Supposons X + 0. On ne peut avoir us — (0, et l'équa
tion (45) donne
y __ CP +49 +0
| GP+AuI+?
les c; étant des fonctions de x et y. Remplaçant g' par sa valeur dans l’équation (45) on aura une équation de la forme
(46) Ag + 9(Bp+C+Dp+Ep+F—0.
Si cette équation n'est pas vérifiée identiquement, on en déduit pour g l’une des formes
g—= he + À + Vo pt +2 p + jo (U? — Lio Us Æ 0) u CRE RUE er pPeà (u Æ 0)
ÿ=he+2hp+À (o Æ 0}.
En portant ces valeurs de g dans l'équation (45) on est conduit chaque fois à des impossibilités. L'équation (46) doit être par suite vérifiée identiquement. Une discussion simple montre alors que l’on doit prendre c, — 0 et 1 PTAI TS 90,
g= ——"—— avec 6 — :
GP + y
on aura donc
ais ë (ip + &) Log (ip + 05) + oo (x; y)p + où (x, y). En portant dans l'équation (41) on est alors conduit à une impossibilité. On a donc bien nécessairement X — 0.
44. Faisons maintenant intervenir les conditions /”. La première s'écrit
1e ae
D (pe +0) Ge HA (pe) = 0;
elle se décompose en deux autres
Set PAT ae
e ne x LA A de
Posons À, — JE (x, y,2,Q); on aura
UD toners He Eye)
2x E D2 dq La condition de compatibilité s'écrit 0p 9 9 w 9 w\ du a O1 Om (48) oi Eye af 7 9qg dx 02°
Les équations (40) et (42) où l’on fait À — 0 montrent que le
Hi
coefficient de FT se réduit à
S'il n’est pas identiquement nul, on aura
(49) M — 00 (æ, y; 2) Log [g cu Ti (x, Y» 2)}. On tire alors de (47) et (49)
pe = A(q + 01) Log (q + 01) + Bg +,
et l'équation (39) montre qu'on devrait avoir À —0, ce qui est impossible,
Le coefficient de E dans l’équation (48) doit donc être iden-
tiquement nul, et l’on a
(0 49 "TIuN. 02 .
On tire ensuite de (45) - — 0, et de (44) 2y(æ, re He 227% Ti n.
On obtient ainsi les équations
Le og FA
où la fonction p est définie par la relation
g—02—+9(x, 4e) Soit @ une fonction de x et y telle que 27 — y; on s'assure aisément que l'équation (50) admet pour le système de caractéristiques Y
l'invariant du 1° ordre
" EE) Ex c’est donc une équation du groupe À.
Nous arrivons ainsi à la conclusion qu’il n'existe aucune équation (1) satisraisant au système G— T°” qui soit de genre n 3 pour chaque système de caractéristiques.
45. Examinons en second lieu les conditions G”. La seconde s'écrit
pou ty Mer.
et l’on en tire les deux js
Je
D: “ac
9 ù ou encore, en posant
o) ou PRET nu
© u Se = hs + hu,
les h; étant des fonctions de x, y, 2 La condition de compatibilité de ces deux équations s'écrit
2p dw dw\9 GE °2q 92 QE ELA OUR (5 "4 A EN TT A ON
On voit comme précédemment que le coefficient de ne peut être q
nul; la fonction y satisfait done à une équation de la forme
(4g+B) SE = Cu + D:
La seule hypothèse à conserver, on s’en assure sans peine, est hypothèse 4 +0, CÆ0; on peut alors prendre
U — (9 + 8 LE et l'équation (39) donne immédiatement
Do —=3Z- On 2 alors
p = Po + 64 (9 + 0) + ps (9 + 0),
Pos P1: Pa, et o« ne dépendant que de x, y, z; portant cette valeur de p dans l'équation (39) on voit aisément que l’on peut prendre
1 8 E 2 C4 Ps —=2}:2 ?, Po = 2 + A SA — 02)
les fonctions À; ne dépendant que de x et y et À; n'étant pas nul;
on en déduit g—=2Àÿo—\X —N.
On est ainsi ramené à une forme étudiée précédemment (n° 43) et qui conduit à des impossibilités.
En définitive, si l’on remarque que la seconde condition G‘ est identique à la condition C; de M. Gau, on aboutit à la conclusion suivante:
Il wexiste aucune équation (1) de genre n > 3 pour chaque système de caractéristiques qui satisfasse aux conditions G— G ou G —C.
46. Cette conclusion, qui apporte aux vues de M. Gosse une confirmation au moins partielle, est d'autant plus digne de remarque qu’elle ne s'étend pas aux équations non linéaires. En faisant pour ces équations l'étude des conditions G — G” j'ai en effet obtenu des équations qui sont de genre 3 pour chaque système de caractéristiques; telles sont par exemple les équations
s(x +) Lee + y) + 5) = Apq+ Bpg° + Cpèq—+ Dpt,
où l'on a , :
A=2(x<+y) B=C—2k(x + y} D= TE 42(e+)s
et où X désigne une constante arbitraire non nulle. Il existe, pour le système X, une involution d'ordre 2.
6(x+y)" « #5 < 12 78 8 27 pe D Tr + 28e +0) pl + (04) p+ 8p 122
a c+y k et une involution d'ordre 3
Ps + 0 P2 + D pa + do = 0,
pi = 0,
où l'on a, en posant (x, p=— a+ y) *:
1 4 B(e+ut + Bk (+ y)" p5 + 4p D = — 5.) Ve é 2p + 7y AGP 9 — 4H 104 (+1) p es) ‘ HD Le à ; (@— p} ét pe 2—p A EE 0 A Ce 2 LR Een EL CA mt ot | Gp Tag JP | ES 4R? (x + y) 4 |:
z—p CEE
On a évidemment par raison de symétrie des résultats analogues pour le système Y. Leur vérification ne présente pas d'autre difficulté que la longueur des calculs.
Vu et approuvé:
Paris, le 2 Mai 1928.
Lx Doves pr La Facurik pes Soiexers, C. MAURAIN.
Vu et permis d'imprimer :
Paris, le 2 Mai 1928.
Le Recreur pr L’Acapésix Dr Paris,
S. CHARLÉTY.
