VAE

c, = coefficient de portance; c, = coefficient de résistance; a — angle d’attaque.

Vérifications expérimentales des formules, — Les figures 43 et 44 représentent, d’après les résultats des essais exécutés au laboratoire aérodynamique de Gôttingen, les courbes polaires et la variation du coefficient de portance avec l'incidence pour sept ailes dont les rapports de la pro-

fondeur à l’envergure varient de + à ï.

Les figures 45'et 46 représentent les mêmes éléments pour

l'aile ayant la valeur particulière =: du rapport de Ja profon-

deur à l’envergure déduits, par le calcul, à l’aide des formules de transformation (312) et (332) des résultats des essais des

Fig. 46.

| Ca Fe A6 (em 20 :

+ oh D D) ut mt mms

FO TEA eE

æ Le

(Er ]

Variation .4R coefficient de portance en fonction de l’angle”d’ attaque

pour l'aile > 5 = déduite par le calcul des essais effectués dans les ailes : I I I I I ï FR ÉMO NES INT St c, = coefficient de portance; c, = coefficient de résistance; a — angle d'attaque.

autres ailes, On aperçoit aisément combien toutes les valeurs calculées sont voisines des valeurs déterminées directement pour cette aile par l'expérience. L'aile3 de forme carrée donne la vérification la moins satisfaisante; on peut même s'étonner qu'elle fournisse déjà une telle approxima-

tion car on pourrait à bon droit hésiter à lui appliquer les formules de comparaison qui supposent la profondeur des ailes comparées faible par rapport à leur envergure.

IIT. — Multiplans.

6. Dans la théorie linéaire ou théorie du premier ordre, un multiplan est figuré par un système de lignes portantes ou « système portant », chacune d’entre elles étant liée à une nappe de tourbillons libres qui peut dans certains cas se réduire à deux tourbillons marginaux."

Considérons une ligne portante L le long de laquelle la distribution de la portance (ou de la circulation) suit une loi arbitraire, mais aux extrémités de laquelle la portance (ou la circulation) est nulle. Supposons cette ligne entièrement contenue dans un plan de profil XZ perpendiculaire à la direction de vol et déterminons en un point À la composante æ suivant Z de la vitesse de perturbation provoquée par la ligne L.

Les tourbillons liés de L n’ont pas d'influence sur w, Cette composante est entièrement due aux tourbillons libres

Fig. 47.

de L perpendiculaires, suivant les hypothèses de la théorie, au plan XZ. On a donc

(34) dr nb.

En intégrant par parties et remarquant qu'aux extrémités de la ligne L la circulation Test nulle,

I Ft sin f (35) = nf r + ( 2 }.

d’où (36) w = Tes x, ENA a? ;

7. Résistance d'induction mutuelle de deux lignes portantes situées dans le même plan de profil (1). L'équation (36) permet de calculer cette résistance due pour chacune des ailes à la présence de l’autre.

Soit #1: la composante de la vitesse de perturbation produite par la ligne portante 2 en un point de la ligne portante 1 dans le plan de profil et normalement à cette ligne. Cette vitesse est la cause d’une résistance W;: éprouvée par l'aile 1 à cause du voisinage de l'aile 2 et donnée par l’équa-

tion (5)

(37) Wir e [ri dsiw12;

W: se calcule par la formule (36) où l’on fait B—e—6, etB= 6;, d'où

RÉ T ee (38).7 Mate SON SEss

De la symétrie de cette expression on déduit immédiatement que

(39) Wis= Wo.

Cette relation établie par M. Munk ne suppose pas que les

éléments portants considérés appartiennent pour chaque

RE nee me ER RE RER SE ee 7

(1) Cf. PRANDTL, Tragflügeltheorie. II. Mitteilung, p. 109-115.

catégorie à une aile unique. On peut donc exprimer la loi générale suivante :

« Si l'on décompose arbitrairement un système portant, dont tous les éléments sont contenus dans un même plan de

Fig. 48.

profil (normal à la direction de vol), en deux groupes, la résistance partielle que le groupe 1 éprouve par suite du champ de vitesses du groupe 2 a même valeur que celle éprouvée par le groupe 2 dans le champ de vitesses du groupe I. » à

On peut faire sur Les équations (36) et (38) les remarques suivantes :

1° La résistance d'induction mutuelle de deux ailes placées l’une au-dessous de l’autre est positive, celle de deux ailes placées l’une à côté de l’autre est négative. Dans le premier cas il y a augmentation de la résistance totale par rapport au cas de deux ailes très éloignées, dans le second cas il y a diminution de la même résistance.

20 L'intégrale (38) exprime que la résistance d’induction mutuelle de 2 sur 1 est la somme des effets sur chaque élément. de 1 de toutes les queues de tourbillons libres attachées à chacun des éléments de 2.

3 L’équation (36) est dénuée de sens si l’on fait a — 0 car elle prend la forme indéterminée co — ; les équations (36)

et (30) ne peuvent donc servir au calcul de la vitesse W, due à une aile en un point de celle-ci, ni à celui de là résistance induite de cette aile. Pour effectuer le calcul/de W, on peut avoir recours à la relation (34) où il suffit de prendre la valeur principale de l'intégrale.

