AB—C—D

Si la transformation d’un atome radioactif produit un seul atome également radioactif, l’autre fragment étant un atome d’hélium ou un électron, les équations différentielles qui représentent le phénomène peuvent être écrites de la manière suivante.

Pour la substance À, on aura simplement

dn: = — À ln: dt, À, étant la constante de vitesse caractérisant la transformation de À, n, le nombre des atomes À au temps t£. Le nombre des atomes B dépendra de la vitesse de production par la substance A et de la vitesse de destruc-

tion spontanée. Si chaque atome de À qui se transforme produit un atome de B, on aura

dns = À: ni dt — À Ta dt:

pour la matière C,

dns —= À Te dt — Às A3 dt, etc.

Les quantités des différentes matières qui existeront

à un certain instant £, devront être calculées à partir de ces équations et des conditions initiales.

On peut d’ailleurs ramener tous les problèmes, quelles que soient les conditions initiales, au cas où il n’existe à l’origme des temps qu’une substance active.

L'intégration a été faite par les méthodes usuelles, d’abord pour deux substances, puis pour trois. Pour un plus grand nombre de transformations, MM Curie a indiqué dans son Traité de Radioactivité une formule de référence qui permet de passer du cas de n substances à celui de n +1,et la solution générale que l’on peut ainsi obtenir est la suivante.

S1 N, est le nombre des atomes de la substance mère À, qui existent à l’origine du temps, le nombre N,, des atomes d'ordre m qui existent au temps # est donné par l'équation

e-Mt Ne eo Ne Ï

(A2 — LR ..(Am— di) as

e—Xmt fs (A1 — AS)S , or ET | à

J’ai été amené, en cherchant à comprendre le mécanisme des transformations radioactives, à imaginer une nouvelle méthode de calcul qui permet aussi d’obtenir la solution du problème dans le cas d’un nombre quelconque de transformations. Je crois intéressant d'indiquer ce caleul, car le problème y est présenté sous une forme, très différente de celle qu’on a utilisée jusqu’à présent, qui conduit à des remarques intéressantes.

Dans une suite de transformations radioactives, chaque atome de la substance mère est d’abord sous la forme A et passe successivement par les formes B, C, etc. Au lieu d’envisager séparément et successivement ces différents états de la matière qui se transforme, j'ai considéré l’ensemble des transformations pour un groupe particulier d’atomes.

212 A. DEBIERNE.

Chaque atome a une destinée particulière. Considérons la destinée d’un atome de la substance mère À; à partir de l’origine des temps 1l reste pendant un certain temps #, sous la forme À, puis il se transforme en B et reste sous cet état pendant le temps {>, ensuite passe sous la forme C et y reste un temps (3, ete. S'il fait partie d’une famille d'éléments radioactifs dans laquelle on connaît n transformations successives, 1l restera dans chaque état pendant un temps déterminé, avant de prendre la forme stable finale. Nous pouvons dire qu’il a sous la forme À une purée de vie {,, sous la forme B une durée de vie {, etc. sous la forme d'ordre n une durée de vie 4,,et que sa destinée est caractérisée par les durées de vie #4, t2, ..., în

En se basant sur la loi élémentaire de transformation, qui a été déduite uniquement des recherches expérimentales, on peut calculer le nombre des atomes ayant sensiblement la même destinée; par exemple, ceux dont les durées de vies sous les différentes formes sont comprises, pour la forme À, entre 4, ct &; + dt, pour la forme B, entre ta et to + dia, pour la forme P, entre 4, et tn + dtn. Le nombre des atomes de la substance À qui se transforment pendant l'intervalle dt, est

dNi = À ri dti, AN; = — dn;;

n, le nombre des atomes de A existant au temps 4, est donné par l’équation

ni —= No e-ht,

Ns représente le nombre des atomes de A existant au temps o et, pour simplifier, nous supposerons qu'à ce moment il existe seulement de la substance mère A. ;

adN; = No À e-Mts dti.

