INTRODUCTION

Le problème de l'intégration des équations différentielles linéaires est, comme on sait, intimement lié à la théorie des substitutions linéaires. En particulier, la recherche des intégrales algébriques de ces équations se ramène, si l’ordre de l'équation est p, à la détermination des groupes de substitutions d'ordre fini, contenus dans le groupe linéaire à p variables. Ce travail, commencé par M. Fuchs (Journal de Crelle, t. 81) et MM. Klein et Gordan (Mathematische Annalen, t. IX et XIT), a été mené à bonne fin par M. Jordan. Dans deux très remarquables Mémoires, dont le premier a été inséré dans le tome 84 du Journal de Crelle, et le second présenté à l'Académie de Naples et couronné par cette Academie, M. Jordan a posé les règles générales qui doivent guider dans la recherche des groupes d'ordre fini contenus dans le groupe linéaire à p variables : il a démontré que ces groupes pouvaient toujours se ramener à un nombre limité de types et il a complètement énuméré ces types dans le cas où p — 2 et 3.

D) L. AUTÔNNE.

Pour ce qui est de la recherche des intégrales algébriques des équations différentielles linéaires, M. Jordan a, comme résultat final de son travail, énoncé le théorème suivant, déjà donné avant lui par M. Fuchs pour le

second ordre :

Tuéorème. — Siune équation différentielle linéaire d'ordre p a toutes ses intégrales algébriques, ces intégrales s'expriment linéairement par les racines d'équations binômes, dont les seconds membres sont des fonctions monodromes de la variable et des racines d’une équation auxiliaire X — 0 ; le degré de X :=o est inférieur à une limite fixe, qui ne dépend que de la valeur numérique de p.

Les remarquables résultats obtenus par M. Jordan m'ont paru propres à une application qu’on ne trouvera peut-être pas complètement dépourvue d'intérêt. Voici le problème que je me propose de résoudre : une équation différentielle linéaire Y, d'ordre p et à coefficients rationnels, admet un système fondamental d'intégrales dont tous les termes sont des racines d’une équation algébrique irréductible H de degré m = p + n et à coefficients rationnels. Puisque toutes les m racines de H sont des intégrales de Ÿ et que Ÿ ne peut avoir plus de p intégrales linéairement inde. pendantes, il existe entre les 7» racines 7 équations linéaires, homogènes, à coefficients constants. Je me propose d'étudier les conséquences qu’entraîne, tant pour la forme de l'équation algébrique H que pour la nature des intégrales de Y, l'existence de ce système de # équations linéaires, homogènes, à coeflicients constants.

Ce travail est divisé en quatre Parties.

Dans la première, J'examine le cas où 7 — 1. Si le degré m» est un nombre premier et si le coefficient du terme de degré n — 1 dans l’équation H n’est pas nul, l'équation H est abélienne et toutes les racines s’expriment rationnellement en fonction de la variable et de l’une quelconque d’entre elles. L'équation différentielle Y possède un système fondamental d'intégrales dont l’une est rationnelle et les pP—1=m— 2 autres des racnes 2% de fonctions rationnelles.

On voit que, dans ce cas, l'équation auxiliaire X — o de M. Jordan est

du premier degré, et que les diverses équations binômes considérées sont toutes du degré 7.

Dans la deuxième Partie, j'étudie le cas » == 2. Si m est un nombre premier et si le terme de degré m — 1 ne manque pas dans l’équation H, H peut encore être une équation abélienne, et l’équation différentielle admet un système fondamental pareil à celui qui a été défini dans la première Partie. Mais, de plus, F peut être telle que toutes les racines s'expriment rationnellement en fonction de la variable et de deux quelconques d’entre elles. L’équation différentielle admet alors un système

fondamental, dont une intégrale est rationnelle et dont les p — 1 = m — 3

autres sont de la forme Vu), où désigne une fonction rationnelle de la variable et d’une racine & d’une équation du second degré à coefliclients rationnels.

L'équation auxiliaire X — o de M. Tordan est du second degré et les diverses équations binômes sont toutes du degré 7.

La troisième Partie traite du cas x — 3. Le degré m est encore un nombre premier et le terme de degré m — 1 existe dans l'équation FH. Après avoir donné un certain nombre de propositions générales, je suis forcé, pour traiter complètement la question, de me restreindre aux degrés premiers

inférieurs à 20. J’énonce dans ce dernier cas deux théorèmes :

19 Sùp—1—m—} est un multiple de 3, l'équation H est telle que toutes les racines s'expriment rationnellement en fonction de la variable et de deux quelconques d’entre elles. L’équation différentielle possède un système fondamental dont une intégrale est rationnelle et les p—1=m—A autres sont de la forme Vu, x), où À désigne une fonction rationnelle, x la variable, u une racine d'une équation abélienne du troisième degré à

coefficients rationnels.

L’équation auxiliaire de M. Jordan est une équation abélienne du troi-

sième degré.

2° Sip—1—=m—}4 n'est pas un multiple de 3, les résultats ne dif-

fèrent en rien de ceux de la première Partie.

Dis

Dans la quatrième Partie, qui est fort courte, Je me borne à indiquer la marche à suivre, si l’on voulait réellement appliquer la méthode à l'inté-

gration d’une équation différentielle donnée.