Pour lever l’indétermination des formules (36) et (38) pour a — 0, il suffit de supposer deux ailes trés voisines et de prendre la limite de w et de W2 lorsqu'on fait tendre « vers zéro. La relation (39) qui est toujours vraie l’est encore à la limite et l'on en déduit que :

(Dans le cas de deux systèmes portants quelconques dont les dispositions géométriques possèdent une partie en coïncidence dans l’espace, on a encore Wii Was

8. Résistance d'induction mutuelle de deux systèmes portants quelconques." — Soit un élément portant situé dans un plan de profil et ses deux tourbillons marginaux rectilignes perpendiculaires à ce plan. Ces deux tourbillons com posent ce que nous nommerons la queue de tourbillons libres de l’élément, ‘

Prenons pour axe des X et des Y les directions de l’élément ds et de ces tourbillons.

Au point A(x, y, 3), le tourbillon T engendre une vitesse r “singdy. r dy'a IR ( >)

LV A r'2 47 J, r'è 4Ta

dont les composantes sont

aus D2 T'z y ee (a À); P = Oo, CC

Le couple des deux tourbillons T et T’ engendre un champ de vitesses dont les Composantes au point À ont pour valeur

ou Ô M ES et dr; = 0, dmi=— TT ds.

Il faut ajouter la vitesse élémentaire due au tourbillon transversal ds

du = 0, de; =— mare) dw3 = = nue

Au total, le champ de vitesses dû à un élément ds et à sa queue de tourbillons est caractérisé en un point À quelconque par une vitesse de composantes du, de, diw

| F-d. , si ) e .

FAITES 6 RAS sin26 sinasin2$) < 47 a? 27?

F ds cosa cos £ dy =, (40) p = r :

RE a [a P : Per | !

Pour les calculs relatifs à l'angle d'attaque et à la résistance, il est nécessaire de déterminer la composante de cette

vitesse suivant la direction normale à la ligne de vol et à l’élément portant influencé.

Supposons que cet élément 1, également situé dans un plan de profil, soit incliné d’un angle & sur la direction des X, on a

dwn = dw cose + dusine,

(41) dm = |) Cr grec potes)

La résistance éprouvée par l'élément 1 à cause du champ de vitesses de l'élément 2 a pour valeur d? Wo —= er; ds dw»

ou, en remplaçant (6 — €) par B, et G par B;,

eT: ds: To ds) ÂT

X Le + sin«)

(42) ŒWi =

cos(Bi+ 82) sinæ cos; —| nue tue pps a? 7

La résistance éprouvée par l'élément 2 à cause du champ de vitesses de l’élément 1 s'obtient en remplaçant dans la

formule précédente «, 6, et 6, para— 7, B,+retB;+r. On a donc

Me eT» d$s:T; ds;

(424) Wa re | X La — sin) AS ses Pi) __ Sinx ee cos a

On ne peut avoir égalité de ces résistances d’induction mutuelle des éléments 1 et 2 que si & — 0, c'est-à-dire si les

deux éléments sont dans le même plan de profil, On retrouve dans ce cas l’élément de l'intégrale (38)

AW — BW — PT lo dsi ds: cos(B, + Bo) ATa?

Dans le cas général, la somme d'W,,+ d?W,, est indépendante de &. En intégrant pour deux groupes d’éléments portants on obtient la somme des résistances d’induction mutuelle

(3) Wa+Waz £ [ [id eonhE Re), : 27 /, a?

Cetie somme est indépendante du décalage des deux groupes d’éléments portants, décalage évalué suivant la direction de vol. Comme les résistances induites propres à chaque aile sont aussi indépendantes de cette grandeur, on peut énoncer la proposition suivante due à M. Munk :

« La résistance totale d'un système portant quelconque demeure invariable si l’on déplace les uns par rapport aux autres et suivant la direction de vol les éléments portants sans modifier leurs portances. »

Cette condition signifie qu’en modifiant le décalage longitudinal d’un élément, il faut modifier son angle d'attaque pour que l’allération de la composante w, de la vitesse de perturbation normale à l’élément qu’entraîne le déplacement de ce dernier ramène à sa valeur primitive l’angle d’attaque efficace x’ de l’élément et par suite maintienne sa portance invariable.

La raison fondamentale de l'indépendance de la résistance induite totale et du décalage longitudinal est que le travail de cette résistance, égal à l'énergie cinétique des tourbillons libres, est indépendant du décalage longitudinal de ces tourbillons parallèles à la direction de volet ne dépend que dela distribution de leur champ dans un plan de profil.

Les règles précédentes de calcul des résistances d’induction mutuelle s'appliquent aussi à des ailes en flèche ou obliques par rapport à la direction de vol : il suffit à cet effet de les considérer comme formées d'éléments décalés « en escalier ».

Des difficultés particulières interviennent dans le calcul des résistances induites propres pour des ailes de cette sorte et rendent nécessaire d’envisager, pour mener à bonne fin ce calcul, la répartition des forces de portance non seulement suivant l’envergure de l’aile, mais encore dans chacune de ses sections suivant la profondeur.