Parmi les dN, atomes ayant une durée de vie t, sous la

forme À, un certain nombre seulement seront encore sous la forme B après un temps #. Ce nombre AN, est égal

à dN,e”ht et le nombre dN,,:, de ces atomes qui passeront à l’état C pendant l'intervalle de temps dt, sera donné par l’équation

dN. — À AN; dt —= No À ets e-\ita dt: dt,

dN,2 représentera le nombre des atomes ayant des durées de vies comprises entre &, et t; + dt, sous la forme À, et ta et ta + dia sous la forme B. Parmi ces dN, 2 atomes, le nombre de ceux qui subsisteront encore sous la forme C au bout du temps t, sera

AN; —= dN1.0 est

et le nombre des atomes 4N,,2.3 qui passeront à l’état D pendant lintervalle dt; et qui, par conséquent, auront eu des durées de vie ti, ta ett: dans les états À, B, C sera

dNi..3 —= No 1e JE e-Mts eh la e-Xals dt; dt dts.

En continuant à raisonner ainsi, on voit facilement que l’on peut calculer le nombre des atomes ayant une destinée caractérisée par les durées de viety,to,ts, ...,t ; ce nombre sera donné par l’équation.

dN:.2 sn —= No …. US ets e—hat on .6—Xntn dtidt VE dty

Dans cette équation, que j’appellerai équation de destinée, les grandeurs 4, t+, etc., sont des variables indépendantes pouvant varier depuis zéro jusqu'à l'infini. Il en résulte que toutes les destinées possibles sont envisagées, et si N, est suffisamment grand, elles seront toutes pratiquement réalisées.

L’équation différentielle donne le nombre des atomes ayant même destinée. Si nous voulons déterminer le nombre des atomes dont la destinée satisfait à certaines conditions, 1l suffira d’utiliser ces conditions pour déterminer les limites d'intégration de l’équation de destinée.

Considérons le problème général et essayons de calculer

214 A. DEBIERNE.

le nombre des atomes d’ordre p qui existent au bout du temps T.

Nous pourrons pour cela déterminer d’abord la vitesse %%; à l'aide de l’équation de destinée puis, en utilisant la formule générale

de destruction de cette substance

en déduire le nombre des atomes présents.

Dans cette formule, 4N représente le nombre des atomes d’ordre p, qui se détruisent au temps T pendant l'intervalle de temps dT. Ces atomes ont eu des destinées diverses, mais ces destinées ont ceci de commun que la somme des durées de vie

ET A eo

est toujours comprise entre T et T + 4T.

Fig, 32.

Nous obtiendrons dN en intégrant l'équation de destinée entre les limites déterminées par cette condition. Pour voir clairement les limites de l'intégrale multiple

que nous devons effectuer, considérons d’abord trois transformations successives et portons les durées de vies 4, l>, ta, des différentes destinées suivant trois axes de coordonnées. Chaque point de l’espace représente une destinée particulière; toutes les destinées dont les durées de vie ont une somme égale à T sont représentées par des points situés sur le plan coupant les trois axes de coordonnées à une même distance T de l’origine. Les destinées dont les durées de vie ont pour somme T +, où tr — dT, sont représentées par les points du plan coupant les axes de coordonnées à une distance T + + de l’origine. Chaque destinée ayant une somme de durées de vie comprise entre T et T ++ est représentée par un point situé dans la couche comprise entre les deux plans ainsi définis (voir fig. 32).

Nous devons donc calculer lintégrale étendue au volume de cette couche en nous rappelant que + est infiniment petit. Pour cela, nous pouvons considérer, à partir d’un point £,, t2, ta, situé dans le premier plan, un parallélépipède ayant comme section dt, X dt; et comme hauteur + et calculer l'intégrale étendue à ce petit volume; celle-ci sera obtenue en supposant f, ettf, constants, et en intégrant l’équation par rapport à t,, depuist, jusqu’à &, + L'intégrale sera étendue au volume d’une tranche parallèle au plan des #, t, en intégrant par rapport à # depuis l — 0 jusqu’à & — T —+3; enfin l'intégrale sera étendue à toute la couche en intégrant par rapport à f; entre t3 — 0 et t3 —T. C'est ce qu'il est facile de vérifier en examinant la figure. Finalement, nous obtenons pour dN, le nombre des atomes de la substance 3 qui se détruisent au temps T, pendant l'intervalle de temps infiniment . petit * :

adN —= 13nT

#1 T—8, U+T —— Nodio x f° ets dis [ €e—ata dia f e—Mts dt 0 0 t :

210 A. DEBIERNE.

avec la condition

ti + lo + Lai ou ti = T—É— t3.

