TR EN
RECHERCHES SUR LES INTÉGRALES ALGÉBRIQUES. hé,
D'autre part,
AN CU Y = RON y, SU ET D'Z es gÿ'Z = 0 + O0 En, + mis EX x ES 4 + On, + Te
identifiant X’ avec a Y, Y’avec D'Z, Z' avec c’X, il vient ai ___ fBjra Be Avi+B i__ foy+Y'.
û — ge, Dh gY — 49".
d'ou les relations linéaires suivantes entre £'et j :
ai=$6 } x
Bi=yj+f8 } (modm), Yi=x] +Y |
et, par suite, on peut mettre T sous l’une des trois formes
1h er e (6.4 CE RE 4 1 y M (mod).
Dis Or ces trois formes doivent indiquer la même substitution ; donc il vient CY 4 21 A in? (modm), AE (mod m).
CRE ot 6 ; ot
Ce n’est pas tout : puisque T laisse chaque racine à sa place et que 4h:
a l’une des trois formes suivantes :
/ Die (0? + af + 6?) T° — A Pipe > 9 63 CE ml; PE, FE+Bye) n % 7 D
| L. AUTONNE.
il faut évidemment que l’on ait
73 23 AE “A me LE (mod), (53 ÿ* CA
d'a +as + p)=fFf hey ty )=r (ce) 0)
Par conséquent, il faut avoir
S =, 5 ee) / === 7
nt”
(mod),
en désignant par l'une racine primitive de la congruence binôme F—=1 (mod).
Cette congruence n’admettra des racines réelles différentes de l'unité que lorsque » — 1 sera divisible par 3. Il faut done que le degré 77 de l’équation algébrique irréductible H soit un nombre premier de la forme GX +1.
Supposons cette condition remplie, il viendra
B—=lx, y—=lax (modm)
et, par suite,
B=lx, y—=lPx« (modm).
Donc la substitution T pourra se représenter par la notation
c’est-à-dire
/ et, multipliant les deux termes de la fraction par l’entier u”, tel que ©
aw—=1 (mod),
il vient LE je Pi a & | Sr 27:
RECHERCHES SUR LES INTÉGRALES ALGEBRIQUES. ire
ee e du ‘ / ‘ . , Exemples = Prenons en — 7, «a — 3, « —4, l—9;il viendra 8 —6, / » + 1 à d'ailleurs à —5.
Avec ces hypothèses, il vient T — n ne “he
Cela posé, on à
X—n, + un, + Un, + Pn, + n, +8 n, + nr, — 1, + Ûn, + Bu, + nr, + Pn, + Pn + un,
not Du, + in, +0 n,+ nr, + bn, + Pr, et ENTREE En, + On, + Pn, + En, Dee ie + #0 5 Mn COR En, be On, à En EU me
L=n, +, + bn, +0 n, + TO THEAT c'est-à-dire CU nel ne 0 \ Ne — 0 (n, + nu, bn, .) = 02% = 0'Z, — D (n, + Bn, + n, +...) =8X = CX.
En résumé, on voit que le groupe G de l’équation algébrique irréduetible H sera formé de la combinaison des deux substitutions en ne ol | ES (mody»).
La substitution S permute circulairement toutes les 72 racines ; € déplace
toutes les racines sauf #,.
57. Turorëme. — Zoutes les racines de l'équation algébrique H peuvent s'exprimer rationnellement en fonction de deux quelconques d’entre elles et
des coefficients de l’équation.
70 L. AUTONNE.
Cette démonstration ne diffère en rien de la démonstration analogue de
la deuxième Partie (24).
58. Tuéorkme.— l'équation algébrique H est résoluble algébriquement.
En effet, considérons les nm — 1 quantités
no = [n,+ Gen, + Gen, Bon, HE On T7, ?, EE [mn —- un, ne On TE GORE GreD 0 0 2 RTC | DR AR. pme Pr, PC Le A A né en à © 0 , TE [ro CUT D er RE BEA 1 (1) = [n, se un, A RE ie. 2 RL + ÉREU e LE W, == [no + pin, SR Poe + QU He TT Re ee 2 D CD de 6 do à L Le [no + CAR ÉLUS AO ARS SRE + DA 0h 1e D [no + CPR RS ee + LEURS Ve = [n + "x n, RS EN nn US + SUR ES 1e
où L désigne une racine primitive de la congruence binôme {= 1 (mod 7»). On a d’ailleurs posé 3(k + 1)—1m—1. Il va sans dire que m est un nombre premier de la forme 6 + 1, sans quoi / serait imaginaire.
Parmi les 3(4 + 1) fonctions 4;, v,, w,, il y en a trois (4,, », et w, par exemple) qui sont précisément X, Y, Z et qui, par conséquent, sont nulles, mais les 34 autres fonctions ne sont pas nulles.
Considérons maintenant les deux substitutions S et { du groupe G de l'équation H. La substitution S ne change pas la valeur des fonctions u,, b., w,; t permute ces fonctions circulairement. Par conséquent, toute fonction symétrique de w,, v;, w, sera invariable par toutes les substitutions du groupe G, c’est-à-dire sera une fonction rationnelle des coefficients de H, c'est-à-dire encore une fonction rationnelle de la variable x: done ,, v,, w, sont les trois racines de l’équation du troisième degré à coefficients rationnels
D,—=@; + Lg} +L,,9,+L,, — 0.
RECHERCHES SUR LES INTÉGRALES ALGÉBRIQUES. ip,
D'ailleurs on vient de voir que les trois racines w,, v,, w, de +, se permutent circulairement : donc l'équation &, —0o est abélienne et deux quelconques de ses racines s'expriment rationnellement en fonction de la troisième, |
Je n’aurai besoin d’ailleurs, pour avoir toutes les fonctions 4,, v,, w,, que de former et de résoudre une seule des équations D,== 0. En effet, les diverses fonctions &,, #,, , sont invariables par les mêmes substitutions entre les 7» racines de H : donc (Jorpax, Traité des substitutions, p. 50, et aussi 25) toutes les fonctions w,, #,, u;, s'exprimeront rationnellement en fonction d’une seule d’entre elles, w, par exemple, et de la variable +.
Ayant obtenu les m—-1 quantités &,, ..., w,, ] aurai un système de m — 1 equations linéaires entre les » racines de H, et si au système (1) J'ajoute l'équation
++... +n, = —AÀ,,
les » équations linéaires obtenues de la sorte détermineront les » racines de H sans ambiguité aucune, car le déterminant D des inconnues (9) ne
saurait être nul.
39. THéorëue. — L'équation différentielle linéaire Y — o admet un système fondamental d'intégrales, dont un terme est une fonction rationnelle de x et les m— 4h autres des fonctions de la forme Vo, les w, désignant une fonction rationnelle de la variable x et d'une méme racine d'une
équation algébrique du troisième degré à coefficients rationnels en x.
. , 1) ER Fee . LR TE ÊLANER Ces m— {4 intégrales Vw, sont évidemment les 34 fonctions Vu, Vo,
0) 10 . ! ON Vw,, qui ne sont pas nulles. On démontrera, comme dans la première
partie (10), que les m — 3 intégrales À, et Vo, forment un système fondamental de l'équation différentielle linéaire Y.
On peut donner au théorème précédent un énoncé légèrement différent, qui revient à l’énoncé donné, et qui est plus commode pour la vérification que je vais faire. On peut dire que les quantités «, sont trois à trois les racines d’une même équation algébrique du troisième degré à coefficients
rationnels.
