PREMIÈRE THÈSE
Recherches sur les équations s — f(x, y, £, p, q) intégrables par la méthode de Darboux.
Préliminaires.
1. Relativement à l'application de la méthode de Darboux aux équations de la forme
on peut se proposer deux problèmes.
Problème A. Etant donnée une équation (1), reconnaitre si elle est intégrable par la méthode de Darboux, c'est-à-dire si elle est de la première classe.
Problème B. Former les équations (1) qui sont de la première classe.
Ces deux problèmes sont distincts. Par exemple ‘) M. Goursat a résolu le problème B pour les équations
si — 4 À(x,y) pq = 0;
cependant étant donnée une équation de ce type, on ne peut en général reconnaître par un nombre fini d'opérations si elle est de la première classe.
Le problème B a été entièrement résolu par Darboux pour l'équation linéaire
Il a en effet indiqué le moyen de former toutes les équations (2) dont la suite de Laplace est limitée dans les deux sens, et on sait
1) Bulletin de la Société Mathématique, t. XXV, p. 36—48.
que les deux problèmes sont équivalents. Ceci n’est d’ailleurs à peu près d'aucune utilité pour la résolution du problème À relatif à une équation (2); mais on doit en outre observer, et cette remarque a une portée générale pour la suite du présent travail, que si l’on impose aux coefficients a, b, c de vérifier certaines relations, un nouveau problème B se présente, distinct de celui qui a été résolu pour le cas général. Räppelons par exemple les belles recherches
de Moutard et de Darboux sur les équations à invariants égaux, s—c(2 y)2,
qui sont de la première classe: a et b sont ici nuls, et le problème B a dû être repris entièrement pour ces équations particulières.
2. Moutard s’est proposé de déterminer toutes les équations du second ordre dont l’intégrale générale peut se mettre sous la forme
= RE VA AS ND 27 Il a établi que ces équations, qui sont toujours de la forme (1),
sont réductibles, par des transformations ponctuelles, soit aux équations linéaires, soit à l’une des équations
(3) SR pe ÉÉE (4 constant}
qui s’intègrent sans difficulté, soit à des équations de la forme
(4) s — ï |A y) e| +5 LE (x, y) | ii
On pourra done considérer le problème B comme résolu pour les équations étudiées par Moutard si l’on sait déterminer les équations (4) qui sont de la première classe. Posons
2 __, ,, Ologu "91084 (5) ci dy Be" — — Tee
si l'on élimine # entre les équations (5) on a l’équation (4); si l’on élimine 2 on a l'équation linéaire
du © log B 9u 6 re eine Le, (6) 0x 0y y 0x a On est donc ramené à résoudre le problème B pour les équations (6). Il résulte d’une remarque de M. Goursat ) que l’on peut toujours
?) Leçons sur Vintégration des équations aux dérivées partielles du second ordre, t. II. p. 247.
passer de l'équation (2) à une équation de la forme (6) au moyen d’un changement de variable
u— 2 (x, y); on sait par conséquent former toutes les équations (4) intégrables par la méthode de Darboux. On leur donne généralement le nom d’équations de Moutard.
M. Gau!) a résolu le problème B pour les équations (1) qui sont linéaires en p et 9,
s—Q(x7,2)pq+a(xy,e)p +b(x, y, 2)q + c (x, y, 2). Le résultat de son étude est que les équations cherchées se ramènent, par une transformation ponctuelle, soit aux équations linéaires, soit aux équations (3), soit aux équations de Moutard, soit à l’équation
(7) s—("+e")p qui admet un invariant d'ordre 3 pour le système X et un invariant d'ordre 1 pour le système Y.
Signalons enfin, pour compléter l'énoncé des travaux antérieurs à ceux de M. Gosse, que M. Goursat, dans deux Mémoires fondamentaux ?) qui ont servi de base à toutes les études ultérieures sur ce sujet, a formé et intégré toutes les équations qui ont un invariant d'ordre 1 ou 2 pour chaque système de caractéristiques. Ces équations se ramènent, par des transformations ponctuelles, soit à des équations linéaires, soit à onze types canoniques que l’on trouvera dans le premier Mémoire de M. Goursat.
8. C’est M. Gosse #) qui a entrepris le premier l’étude du problème B relatif aux équations (1) de forme générale. Il résume ainsi sa méthode #).
Des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'il existe un invariant ou une involution, on peut déduire des conditions seule-
1) Thèse de doctorat (Gauthier-Villars, 1911) et Annales de l'Université de Grenoble, t. 25, 1913, p. 95—107. Avant M. Gau, Clairin avait résolu le problème B pour les équations s—f(x, y, 2) (Bulletin des Sciences Mathématiques t. 29, 1905, p. 177).
2) Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, 2° série, t, I, 189% (p. 31—78 et 439—464).
s) Annales de Toulouse, t. XII, 1920 (p. 107—180), et t. XVI, 1924 (p. 204—240).
