AL

représente un point, il faut d’abord que y” soil une constante. Et comme on a {(o)=0 et f(o) =0 d’après la figure 12, tous les termes du développement de MACLAURIN de la fonction f (x) seront nuls, sauf celui de x?. Effectivement, en posant y—=f(x)—41, on a:

AR ME | TPE ed X= 0

ame | Se

résultat indépendant du signe de x; il subsistera done sans changement pour une courbe OT’ qui tournerail sa concavilé vers le bas.

Bref, le fait que léclat apparent de la crête dépasse celui de la cuvette, s'explique :

1° par le rôle de l’étendue finie de la source;

2° par le fait que les cuvettes ont un profil plus voisin d’une parabole que les profils d’une crête.

7. L’étendue finie de la source a encore d’autres conséquences dont l’imporlance ne doil pas nous échapper. Nous avons vu que la précision de la

détermination des centres giraloires est liée à l'excellente définition des images pholographiées. Or, considérons une source circulaire d’étendue finie, dont l'image dans le plan de l'écran est un cercle de centre C et de rayon a —CP (fig. 9); si je désigne, comme tout à l'heure, par F, la distance focale de la lenülle inférieure, par F, celle de la lentille supérieure et par b le rayon de la source, on a de toute évidence :

On) FE.

Supposons d'autre part une sur-occullation nulle, c’est-à-dire telle que le cercle de centre C soit tangent exlérieurement à RS, lorsque la surface du liquide est plane; on a vu que la lumière apparaît derrière l'écran pour tous points compris entre MN, S'T’, elc., conformément à l'orientation et à l’ouyerture de l'écran de Foucault. Mais celte apparition de la lumière n’est pas brusque. Plus le rayon a est grand, plus on aura une zone étendue de transition autour des points M, N°, S’, T’, pour lesquels LC <a ou CK <a; la quantité de lumière reçue est en effet proportionnelle à l’air (ALBP), divisée par l'aire totale du cercle ra, de sorte qu'en réalité on n'aura que des images à bords estompés, dont la définition ne pourra plus être rigoureuse. Celte remarque est d'autant plus importante qu'il faut bien examiner si les dimensions adoptées pour F,, F, et b, lors de la construction d’un appareil, répondent bien à notre demande de précision, pour ne pas être victime d’une illusion, d'avoir une grande précision par suite de la seule possibilité d’une occultation très nette, mais qui n'entraîne nullement à elle seule une précision même médiocre de la définition des images.

Reprenons la relation qui lie la déviation de la lumière en P, en fonction de l’inclinaison locale w de la surface. Si je désigne par e—OC, la déviation linéaire de l’image de la source dans le plan de l’écran, on a:

5 = A, Je

La zone de transition dont je viens de parler, correspondra donc à une déviation linéaire totale [e]— 2a, ce qui donne :

et:

[w| = 3 [A rs

F; En se rappelant qu’on à a—b F, > Nous trouvons :

6 b [wo] — 17?

Da Fe :

or, — n'est autre chose que la moitié de « l'ouverture relative » de la source 2b

FE par rapport à F;, que je désignerai par 9, de sorte qu'on aura finalement :

[w] = à OX

En somme, a déjinition des images ne dépend que de l’ouverlure relative de la source; plus celle-ci est grande, plus la définition ou acuilé des images,

que je caractériserai par la valeur de PE sera meilleure. Il est aussi important

1 ; : Le de remarquer que Lo] ne dépend pas de F,. Par conséquent, deux appareils [0]

dont la source a une même ouverture relative @, donnent théoriquement la même définition des images. Pratiquement la distance focale F, intervient par la nécessité de reculer l’appareil de photo au delà d’une certaine distance, qui ne pourra pas aller sans inconvénients, à cause de la petitesse des images photographiques, dont la restitution éventuelle par agrandissement pourra être limitée, par suite de la finesse insuffisante de l’émulsion de la couche sensible.

La luminosité x de l'appareil dépend d’abord de l'éclat des images à photographier, qui n’est fonction à égale aberration sphérique de la surface libre, que de la quantité à et par conséquent de Q. Elle lui est directement proportionnelle, comme ceci résulte du raisonnement fait page 25. D'autre part, les lois de la photométrie nous apprennent que l'éclat avec lequel la surface

Fee libre est restituée sur la plaque photographique est (= fois=Féclatedenta

surface libre, où f est la distance focale de l’appareil de photo. Chose importante, cet éclat ne dépend pas de l'ouverture de l'objectif photographique; celui-ci n'intervient que comme un écran et encore à condition que son ouverture soil inférieure à celle de l’écran de Foucault.

Par conséquent, on peut écrire :

: Fa \?

À = const x< Q Fat

Enfin, on peut définir la sensibilité s de l’appareil comme la limite de la dérivée de u—(ALBP) par rapport à e, pour s=—0 :

re G — de HAE

Ceci dépend exclusivement de la forme de la fenêtre et on conçoit facilement que si l’on s’affranchit de la restriction d'imposer à celle-ci une forme particulière, telle par exemple que l’un de ses côtés (RS) soit rectiligne, on peut donner à s des valeurs supérieures à celle qui correspond à la fenêtre particulière de la figure 9.

