Seconde hypothèse: =; On a alors p—Ag+ À

La discussion est entièrement analogue à celle qui précède: on est conduit cette fois à des impossibilités. Sous les seules hypothèses

Se +o À Æ 0, il n'existe done aucune équation

s—p(Ag + À 9°)

qui admette une involution d'ordre 2 pour le système Y.

La conclusion du présent paragraphe est done qui! n'existe aucune équation (1) qui soit de genre 3 pour le système X et qui satisfasse aux conditions | — G.

S 3. Etude des systèmes G Prtet oo

42. Nous allons d'abord établir quelques résultats généraux sur les équations (1) qui satisfont aux conditions G. On sait que f étant linéaire en p on peut satisfaire à la condition G,(&)—=0 en prenant & — 0, et que dans la condition G, on peut prendre & — 1. Nous avons done à satisfaire au système

Sr fa

(37) ay—w sr + (5) = ( of CRE ES

38 A @, LE ANR

(8) 5 FRE 03 0pdp

On tire d’abord de (37) D = op? + Bip + Be.

En remplaçant # par sa valeur dans l'équation (37), on observe qu’en prenant une nouvelle fonction inconnue Z{(x, y, z) telle que

on peut poser 5, —0. D'autre part on constate aussi que dans ce cas l'équation (38) donne a, = y, (x,y,2). Finalement les équations (37) et (38) sont remplacées par le système

| Cd TR PT (39) Fran vos L IE ra 0 w dw (40) HT de OS 0 o 9 w D ta Hoi en + ie +uge—0 CNE NE 6, 00 On satisfait aux équations (39), (40) et (42) en posant dr: (43) g=e2—+9(x y, 0) Es G a 2h 209 (44) eh + ar Xe)

2y “ Si) Le

Has — Fr ee 0 8

(45) °8 28 ANRT

Il restera en outre à me: à l'équation (41).

Nous allons montrer qu'on a nécessairement X — ().