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A L AUTONNE.
Vérification. — H est aisé de vérifier que l'équation différentielle li-
néaire Ÿ, qui admet le système fondamental d’intégrales définies plus haut,
a tous ses coefficients rationnels,.
La démonstration est toute pareille à celle de la vérification analogue
de la deuxième Partie (24). En effet, soient DU
les p — m— 3 intégrales, où
sm
< = (Vs
A9 == 6 Ve =? U;, rs P;; 1 U, Ÿ;, w, désignant les trois racines de l'équation du troisième degré
D pÈ —— (pe g: = [ee ®; 71 Le
à coefficients rationnels en x.
L'équation différentielle Y peut s’écrire
dry LPS APTE
dxP dx? : dxP= dx? |
Y RO | | Y *…. ur Vu Je …. |
D'ailleurs (14) on a (/— entier quelconque)
dy, d'y, d Dre oo: (a) ; Pr mie ( V;) CN
en désignant par 4, une fonction rationnelle.
Je porte dans le déterminant ces valeurs des dérivées successives et Je supprime les facteurs »,, »,, 7, ... communs à tous les éléments d’une colonne; j'obtiens un déterminant où chaque élément dans une colonne est une fonction rationnelle de 4; l'élément correspondant de la colonne suivante est la même fonction rationnelle de »,; de mère, dans la colonne suivante, l'élément correspondant est encore la même fonction ration-
nelle de w..
Cela posé, intervertissons les deux colonnes du déterminant qui con-
tiennent w,et »,; le premier membre de l'équation différentielle Y — 0 change de signe; or intervertir les deux colonnes, cela revient à permuter u; et #;; puisque le premier membre de l'équation différentielle Y change de signe, quand on transpose deux des trois quantités &%;, P,, 4, lun
quelconque des coefficients de l'équation différentielle sera de la forme
(au, —v,)(v, — w)(ow, — u,) du, v,, ),
À désignant une fonction rationnelle et symétrique de #,, #; et w,. Le raïsonnement s'achèvera comme à la fin de la deuxième Partie (24).
La discussion complète du cas 2 — 3, qui constitue la troisième Partie du présent Travail, peut se résumer dans deux théorèmes, que Je vais successivement énoncer.
40. Tuaéorkue 1, — Soit Y une équation différentielle linéaire à coef- Jictents rationnels par rapport à la variable x, qui admet une intégrale rationnelle À,,et dont l’ordre est un des trois nombres 4, 10 et 16; si Y possède un système fondamental dont tous les termes sont des racines d'une équation algébrique irréductible H, laquelle a tous ses coefficients rationnels et pour degré l’un des nombres premiers 7,13 et 19, Y admettra un système fondamental formé de l’une des deux manières suivantes :
1° L'un des termes sera l'intégrale rationnelle À,, et les p—1 autres termes du système seront des intégrales de la forme Vo, © désignant une fonction rationnelle de la variable x, et m le degré de H.
2° Les p — 1 termes du système fondamental autres que À, seront de
Vi , - . 5 0 la forme Vw, © désignant une fonction rationnelle de la variable ct d'une méme racine d'une équation algébrique, abélienne, du troisième
degré, à coefficients rationnels.
Si l’on se reporte au théorème de M. Jordan, cité dans l'Introduction, on voit que les diverses équations binômes que considère M. Jordan sont, dans le cas actuel, toutes du degré m de l'équation H; l'équation auxiliaire X — o est une équation abélienne du troisième degré, ou une
equation du premier degré.
80 L. AUTONNE.
Tuéorème II. — Si l'ordre de l'équation différentielle est l’un des nombres 2, 8,14 et le degré de l’équation algébrique l'un des nombres 5, 11, 17, toutes les autres conventions étant les mémes qu'au théorème précédent, l'équation différentielle possédera un système fondamental formé de la facon suivante :
Les p — 1 intégrales autres que l'intégrale rationnelle À, seront des racines m°"% de fonctions rationnelles de la variab le.
L'équation auxiliaire du théorème de M. Jordan se réduit au premier
