ETAT SANTA DS PSY NE CEE PAR

ne peut fournir aucun type d'équations algébriques irréductibles H de degré premier m.

La démonstration de ce théorème repose sur deux lemmes, que je vais successivement établir.

Lemme 1. — Chacune des fonctions X, Ÿ, Z contient toutes les 7

racines.

En effet, faisant usage de la notation symbolique adoptée à la fin du

5o L. AUTONNE.

lemme IT du n° 26, je vois que lon à

on voit donc que, si je répartis les sept systèmes de racines N,, N,,, N,.,

N,,, N,, N,, N, en trois groupes

(1) N,, (2) | N, 2 N° Ne (3) N,gnpNeme Nes

il n’existera pas dans le groupe G de substitution capable de faire passer une racine d’un quelconque des groupes (1), (2) ou (3) dans l’un quelconque des deux autres. Or le groupe G est transitif : donc l’un des trois groupes (1), (2) ou {3) subsiste seul et les deux autres doivent ne pas exister.

D'ailleurs, on a (26, lemme Il), puisque la substitution T entre dans le groupe |,

R' == M SE RER 7 et (6, corollaire IIT)

RM + iu+ Ir —=m.

Si donc Je suppose que le groupe (1), c'est-à-dire le système N,, disparaît, 1l faut supposer 2, — 0, et il reste

ce qui est absurde, puisque 7x est premier.

Donc ce sont les groupes (2) et (3) qui disparaissent ; le groupe (1) subsiste seul; par conséquent,

nn = N, — 1}

et le lemme est démontré.

RECHERCHES SUR LES INTÉGRALES ALGÉBRIQUES. bi

Lerñme Li: — Ona

72 / 7 Û 7 [42 = À , b rs C —= 1,

et, par conséquent, la substitution Ta la forme ie | NN ER MEN ES AP la substitution T étant RNA a Yan 7 CRE Pour démontrer ce lemme, considérons la substitution RENTE DEN NZ, h

puisque Z contient toutes les » racines (lemme I), on a «”—1 ou bien

Ua

04, corollaire).

= 1 ou c’— 8, en désignant, suivant l'habitude,

Supposons d’abord c

par Ÿ une racine »*°”* de l’unité; dans ce cas, T” est une substitution cir-

culaire entre les 77 racines

ou encore T=]|3 1+1| (modm).

Cela posé, soient =. La; 4, 1. :., Y —. ° mn +. . -:

aucun des rm coefficients « ou des m coefficients 8 ne sera nul. Si je désigne par X’/et Y’ ce que deviennent X et Y par l’effet de la substitution T”, il

viendra

Ne

| + + nn = + | aù È = E

D'ailleurs, EN [/4 læ) CRT De CO d'Or bhoue.s