D — (NS UN TON PONS EN EN SENS FE NE

Remarque. — Raisonnant sur la substitution T”, LVL pe NE LE RC T7

comme on vient de le faire sur la substitution T, on démontrera par un pro: cédé identique que : 1° l’on a

et Mis — Moy;

2° "T’peut se mettre sous la forme symbolique T= (NN) IN)IN NN SN).

Lemime 111. — S'il existe une fonction linéaire et homogène U de X, Y

et Z, que toutes les substitutions du groupe r multiplient par des facteurs constants, le groupe G se réduira aux puissances d'une seule substitution

circulaire entre les m racines.

Je dis, en premier lieu, que U contient toutes les 2 racines ; supposons, en effet, qu'il n’en soit point ainsi : soit n, une racine qui figure dans U, n; une racine qui n'y figure pas. Le groupe G, étant transitif, contient au moins une substitution S, qui remplace », par »,; mais, en vertu de l’hypothèse, S transforme U en U'— KU; or U’contient r; et KU ne contient pas n,: donc l'identité

U'= KUÜ

est impossible, ce qui est contre l'hypothèse.

Puisque nous avons démontré que U contient toutes les racines, nous rentrons dans le cas traité précédemment dans la première Partie (8), etl’on démontrera par un raisonnement identique : 1° que le groupe G est formé par les puissances d’une seule substitution circulaire entre les m racines ; 2° que les facteurs, tels que K, sont ou bien égaux à l’unité, ou bien des racines 7%‘ de l'unité.

Le lemme est donc démontré.

27. THéorkme. — Le groupe T, dérivé de substitutions S de la forme

De DO PPT? Conf D) RL Jointes aux deux substitutions