DER LR AAA (4) UK SUR REA UE

(Voir, pour la démonstration, par exemple, le travail de M. J. Tannery, Annales scientifiques de l’École Normale, année 18795, p. 138).

5. Le groupe G de substitutions entre les » racines de l’équation H est d'ordre fini; lorsqu'on a effectué une substitution S de ce groupe un certain nombre de fois, on ramène chaque lettre à sa place, et, par conséquent, les fonctions X du système (1) du n° # redeviennent les mêmes. Donc la substitution linéaire X, qui, dans le groupe T, correspond à $, sera ellemême d'ordre fini. Ce que je viens de dire d’une substitution S de G et d’une substitution correspondante > deT s'applique aussi au produit S$’ de deux substitutions et au produit de leurs correspondantes dans le groupeT. Donc le groupe T sera un groupe d'ordre fini contenu dans le groupe linéaire à x variables.

Ce groupe T sera donc l’un de ceux que M. Jordan a fait connaître et a appris à déterminer. Dans le cas où r = 1, 2, 3, la détermination des systèmes de coefficients À tels que la substitution linéaire (2) du n° 4 puisse faire partie d’un groupe d'ordre fini a été faite complètement par M. Jordan. Je transporterai donc intégralement dans ces recherches les résultats obtenus par cet éminent géomètre.

Les racines de l'équation fondamentale relative à une substitution linéaire, qui fait partie d’un groupe d'ordre fini, sont évidemment des racines entières de l’umité. Il est évident aussi que, dans ce cas, le sys-

tème (4) du n° # se réduit à

(4°) 2 1 27 TR Us

En effet, supposons, par exemple, que K,,Zo; dans ce cas, S transforme U, en K,,U,+K,U,,S* le transforme en 2K,K,,U,+K°U, ou, en posant K,,—=K,,en K'(U,+2œU,).

De même S° transforme U, en K?Ÿ(U,+ 3œU,)etS" en K°(U,+ woœoU,). On voit que pour aucune valeur de l’entier w, S* ne saurait transformer U, en U,, tant que ©, c’est-à-dire K,,, est différent de o. On raisonnera de la même facon sur les coefficients K,,, K,,, ..., K,,, ..., et l’on verra sans peine que ces coefficients sont tous nuls. Donc le système (4) du n° 4 a

bien la forme (4”) du n° 5, et mon assertion se trouve justifiée.

G. THéorème. — Considérons les n équations

X = XL, NF Lis n, idole LU: T4 Pere)

= Le == CI LE PEUT 2 ANNE CIE CE ner a nes

ñn

qui existent entre les m racines de M. Je dis qu'une racine quelconque gurera avec un coefficient différent de o, dans l’une au moins des équa-

HO ON = Oraute à à 0:

Considérons, en effet, par exemple, l'équation X, == 0; soient », une racine qui y figure, », une racine qui n’y figure pas. Puisque le groupe G de l'équation algébrique H est transitif, il existera dans G au moins une substitution S, qui amène», à la place de n,. Si donc je désigne par X; la transformée de X, par lasubstitutionS, la racine 1; figurera certainement dans X',

puisqu'elle y possédera le coefficient de n;, lequel n’est pas nul. Mais on

10 LL. AUŒONNE.

a identiquement ne = A, X,+ ARE Arte AN

et cette identité ne sera possible que si n, figure avec un coefficient diffé-

rent de o dans l’une au moins des équations X,—0, X,—0,...,X,— 0. COR ENMDE

À ce théorème se rattachent trois corollaires évidents, dont je ferai grand usage dans la suite, dans les cas où 2 — 1, 2, 3.

Corollaire 1. — Si n —1, l'équation linéaire, homogène à coefficients constants, entre les racines de H, savoir X — 0, contiendra toutes les mL racines.

Corollaire IT. — Sin — 2, appelons X — 0, Y — o les deux équations entre les racines ; s’il y a x, racines communes à X — o et à Ÿ — 0, n, racines qui figurent dans X seul, », racines qui figurent dans Ÿ seul, on aura

n HA, + An, =.

Corollaire III. — Si n — 3, appelons encore X — 0, Y —0, Z—0

les trois équations entre les racines; s’il existe

ñn, racines communes à X, Ÿ,Z,

n, 2 » ) X, ae.

n,; » » x Zi Noa » ») Ye Z; s’il existe n, racines qui figurent dans X seul, n, » )) de n, » » Z, on aura

Here ONE en où PE a me Een ve RATE US = le

Après avoir exposé les principes de la méthode, je vais passer à l’examen du cas où 7 — 1. Ce sera l’objet du second paragraphe de la première Partie.

7. Taéorème [. — S4 une substitution S entre les L lettres n,,n,,...,", multiplie par un facteur constant K la fonction

U—= ah as He à: He bre

on a K°= 1, en désignant par d le plus grand commun diviseur des degrés 1, à, d', .. des différents cycles deS.

Soient, en effet, n,,",, …, n, les différentes lettres d’un cycle de S. La substitution S transformera

Wan, ais ES im en / CON EE eo m2 UF eu ER PEN ° d’où, par suite, CEE, erC AT EST C7

HORLT a PSM SR (A quelconque).