Si nous avions considéré quatre transformations suscessives, nous aurions eu à effectuer l’intégrale T T—t,

No À Ào À3 x f ets dt, ii est dt; 0 CA)

T—ti—ts—-ta+T

T—és-ts 0 e-hta des [ e—hiti dt.

St la

En effet, si la somme des durées de vies dans les quatre états est égale à T, celle des durées de vie dans les trois premiers états est égale à (T —4#,). L'intégrale qui doit être considérée dans le cas de p substances, peut être écrite immédiatement de la même manière.

Comme on le voit, l'intégration est dans tous les cas, particulièrement simple.

Effectuons le calcul dans le cas de trois corps

I=Nokihs d.

L—t— tt T :

ï e—Tatr dt; — (ira eh eh: et: (1 — e—MT), T—ta— ts 1

T DE UGET

TS ; e—hats dts f e—ht: des [| e-ht dti, 0 T—

ta— la

AT T— 4, LL No (1 = et) er | ehi—k)t, dt f ei—ha)ts dt, 0 220 T— t3 ï = —————— (ei-XT es-hts— y a J (A1— À) ) À À3 I— N ————————— —— MT STE FL d ) 4 4 1 E L< [enr dl edit dés — et / eXÀ)4 dts |, 0 2710 hs VINS re NT (hi ni )

eh e-MT < VENTE) RE 2 (70) TE be de Demi |,

SUR LES PHÉNOMÈNES DE RADIOACTIVITÉ. 217 et

= N,( = et) 9 À3

[ e-ÀT e-XT e-MT " (A2 — h3)(i— 3) + (A — 2) (À3— A2) en) ee nl ]

S1 I représente le nombre des atomes qui ont une durée de vie totale comprise entre T et T ++ et qui, par conséquent, prendront une nouvelle forme pendant l'intervalle

de forme 3 sera —=» et si n est le nombre des atomes pré-

sents de cette forme au temps T, on aura

{ NT n = T

pit AE — NX

eut e-XT e-XT

; a 1, (k3— 1)(M— 2) + dd — el

RES = OU RE meet AD

si Tr est infiniment petit, la limite du rapport est À4, d’où

n = Noh2 di e-MT e—T e-xT x Fe À) (3— 1) de (3— 2) (M — 2) |

qui est bien le résultat déjà connu.

On peut obtenir l'intégrale I,, relative aux atomes d’ordre 4, en remplaçant T par T —4, dans la valeur de I pour les atomes 3, en multipliant par À4e-\“d{,, et en effectuant l'intégrale relative à la variable #,, on aura

— No(t— e-MT) os = 7 e—MsiT—t4) " x [ eee (kr — 3) (Mi — À) e—kiT—1,) e—\iT—4,) > d + © | dt, (A1— 2) (A3 — À) F (A2 — M) (3 — | à

218 A. DEBIERNE.

et = No(t = et )Ao 3 e-xT (es iT — 1) e-h:T (eh OL RES 1) PAT (e-NIT — 1) ] PM he eh ee) EN INT

== Not — et) Ash

e-XsT ÿ Le ROMAEC NUE

e-kT e-kT ] # (Ai—o) (Âs— 2) (y — ho) É (a— 1) (3 — 1)(A4—)

LAURE EN RU TE 2 on on < ee — hs) (Ai hs) (Ai — À5)

I I ji (A2) (sk) (4 — Le) Fe Re ; Le terme en ex peut s’écrire e-MT à (A3— 4) (a — À) (1 — À)

Go) (lo À) (li) — (3) (As 1) (Ai di) + (Ai — À3) (A3 — lo) (A — do) ;