4) Mémorial des Scieñces Mathématiques, fascicule XII (p. 31). 1#
ment nécessaires, qui ont l'avantage d’être très simples. On profite de leur simplicité pour essayer de restreindre la généralité de la fonction f (x, y, 2, p, q), et l’on essaye, par des transformations appro-
priées, de ramener l'équation à une forme canonique avantageuse“. Si l’on veut arriver, par cette méthode, à une solution rigoureuse et complète du problème B pour les équations (1), il est essentiel de préciser deux points.
En premier lieu, on peut convenir de ne pas considérer comme distinctes deux équations qui se ramènent l’une à l’autre par une
transformation ponctuelle de la forme (To) X=X() Y=YGY Z2=Z(G&y2 C’est ce qu'a fait M. Goursat dans les Mémoires déjà cités.
En second lieu, il faut observer au contraire que deux équations telles qu'on ne puisse passer de l’une à l’autre que par une transformation de Bäcklund doivent être considérées comme distinctes. On sait en effet que toute transformation (7,) conserve la forme de l’équation (1), tandis que le problème de la détermination de toutes les transformations de Bäcklund admises par une équation de la forme (1) paraît présenter, même dans les cas les plus simples,
des difficultés considérables.
Reprenons par exemple l'équation de M. Gau déjà signalée
Si l’on y fait la transformation de Bäcklund p=e#
suivie de la transformation ponctuelle
APT Pas 57 Z= 2 + 2y, on obtient l'équation (8) S—=eÿYo+Q qui est une équation de M Goursat. On doit pourtant considérer les équations (7) et (8) comme distinctes, car, avant les travaux de M. Gau, on ne savait pas qu’on pouvait, par une transformation de Bäcklund, passer de l'équation (8) à une autre équation de la forme (1) ayant un invariant du 1” ordre pour le système Y et un invariant
d'ordre 3 pour le système X. Le fait d'avoir obtenu l'équation (7) constitue donc un résultat nouveau par rapport à ceux de M. Goursat.
La méthode à suivre découle immédiatement des considérations précédentes. En combinant les conditions nécessaires obtenues, conditions qui expriment des propriétés invariantes pour toute transformation (7%), on répartit d’abord les équations (1) qui peuvent être de la première classe en un certain nombre de groupes Gi, Gs,..., tels qu'on ne puisse passer d’un groupe à l’autre au moyen d’une telle transformation, Supposons alors que nous ayons résolu le problème B pour les groupes @;, G,,... G,; si l'étude du groupe @,,, met en évidence une transformation de Bäcklund qui permette de passer de ce groupe à une équation particulière E, du groupe G, (in), il faudra encore résoudre le problème B pour l'équation Æ,. Et, comme nous l’avons fait remarquer à propos des équations linéaires, le problème B relatif à l'équation É, est distinct du problème B relatif à l'équation générale du même groupe.
4. L'étude du problème B relatif aux équations (1) a été conduite par M. Gosse avec une rare puissance de calcul. C’est en appliquant ses méthodes, et en reprenant ou complétant ses discussions, que j'ai été amené à déterminer de nouveaux types intégrables. Il semble bien d’ailleurs que la voie qu'il a ouverte soit la seule praticable, et c’est probablement en la suivant jusqu’au bout qu'il sera possible d'élucider entièrement le difficile problème à la solution duquel M. Gosse a apporté de si larges contributions.
Le présent travail est divisé en quatre chapitres.
Au Chapitre I je préciserai la position du problème et les divisions que la considération des invariants amène à y introduire. Après avoir formé de nouvelles conditions nécessaires, je compléterai l’énumération des groupes G; précédemment signalés, qui n’a été faite que partiellement jusqu'ici, et je montrerai que les équations non encore Ccataloguées peuvent être réparties en trois familles, suivant leur ordre minimum d’'invariance.
Aux Chapitres II et III, je donnerai la solution complète du problème B pour les deux premières familles.
Au Chapitre IV, j'étudierai un cas particulier du problème B relatif aux équations de la troisième famille qui sont linéaires par rapport à l’une des dérivées p ou 9, et je ferai connaître, au cours de cette étude, un certain nombre de propositions de portée générale qui sont de nature à faciliter l'extension du résultat obtenu. Le caractère négatif de ce résultat est d’autant plus remarquable qu’il n'est plus vrai pour les équations non linéaires: jindiquerai en
effet en terminant un nouveau type intégrable admettant un invariant d'ordre 3 pour chaque système de caractéristiques.
Je remercie M. Goursat d’avoir bien voulu s'intéresser à mon travail.
J’adresse aussi l'expression de ma bien vive gratitude à M. Bouligand, qui a orienté mes premières recherches; si j'ai persévéré dans une voie PINICES aride, je le dois en partie à ses encouragements affectueux et à l'appui de sa très cordiale amitié.
