CHAPITRE I
Position et division du problème.
5. Nous allons chercher un système de conditions nécessaires pour qu'une équation de la forme
() s— f(x,y,2,p, 4) admette un invariant. Ce problème a déjà été résolu partiellement par M. Gau et par M. Gosse.
Faisons d’abord connaître une notation qui nous sera souvent utile. Nous poserons, d’une façon générale, w désignant une fonction des variables x, y, 2, p,...,p,
P Lrou Ou Ou, df du d""f ou.
4, u — y ac 92 ar À 2: NN Op, AE LE dx” Dpx de même, v désignant une fonction des variables +, y, 2, q,.... q.,
nous poserons
0v 9v Ov , df dv ARE À oo ES ne
Les lettres p,, g, ont ici leur d etqls usuelle dans la CREER?
dx'? dy*°
théorie des équations (1), ainsi que les symboles
Rappelons aussi la notation classique
ST à DE SO NE dr Ph À Ga) ay Pay (ar }
La condition nécessaire et suffisante pour que w soit un invariant s'écrit alors, comme on sait,
(2) Æu = 0.
De même, pour que l'équation # — 0 soit en involution avec (1),
il faut et il suffit que l’équation (2) soit une conséquence de # —0. D'une façon plus précise, pour que l'équation
Pr+1 + u (&, Y; 2, P,... Pa) — 0 soit en involution avec (1), il faut et il suffit que l’on ait identiquement
of
z 7 de of = 4, u + : Le (CURE + u) TA ou dun Log (Po an u) Di x dx 2p 2p
6. Pour simplifier, nous conviendrons de dire qu’une équation (1) qui admet un invariant d’ordre » pour le système X, par exemple, saas admettre aucun invariant d'ordre inférieur, est de
genre n pour ce système.
Considérons alors une équation (1) qui soit de genre n > 2 pour le système X, et commençons par rappeler un certain nombre de résultats dûs à M. Gau et à M. Gosse.
Posons d’une façon générale, avec M. Gosse, À désignant une fonction des variables +, y, 2, p,...1,
PSE AUD TER Er
Un invariant d'ordre n>3 pour le système X est, comme Va montré M. Goursat, de la forme (3) [pa + D, y, 2, P,... paa)] A(X, y, 2, p,... ps) Supposons que l’invariant (3) soit l’invariant d'ordre minimum. Deux
cas sont à distinguer:
