QUATRIÈME PARTIE

41. Si l’on voulait, par la méthode qui vient d'être exposée, chercher à intégrer une équation différentielle donnée, on serait conduit, comme dans la plupart des questions relatives à la théorie générale des équations algébriques, à des calculs très laborieux.

Je me bornerai donc, en ce qui concerne l'application de la méthode, à des indications tout à fait sommaires. En effet, l'intérêt des présentes recherches ne me semble point être tant dans l'essai d’un nouveau procédé d'intégration que dans la réduction, opérée dans un cas assez général, de fonctions algébriques implicites à des fonctions algébriques explicites très simples.

Considérons donc une équation différentielle linéaire et à coefficients rationnels

CUT 1 dxr 2 JxP—?2 TL

Ly L-ty J=2y / (Nez, + B.° “ = RE a = BY = 0;

Supposons que l’on se soit assuré qu’on est bien dans les conditions de notre problème, c’est-à-dire qu’un système fondamental de YŸ est exclusivement formé de racines d’une équation algébrique irréductible H, de de-

gré p+n(n—1, 2,3 et sin — 3, Prtn< 20), p+n étant premier. De plus, l'équation Y a, par hypothèse, une intégrale rationnelle P.

Il sera, en général, assez malaisé de constater l'existence du système fondamental qui vient d’être défini. Voici quelques remarques qui pourront, de prime abord, faire écarter un grand nombre d'équations différentielles linéaires données.

L’équation Y, ayant toutes ses intégrales algébriques, les aura toutes régulières, c'est-à-dire que les infinis de ces intégrales seront d’ordre fini, et même d'ordre commensurable et réel. Si donc &,, &,, &,, ..., a, désignent les divers points critiques des coefficients de Y, cette équation doit pouvoir, dans le domaine du point a;, par exemple, se mettre sous la forme

dyP oilx) dP=ty (9 - dxP x — a; dxPT!

avec la condition que les quantités o,(a;), pla), . .:., P(a), ..., (a)

soient toutes finies.

De plus, l'équation fondamentale déterminante relative au point

CAB ETS 20 SD)S

c'est-à-dire l'équation

R(k— 1). (Ep +1) HO (a) AE — 1). (4 — p +2) +. | + p,R(k—1)...(K—p+l+Hi) +...+@,(a) =0,.

, se ne doit avoir que des racines réelles et commensurables. Enfin, dans l’expression générale d’une intégrale quelconque dans le domaine du point a;

(a — aÿf, + Vilog (x — a) + [log (x — a)]° +...

les coefficients des puissances de log (x — a;) doivent être tous nuls. Si toutes ces conditions sont remplies pour tous les points critiques à&,,

dy dy, -., @, et pour le point 47° — 0, on pourra procéder à la recherche

de l'intégrale rationnelle P.

82 L. AUTONNE.

La fonction P ne pouvant avoir d’autres infinis que les points

critiques «&,, &,, ..., a, et le point x = % , on posera / \% œ,, . of m P nl — a, )(æ — 1) EX (x == a) Ha Le

les « désignant des entiers négatifs à déterminer et g(x) un polynôme en x.

La limite inférieure des exposants &,,..., 4, sera évidemment donnée par la plus petite racine négative de l'équation fondamentale déterminante relative à chaque point critique. On choisira dans les limites convenables un système de valeurs &,, . ., a, et l’on en déduira immédiatement le degré maximum de g(+). En effet, si dans Ÿ — 0 je fais x "—t, formant l’équation différentielle linéaire T en £ et résolvant l'équation fondamentale détermi-

nante relative au point { —o, on aura pour limite supérieure du degré

de g(x) le nombre £—{x,--a,+...+x,), si l’on désigne par —# la plus petite racine réelle et négative de l’équation fondamentale déterminante.

Posons done 2 Rxee 2 F6 ilviendi = Ces C , ET ALTER Pr ca ete a RC RE

les c étant des constantes.

ie : APP de P s :

Je forme les dérivées successives ==, —" ; ..., ——, que je porte dans Y, Aire dxP

je supprime le facteur (= a retire jets

commun à tous les termes, et j'obtiens un polynôme en x, qui doit être identiquement nul. Les coefficients de ce polynôme sont des fonctions linéaires des quantités c; on égale ces fonctions à zéro et l’on cherche par tâtonnements à déternuner les exposants &,,.., a, eties coelhcients Ce ec,» de manière à satisfaire à ce système d'équations. Les essais pourront être multipliés, mais ils seront toujours en nombre fini, et, après avoir essayé tous les entiers négatifs compris entre les limites données pour les z, on pourra décider si l'intégrale rationnelle P existe et former du même coup cette intégrale.

RECHERCHES SUR LES INTÉGRALES ALGÉBRIQUES. 53 Supposons donc cette intégrale P formée, il nous reste, pour achever la solution du problème, à rechercher s’il existe des intégrales de la forme x et à former ces intégrales si elles existent. D'après ce que nous avons vu, u ne peut être qu'une quantité rationnelle, qu'une racine d’une équation du second degré à coefficients rationnels, qu'une racine d’une équation du

troisième degré à coefficients rationnels.

1° & est une quantité rationnelle en x. Dans ce cas, une intégrale quel-

De?

conque y de YŸ est de la forme suivante (en désignant encore par 4,, a, les p points critiques de Y) :

JÆ U—1

a A Lo a fc at e ne no x ec) où le degré u est déterminé comme plus haut pour l'intégrale rationnelle P. Les c sont des constantes et les exposants « sont des nombres de la forme : (Æ entier quelconque). La recherche des quantités & et c se fait par un procédé identique à celui qui vient d’être exposé.

2° uw satisfait à une équation du second degré. Dans ce cas, on pose, comme au n° 25,

dry dy» | dx? dxP ‘ EE —() à dy dy p n ?

dx dx: | DA ame)

Yimüy YF} =, et v étant les deux racines de NA pe M:

On se donnera comme quantités à déterminer les fonctions ration- 3 0 .

nelles L et les = fonctions rationnelles M. On exprimera rationnelle-

, 4 f \ . a] , . À ment (25) tons les éléments du déterminant à l’aide des p — 5 fonctions L

. ” 0 . , et M et de leurs dérivées successives ; on développera le déterminant et l'on

84 L, AUTÔNNE.

cherchera par tâtonnements à déterminer les p — 3 fonctions L et M de facon à identifier le déterminant développé avec l'équation différentielle

linéaire proposée Vs 2° Si x satisfait à une équation ee du troisième degré, on pro-

cédera comme pour la vérification faite au n° 40 et l’on opérera sur les

équations (D) + Lo +L,o+L,—

comme on vient d'opérer sur les équations W.