Si l’on suppose connue la distribution de la portance : suivant l’envergure, pour chacune des ailes d’un système portant, l’application des équations (5) et (43) conduit pour l’expression de la résistance induite totale à une forme quadratique définie des portances totales des différentes ailes A;, A:, ..., A,. Lorsque l’on a déterminé les coefficients de cette forme, il est facile de résoudre le problème de la répartition (A;, À:, ..., A,) d’une portance totale donnée XA entre les ailes d'u un système portant qui correspond au minimum de la résistance totale.

Les formules et les coefficients de Prandtl présentés cidessous se rapportent à un système portant composé de € monoplans droits » ayant un même plan de symétrie passant par la direction de vol et dont la distribution de portance individuelle est elliptique,

Dans ces conditions, la résistance d’induction mutuelle de deux ailes d'envergure b, et b,, écartées de À suivant la normale à la direction de vol, a pour expression

(44) Wioz Wa ——°;

Fe et b= Fe Le calcul numé-

rique donne pour o les Pr tes :

où sg est une fonction de

TABLEAU I. — Valeurs de so.

Pour le cas particulier important b, = b, on peut prendre

/ pour s la formule approchée

Ainsi pour un biplan d'envergure b, et b, (b,< b,) et hauteur h la résistance induite totale est

: - EÆ se mL: 112 (46) w = (si+ Tan É 43).

Cette résistance totale passe par un minimum pour un rapport des portances À,, À, tel que

CN CESR RE Z

+ Es t = et la valeur de ce minimnm est

(47) Wssis =

Dans cette formule, le premier facteur représente la résistance induite d’un monoplan d'envergure b, ei de portance totale À, + À, et le second facteur est un coefficient toujours inférieur à 1 car, h étant positif, s est toujours inférieur à p.

Si l’on fait en outre varier l’envergure b,, b, restant constant, le minimum minimorum de Ja résistance a lieu pour

ba=b,, A3 A1; le deuxième facteur de l'équation (47) se réduit alors à

Comparaison de deux systèmes portants. — Faisons correspondre à un système portant quelconque un monoplan équivalent, c’est-à-dire ayant une envergure égale à celle de l'une des surfaces du système et une portance égale à la portance totale de ce dernier. Désignons par 7 le rapport de la résistance induite totale du système à celle de son monoplan équivalent,

L'utilisation des coefficients 7 permet de comparer entre

eux deux biplans en comparant leurs monoplans équivalents suivant la méthode exposée au paragraphe 4. En faisant les mêmes hypothèses que dans ce cas et en supposant par conséquent deux biplans ayant même coefficient de portance c,,, en désignant par c,, et c.. leurs coefficients de résistance Lotale, on a

(48) Cw, —= Ci, —=

Cette formule suppose que le coefficient c,. de la résistance de profil a même valeur pour les biplans et les monoplans équivalents.

9. Détermination de la forme d'une aile de multiplan. — On suppose que la distribution de la portance sur cette aile est connue. Pour une aile isolée (monoplan) cette détermination fait l’objet du premier problème envisagé plus haut.

Dans le cas du multiplan, le voisinage d’autres ailes introduit une influence nouvelle. Cette influence est sensible pour les valeurs usuelles du rapport de la distance de deux ailes à leur profondeur.

Une aile de multiplan se trouve soumise à un courant qui, en son absence, au lieu d’être régulier et uniforme, serait incurvé par suite de la perturbation apportée dans ce courant par les autres ailes, C’est l'influence de cette « courbure » du courant en l’absence de l'aile considérée qu'il s'agit d'exprimer.

Par application du principe de superposition valable dans le domaine de la « théorie du premier ordre » on peut poser en principe que les actions de l’air sur une aile placée dans un Courant incurvé sont identiques à celles d’un courant rectiligne sur une aile dont le profil s'obtiendrait en redressant simultanément celui de la première aile et le courant incurvé, Il n’y a à évaluer l'influence de cette courbure du courant, sur une aile à profil donné, qu’au point de vue de la modification qu’en éprouve sa porlance par rapport à celle du même profil dans le courant rectiigne. Cette modification est du premier ordre. On néglige celle qui en résulte pour la résistance et qui est du second ordre.

En première approximation, la courbure des lignes de

courant peut se calculer sur l’emplacement de l'axe transversal de l’aile (nous nommerons ainsi le lieu des centres de gravité des sections de l'aile) en supposant les autres ailes remplacées par des lignes portantes.

En un point À où la composante de la vitesse perpendiculaire à cet axe et à la direction de vol et provoquée par les autres ailes est w,, la courbure de la ligne de courant passant par ce point est sensiblement

I 1 0 (49) Fer D.

C'est sur cette approximation que sont basés les calculs des biplans de M. Betz. On étudie actuellement au Jaboratoire de Gôttingen la recherche d’une solution plus précise de ce problème en tenant compte d'une part de la distribution de la portance suivant la profondeur pour les ailes influençantes et d'autre part de la variation de la courbure des lignes de courant sur tout l'emplacement occupé par l’aile influencée.