PREMIÈRE PARTIE

4. Considérons une équation différentielle linéaire d'ordre pet à coef -

ficients rationnels :

dry L dry | APE y der 7 tdxri dr

dy . + B D 0

p—1 dx

Prenons maintenant une équation algébrique irréductible à coefficients

rationnels (H) PURE A, n—! a AA Re Au n —+- A 0.

dont le degré "1 soit un nombre premier »m — p + n et dont la somme des racines ne soit pas nulle (A,Zo). Je suppose que Y possède un système fondamental d'intégrales dont tous les termes sont des racines ñ,,n,,n,, de l'équation algébrique H. Ilexistera dans ce cas, entre les » racines de H fo M3 A95 + + ns 2 €t Seulement » équations linéaires, homogènes, à coefficients constants.

Avant d'aller plus loin, je vais rappeler quelques propositions bien connues de la théorie générale des équations algébriques.

2. On appelle groupe d'une équation un groupe de substitutions entre les racines, tel que toute fonction des racines, dont les substitutions de ce groupe n'altèrent pas la valeur, soit exprimable rationnellement en fonction des coefficients, et réciproquement (Jordan, Traité des substitutions, p. 257).

On sait, de plus, que le groupe d’une équation algébrique irréductible est transitif, c’est-à-dire qu'il est possible, en opérant successivement diverses substitutions au groupe, d'amener telle racine qu’on veut à la place de l’une quelconque des autres (Jorpan, 7raité des substitutions,

5. Cela posé, considérons le système formé par les » équations linéaires, homogènes, à coefficients constants,

(1) RER Nu O0: NN

qui existent entre les 2 racines de H.

Les fonctions X,, ..., X, des racines sont nulles, c’est-à-dire exprimables rationnellement en fonction des coefficients : la valeur numérique de ces fonctions, qui est zéro, ne saurait, par définition, être altérée par aucune substitution S du groupe G de l'équation H.

Appelons X°, ... X, ce que deviennent les fonctions X,, ..., X, par l'effet d’une substitution S du groupe G. Les fonctions X', ..., X, seront encore des fonctions linéaires et homogènes des racines à coefficients con-

stants, et l’on aura le nouveau système d'équations / *e :

Lit) ME-10: co Ni O0:

Mais, par hypothèse, il ne saurait exister entre les » racines de H plus de x équations linéaires, homogènes, à coefficients constants, distinctes, car, si cela était, l'équation différentielle Ÿ ne pourrait avoir un système fondamental formé exclusivement de racines de l’équation algébrique H. Done le système (1°) n’est pas distinct du système (1), et l’on a

X'=A,,X,-HAX,+...+2,X,,

X 4. = ee Sani ADS

6 L. AUTONNE.

les À désignant des constantes dont le déterminant