VII. — Application de la théorie aux hélices

2h. Théorème sur l'énergie perdue dans la propulsion. — La conception de l’élément portant dans un courant libre rectiligne peut être étendue au cas d’un courant hélicoïdal.

Pour un élément de pale d’hélice, en admettant toujours l'existence d’un potentiel polytrope et de tourbillons libres étendus jusqu’à l'infini aval, la réaction de l'air est perpendiculaire à l'élément et à la vitesse c du courant libre, c’està-dire à la vitesse relative de l'élément en mouvement hélicoïdal dans l'air en repos et sa valeur, par unité de longueur

suivant l’envergure de la pale, est

Te.

Par unité de longueur, les tourbillons qui se détachent de

la pale ont une intensité ax

La théorie linéaire de l'hélice est basée sur les approxi-

mations suivantes : On suppose; d’une part, que les réactions de l’air sont extrêmement petites, ainsi que les vitesses de perturbation, et, d’autre part, que les vitesses propres des tourbillons libres étant d’un ordre supérieur peuvent

être négligées.

Les tourbillons libres s'enroulent, par suite, en hélice, sur dés cylindres ayant même axe que le propulseur et la nappe de tourbillons dont on néglige la déformation à la forme d’un hélicoïde.

Cette configuration du champ des tourbillons libres rend évidemment plus difficile la détermination du champ des vitesses de perturbation. M. Betz à néanmoins établi, par des considérations analogues à celles présentées par M. Munk pour les systèmes porlants, une série de théorèmes généraux pour l’hélice,

(HLCF Report, n° M6, oféhe N. Adv, Com. f. Aeron, p:,55.

Caractérisons une hélice par la différence entre l'énergie fournie et celle utilisée, c’est-à-dire par l'énergie perdue dans la propulsion. Cette perte correspond à l'énergie cinétique cédée au fluide et due au système des tourbillons engendrés par le propulseur. F

On peut énoncer les théorèmes suivants :

1. Si deux éléments d’une pale sont situés sur Le même rayon à des distances x et £ de l'axe, l'énergie perdue au point £ due à la vitesse de perturbation engendrée en ce point par l'élément situé en x est égale à l'énergie perdue au point & par suite de la vitesse de perturbation engendrée en ce point par l’élément situé en E.

IT. Si deux éléments sont situés en x et Ë sur deux rayons différents, l'énergie perdue au point £ par suite de la vitesse de perturbation engendrée en ce point par l’élément situé en x est égale à l'énergie qui serait perdue en x si le tourbillon hélicoïdal qui émane du point E était indéfini dans le sens amont au lieu de l'être vers l’aval, le sens de rotation du tourbillon transversal élémentaire étant supposé renversé.

UT. L'énergie totale Perdue par suite de l'influence mutuelle de deux éléments de Pale situës à des distances x et & de l'axe est égale à l'énergie qui serait perdue en l’un des points si le tourbillon émanant de l'autre était tndéfini, à la fois vers l’amont et vers l’aval.

Ce dernier théorème conduit à une extension du théorème de la non-influence du décalage longitudinal sur la résistance

induite totale d’un Système portant. En effet, d'une part, le tourbillon transversal élémentaire disparaît dans l'évaluation de la résistance totale d’induction mutuelle de deux éléments de pale puisque, dans l'extension du tourbillon hélicoïdal, le : tourbillon transversal, complété par un tourbillon identique mais opposé, se trouve annulé, et, d'autre part, l'élément de pale peut être déplacé et amené en un point quelconque de son tourbillon hélicoïdal. On sait, d’ailleurs, que la perte totale d'énergie est équivalente à l'énergie cinétique du

système des tourbillons libres et que celle-ci ne dépend que

de la distribution finale de ce système et non des points de l'espace où prennent naissance les tourbillons libres sur les trajectoires hélicoïdales des éléments de pales. Remarquons que, pour les systèmes portants, on peut énoncer une règle analogue pour la détermination de la résistance totale d'induction mutuelle de deux éléments. Puisque celle-ci est indépendante du décalage longitudinal, on peut rejeter à l'infini amont l’un des éléments : l’auire n’a alors aucune influence sur lui, puisque le champ d’un élément s’évanouit à l'infini dans le sens amont et la résistance cherchée se déduit de l'influence du tourbillon libre infini daus les deux sens sur l'élément maintenu en place.

