ..
K, est donné par l’expression Ko(z)=(c+log2 —logxr)J,(x)
+ 2 [ta = Ji (æ)+ 3h). 4 | ;
où € est une constante, appelée constante de Gauss, et égale
(*) MAscaRT et JOUBERT, Lecons sur l’Électricité et le Magnétisme,
> édition, t.I, p. 713. — J.-J. THomson, Recent Researches in Elect. and Magn., p. 263.
à 0,577, et ds, J,, ..., les fonctions de Bessel, dont la définition générale est
an x?
D Ce) =" |; — 122-072 2(27 +2)
Ga 1 —i- ae je .
Dans le cas particulier d'un cylindre plein, l'expression (4) se simplifie; en effet, la fonction K, est infinie pour æ — 0; il en résulte, la valeur du champ ne pouvant être infinie en un point situé sur l'axe, que le coefli-
cient B est alors nul, de sorte qu'il reste © = ATS (En) à
Enfin, lorsque la fréquence est assez élevée pour que les actions électromagnétiques soient localisées au voisinage de la surface extérieure, on peut remplacer dans l’équation (3) p par la valeur du rayon extérieur; l'équation devient alors une équation à coefficients constants, et la
solution est de la forme o = Ceux cos(wt —Bx),
où x représente la distance à la surface, de sorte que la variation de l’amplitude du champ est représentée par une exponentielle.
Ceci posé, pour chercher la protection exercée par un cylindre creux, on calculera le rapport entre les valeurs de l'amplitude du champ magnétique à la surface intérieure et à la surface extérieure, et l’on prendra le rapport de ces deux valeurs.
Si l’on emploie l'expression complète(4), il faudra déter-
miner la constante & — à (le coefficient À mis en facteur
disparaît lorsqu'on prend le rapport des deux valeurs du champ); cette quantité & varie avec la fréquence N, puisque N entre dans la relation de condition, quelle qu'elle soit, au moyen de laquelle on détermine a.
Une valeur de a ayant été déterminée pour une fré-
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quence donnée, on peut se proposer de chercher : 1° si la même valeur convient quand N varie, c’est-à-dire si une même fonction de N et du rayon peut représenter le phénomène entre certaines limites ; 2° si, pour cette fréquence seulement, la mème formule permet de calculer la protection de plusieurs cylindres creux d’une même substance.
Le calcul, qui paraît très laborieux au premier abord, est simplifié par ce fait que, pour les valeurs assez faibles de la variable, les termes des fonctions J deviennent très rapidement négligeables; or, dans mes expériences, la valeur Van de la variable n'atteint pas 7 (dans la suite je poserai mp? — y”, de sorte que x?——iy?).
Lord Kelvin a donné une Table des valeurs de J, (!); parmi les autres fonctions de Bessel, la seule à considérer ici est J,, les séries d'ordre plus élevé étant négligeables
quand y cest inférieur à 5: j'en ai calculé les valeurs
jusqu'à y = 7; je reproduis ici les valeurs qui sont utiles pour les calculs relatifs à mes expériences : à
J,= a, + ib, J = a, +10;
EE — ES VE CH be s. b>.
One I (e) OÙ Pan (0) 0,5.... 0,999 + 0,0625 —+0,0001 —O,01 ( : +0,9844 + 0,2496 —0 ,003 —0,04 10 +0,9221 + 0,5576 o,0f7 —0,09 D = 0-07 70 AMIE F0 0720 +0,055 —0,16 2,9. se +0,3999 i 1,4571 +0,13 —0,24 de er 0 DOUCE T- 0970 0,27 0,90 9,0... —I,1930 + 0 ,2833 +0,48 0,1 frte —2,5634 + 2,2927 +0,74 —0,26 4,5... —5,2991 + 1,6859 +1,13 +0,15 DER —6,2301 + 0,1160 +1,49 0,47 DONNE 7107000002, 7002 1,77 +1,26 CLP —8,8583 — 7,3347 +1,77 +2,36 COR 7,0 =) 00 +1,03 +4,05 Howmooc —{,5 2e —0 ,60 +5,86
(:) Sir W. Tnomson, Math. and Phys. papers, t. II, p. 4gr. MASCART et JOUBERT, loc. cül., p. 518.
Considérons, par exemple, le plus épais des écrans de cuivre et déterminons & par la condition qu’il y ait accord entre le résultat du calcul et celui de l'expérience pour N— 50. Les deux valeurs du rayon sont ici 0, — 2,85 etp5=0,74,etles valeurs correspondantes de y: y,—= 5,296 et Y2— 1,372. On devra avoir, le nombre trouvé expérimentalement étant 0,166,
Cette équation est satisfaite pour une valeur de & très voisine de 0,1. Nous allons examiner les deux points in-
diqués plus haut.
, . © À. En faisant a — 0,1 dans l’expression de 4e où peut
calculer, pour différentes fréquences, les valeurs de £ cor-
respondant aux rayons maximum et minimum de l'écran
LA
considéré; le rapport de ces valeurs sera Le rapport T- ’ nt
des amplitudes des champs intérieur et extérieur; la comparaison des nombres ainsi calculés avec ceux trouvés par Pexpérience indiquera entre quelles limites la formule employée convient.
J'ai calculé également les valeurs de ce rapport en prenant comme expression de ® la fonction J, seule, puis en admettant la loi exponentielle en fonction de la distance à la surface (la fréquence N entre alors dans l'exposant par sa racine carrée); nous pourrons voir ainsi si Ces procédés de caleul, beaucoup plus rapides, s'accordent avec l'expérience.
