IV. — Systèmes portants de moindre résistance
10. Nous supposerons que le système portant est sans décalage puisque la valeur de celui-ci suivant la direction de ‘vol n’a aucune influence sur la valeur de la résistance induite totale.
Le système se trouve alors représenté schématiquement par un système de lignes portantes disposées dans un plan de profil.
Supposons que l’on modifie la distribution de la portance de ce système, la configuration géométrique, la vitesse et la portance totale du système restant inaltérées. Nous pouvons partager les éléments du système modifié en deux groupes :
jo Eléments du système primitif;
2° Éléments qui, superposés aux précédents, donnent le système modifié. Ce groupe constitue ce que nous appellerons les éléments de la variation du système.
En vertu de la relation générale établie précédemment, les
résistances réciproques d'induction mutuelle de ces deux groupes sont égales
On à remarqué en effet que cette relation de réciprocité était applicable même si des éléments de l’un des groupes se trouvaient superposés dans l’espace à des éléments de l’autre groupe, ce qui se trouve réalisé ici.
Soit un élément de variation ds sur lequel s'exerce dans le Système modifié une force 9N normale à la direction de ds ;, soit #, la vitesse de perturbation, normale dans le plan du système à cette même direction, qu’engendre le système primitif en un point de cet élément; la force ON donne lieu à une résistance supplémentaire W;1 induite sur l'élément par le système primitif
(50) 4 x Wai= ONE.
La variation totale de Ja résistance induite du système est double de cette valeur en raison de la loi de réciprocité (39).
11. Relation Caractéristique du système de moindre résistance (1), — Soient deux éléments de variation ds, ds; Situés dans le plan de profil du Système, inclinés de ES ete, sur l’axe des X situé dans ce plan, supportant des efforts normaux ON,, ON, (d’ailleurs non situés en général dans le plan du système puisqu'ils possèdent une Composante normale à ce plan qui donne lieu à une variation de la résislance du système) et tels que la variation de portance du système provoquée par leur adjonction soit nulle
(51) ÔN; cos ei + ON, coses — o.
Le système étant supposé à résistance minimum, la variation première de celle-ci est nulle
(52) ÔNin, + ON (y, — 0!
Ces deux relations entraînent immédiatement
. e œ 19 (53) CIRE Wo.
COSe; COS €»
(1) Cf. Pranorz, OP. Cit., p. 116.
>. £ LES PROBLÈMES DE LA THÉOBIE LISÉAIBE. 49 4
8 Von désigne d'une facon générale par : l'inclinaison sur
Vaxe des X d'un élément du système de moindre résistance (4 configuration géométrique, vitesse V et portance totale données), par w, la composante normale, dans le plan du systéme, à cet élément de la vitesse de perturbation engendrée par tous les autres éléments du système à V’endroit où se trouve l'élément considéré, la vitesse w, et l'angle £ sont liés par la relation ;
(543 Wn= Wy C0$4.
Si tous les éléments portants sont paralléles, cosz — 1 et
135) x Pa = Wa Const,
La vitesse w, à même valeur pour tous les points de espace où il y à portance,
42 Nappe cylindrique de tourbillons libres. — Contipuant à se donner la configuration géométrique d’un système portant, la vitesse V, la portance totale, on cherche la distributios de la portance qui correspond à un minimum de la résistance induite totale,
Es us point du plan de profil du système, la vitesse de perturbation due au filet de tourbillons libres émanant d’un élément du systéme est égale à la moitié de la vitesse que produisait au méme point un filet d’égele intensité ayant méme 21e, mais indéfini dans les deux sens, Pour un sys- 1ème portant sans décalage longitudinal on peut donc dire que le champ des vitesses u et w concorde dans le plan de profil du système, à un facteur 2 prés, avec celui des vitesses qu'engendreraient dans ce plan les mêmes tourbillons libres prolongés jusqu’à l'infini en amont du système, En raison de l'absence de décalage, les tourbillons liés n’ont aucune influence sur les champs des w et dans le plan de profii du systéme.
La détermination de ce champ se trouve donc ramenée, à un facteur 2 prés, à la détermination du champ de vitesse dû à une nappe cylindrique de tourbillons libres dont les tourbillons forment les génératrices rectilignes et le contour du système portant la directrice. Ce problème est un problème plan. La condition (54) exprime la condition aux limites
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