IV. Le champ des vitesses de perturbation caractérisant un propulseur à perte d'énergie minima est celui que l’on

dP, ds

obtient en communiquant dans le fluide sans viscostié et en repos une vitesse donnée dirigée vers l'aval à la surface hélicoïdale décrite par le propulseur et supposée solidifiée.

La variation de potentiel à la traversée de celle surface est égale à la circulation T autour de l'élément de pale correspondant.

On peut démontrer ce théorème d’une façon simple.

Soient w la vitesse angulaire, » la vitesse de translation du propulseur. En l'absence de tourbillons libres, la réaction de l’air serait une force 4P normale à la vilesse relative c de l'élément par rapport à l’air en repos et donnée par la loi de Kutta-Joukowski,

(108) dP=pTe dx.

La composante de dP suivant l'axe du propulseur est

(109) dS = dP cose = pT rw dx.

S'il y a » pales, la traction exercée par l’hélice est

(110) Si — es [re dx.

Le couple résistant dû à l'élément de pale considéré est

(111) & dT = x dP sine = pl ox dx, et l’on à (112) dSv = wzx dT.

L'énergie utilisée est alors égale à l'énergie fournie pour vaincre le couple résistant. Le rendement du propulseur est égal à l'unité. L'hypothèse que la force dP est perpendiculaire à la vitesse » de l'élément conduit donc à la théorie du propulseur parfait.

En fait, un propulseur comme une aile d'envergure finie où de profil variable donne naissance à une nappe de tourbillons libres. L'énergie perdue par suite de ce mouvement tourbillonnaire est égale au travail de la composante dQ opposée à la vitesse c de la réaction du fluide sur l'aile modifiée par la présence des tourbillons libres et dépend de à Composante w de la vitesse de perturbation perpendiculaire à la direction de la vitesse ç. Cétte résistance élémen-

taire a pour valeur

(113) dQ = dP = = pl w de.

L'énergie perdue par unité de temps et par élément de pale est, par suite,

(114) , dOc= pot dx wc=— dPw.

La perte Lotale d'énergie a pour valeur

n 2 (115) L=pr f pie 0 Sin €

Supposons que cette quantité soit minimum. Modifions de OT, et OF, la cireulation autour de deux éléments de pale dx, et dx, situés en x, et æ,. La force totale de traction étant supposée invariable dans cette modification, sa variation est nulle :

GEL )d » DT da das + To Do dTa = 0.

La perte d'énergie entraînée par la même modification est,

par hypothèse, nulle, puisqu'elle représente la variation de la perte totale autour de son minimum. On a donc

(117) Ôl'; ss dx; + ÔT2

— dY3 = 0, Sin €1 Sin £2

, et w, étant les vitesses de perturbation normales à la trajectoire des éléments de pale engendrées par les tourbillons du propulseur initial, conformément au théorème III, Les deux dernières relations donnent

œ 4) (118) Lu = ——— = const.

Ti SIN Es Ta SIN €2

La composante w, de la vitesse d’une particule fluide suivant la normale à une surface hélicoïdale rigide déplacée dans le fluide avec une vitesse w’ vers l’aval est liée à cette vitesse par la relation

Wy = W!COSE.

Si À désigne le pas de la trajectoire de l'élément x, on a

h = 27% tange

et l’expression de WA peut s'écrire 2Tw'æsine h ?

Ce qui permet de mettre la relation Caractéristique d’un pro-

pulseur à perte d'énergie minima Pour une traction et un Mouvement du propulseur donnés sous la forme

Mn =

(t19) Re = const.,

#1 désignant la vitesse du fluide suivant la normale à la surface hélicoïdale décrite par les pales du propulseur, que l’on

Fig. 59.

w Wn WW”

Suppose rigide et déplacée vers l'aval avec une vitesse

É OO k RE Const.

27 æsine 27