J'ai pris comme valeur de la conductivité du cuivre
Dans le premier des deux Tableaux suivants sont réunis
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les éléments du calcul effectué au moyen de la formule complète; dans le second les nombres expérimentaux sont comparés aux nombres obtenus par le calcul effectué 1° au moyen de la formule complète; 2° au moyen de la solution © — J,; 3° au moyen d’une simple exponentielle.
N. Vi. Vo Pyie 9 Rapport #-
Py1 TOR Er CO G,918 1,29 ie 0 ,864 20TE7080 0,733 1,79 1,42. 0,628 07 08:07 0 ,898 DE LES 0,453 A0... 4,003 1,037 3,4 RUE 02080 DD ra 1,162 LS Un Lt 0,257 GO 009 1,270 5,8 1,19 0,209 70... 5,296 np) 7 10 1,19 0,166 SD 5001 1,467 8,85 1,20 0,136 J0.. 6700 1,556 10,96 1,20 0,110 100... 6,330 1,640 NON T2 0,092 MST 1520 16,1 1:20 0,076
Nombre Formule
N. expérimental. complète. o— JM Pxponentielle: AU ERPE » 0,874 0,815 0,351 DOTE 0,513 0,628 0,560 0,227 30. 0,402 0,453 0,396 0,163 AUS 0,322 02200 0,297 0,123 DDECE 0,250 02017 0,228 0,096 Gibson Hyi 0,205 0,179 0,076 TUE MONO 0,166 0,142 0,062 SU REE 0,136 0,136 OPUS 0,052 SES Sd Ru 0,110 0,096 0,044 LOS 07007 0,092 0,069 0,036 MOTS. o,08r 0,076 0,055 0,032
Ces résultats sont représentés par les courbes de la Jig. 4. On en déduit que : 1° les nombres obtenus au moyen de la formule exponentielle sont très différents des nombres expérimentaux ; ce n’est que pour des fréquences beaucoup plus considérables qu’on pourrait employer celte formule; 2° lemploi de la fonction J, seule conduit
à des valeurs beaucoup moins éloignées que les précé-
dentes de celles données par l'expérience ; 3° avec la for-
mule complète, où l’on a fait a — 0,1, l'accord est sensiblement réalisé entre les fréquences 40 et 120 (!).
Jl faut bien remarquer que, dans le deuxième cas, on n’a fait intervenir aucune constante, tandis que l’emploi de la formule complète a nécessité le calcul d’une consante choisie justement de façon que l’accord soit complètement réalisé dgns une partie moyenne. Si donc on veut seulement chercher d’une manière approximative le rôle d'un écran, on pourra réduire l’expression du champ à la fonction J,; si l’on veut plus de précision, on ne pourra l'obtenir, entre certaines limites, qu’en employant la formule complète et en faisant intervenir, d’une ma-
(:) Les différences notables qui existent pour les faibles fréquences entre les nombres expérimentaux et lés nombres calculés par la formule complète montrent simplement que le coefficient &, qui varie forcément avec la fréquence, comme je l’ai fait remarquer plus haut, varie surtout lorsque la fréquence tend vers 0; le calcul effectué avec la valeur de & calculée pour N = 50 devient alors tout à fait incorrect.
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nière quelconque, les conditions aux limites qui fixeront les coefficients des deux partiés de la formule. |
On peut se demander si Ja valeur choisie pour la conductivité est exactement celle des cylindres, et si, en prenant une autre valeur, on n'aurait pas obtenu des résultats un peu différents ; la valeur que j'ai adoptée est celle de la conductivité du cuivre pur, qui semble convenir aux masses bien homogènes de cuivre électrolytique constituant les écrans; si l’on voulait, par exemple, obtenir une concordance complète, pour N — 50, entre l'expérience et le résultat du calcul effectué avec la fonction J, seule, il faudrait admettre une valeur de la conductivité un peu plus petite que 57.107%, c’est-à-dire bien inférieure à ce qu'on peut supposer ici. L'allure de la courbe théorique n’est d’ailleurs pas modifiée d’une manière sensible par une variation de cet ordre dans la conductivité. |
2. Cherchons avec quelle précision la même formule représente les résultats obtenus avec les deux autres écrans de cuivre, dont les rayons intérieurs sont 1°", 52 et 2°”, 26, les rayons extérieurs étant les mêmes que celui du premier. Le Tableau suivant permet de comparer avec les résultats expérimentaux, pour plusieurs valeurs de N, les résultats obtenus pour les trois écrans.
Premier écran. Deuxième écran. Troisième écran.
: EEE
N. Observé. Calculé. Observé. Calculé. Observé. Calculé. DU RO 2008007 OT) NO 320 0,930... 0,070
TU RoATOCE O0 0,228 0,246 0,420 0,520 400.... 0,097 0,092 OO MO 210 OPDIOSRO 104
L'accord est à peu près satisfaisant pour N — 50, mais les divergences deviennent très importantes pour les fréquences élevées; il semble donc que la constante déterminée pour l’un des écrans ne puisse pas convenir pour les
aulres.
Pour les écrans de faible conductivité on obtient des
résultats sensiblement conformes aux résultats expérimentaux en employant seulement la fonction J,; voici, par exemple, les nombres obtenus pour le plus épais des écrans de plomb, en prenant pour valeur de la conducti-
vité 3,89.10 5 :