Un accroissement éventuel de 5 serait important pour l'observation des tourbillons très amortis, à l’emplacement desquels la surface du liquide est presque plane. Bien entendu, il ne faut pas surestimer l'importance du rôle de s quand on se décide à une modification de l’écran, si on n'a pas d’autres arguments à l'appui d’une telle décision.

8. Je rappelle que l'avantage de la méthode optique par rapport aux autres, comme celle de la poudre de lycopode, est la possibilité qu’elle nous offre, de déterminer les centres giratoires des tourbillons avec beaucoup de précision. Je rappelle également que les mesures effectuées par H. BÉNARD avaient comme

m Gt)

point de départ l’hypothèse que ce centre se trouvait exactement au milieu de Ja corde rectiligne des images; hypothèse tout à fait vraisemblable, mais cependant pas d’une certitude absolue, si on tient compte de ce que les tourbillons n'engendrent pas des cuvettes de révolution et que ces cuveltes changent aussi leur forme, quand les tourbillons s’amortissent. Je me suis alors posé la question S'il n'y avait pas un moyen simple de combler cette lacune. Comme je ne pouvais pas toucher aux organes essentiels de l'appareil (Chap. IT) dont la construction était déjà achevée quand je suis venu au Laboratoire, je ne pouvais penser qu'à la modification éventuelle de l'écran d’occultation. En choisissant pour ce dernier celui représenté par les figures 13 et 14, je n'ai

Fig. 13

pas laissé de côté d’autres préoccupations, telles que la sensibilité de l'appareil ou sa luminosité : cette dernière avait d’ailleurs une importance considérable, à cause de la petitesse des images photographiées et la nécessité que j'éprouvais alors d'employer des films à grain très fin et par conséquent peu sensibles; mais le problème de la détermination du centre giratoire passait en premier lieu.

L'écran dont je viens de parler, résout ce problème d’une façon très simple. Celui-ci se compose d’une pastille opaque circulaire R, de centre O, ayant sensiblement la grandeur de l’image de la source, c’est-à-dire de rayon a, ou dépassant cette valeur très légèrement. L’occultation est atteinte, lorsque Pimage de la source tombe exactement sur la surface de la pastille R. On voit qu'un tel écran équivaut à une occullation sans azimut particulier, puisqu'il est conçu pour laisser passer les rayons, déviés dans n'importe quel sens. Cette pastille arrêtera exclusivement les rayons non déviés et donnera par conséquent le point précis du centre des tourbillons et éventuellement d’autres encore sur la crête entre deux tourbillons, mais qui ne lui sont pas contigus. Employant encore le langage de la page 24, je peux dire que la méthode de H. BÉNARD est identique à celle des ombres, à ceci près que les images sont coupées en en deux, suivant une coupure recliligne; landis que la méthode actuelle réalise une coupure circulaire, effectuée exactement autour du centre giraloire des tourbillons.

de) en

Comme il s’agit de la détermination de ce centre giratoire exclusivement, il m'a paru inutile de conserver pour la fenêtre une grandeur exagérée par rapport à a, et surtout de lui donner une forme qui serait quelconque. La fenêtre du nouvel écran a la forme d’un anneau de cercle, de rayon «a et 34 sensiblement, sa largeur est done 2 a; celle limite imposée à l'ouverture, diminue l'étendue des images photographiées de chaque tourbillon, dont une valeur exagérée n'aurait eu aucune utilité pour le but particulier de la méthode optique. Notons encore que l'effet Foucault complémentaire caractéristique à R’, nous donne les points d’égales pentes de la surface libre; un calcul facile nous montre que nous avons :

» 124 OR! — He

( Dr =—(Ù:

En plus de la facilité avec laquelle on interprète les images photo-

graphiées, cette occultation conduit à une définition des images pratiquement meilleure et à une sensibilité accrue.

Pour le montrer, considérons l’image de la source de centre C, déviée de e— OC par rapport à O et voyons quelle est la quantité de lumière transmise par la fenêtre. Celle-ci étant évidemment proportionnelle à l'aire (APBQ) (fig. 13 et 14), son évaluation en fonction de e est immédiate. Deux cas sont à distinguer :

1° 0e = 2'a (fig. 13).

Introduisons l’angle «— AOB, nous avons successivement :

a? © (ONDES a? sin «

d’où :

(AMBP) =< (x — sin a) él'enfin :

u = (APBQ) = à? (x — x + sin à), expression, dans laquelle il faut faire varier & de 1800 à Ov; 2 2a<:<4a (fig. 14).

Définissons d’abord deux paramètres :

j'aurai successivement :

& = OC — OM — CM = 3 a cos + 9 a ; (AMBP) — or (z — sin c), a?

(ANBM) = <- (4

sin v),

(ANBP) = (4 — sin 4) — © (a — sin a)

{aPBQ) >

NE ) T'en

(0) DOROMNSMNP0 M 25030 SE 20045

Fig. 15

d’où finalement :

1 —(APBQ)— a" [= Rs. (eg — sin ç) + . (x — sin »| $

PE SIDE, 0 Sins 2 2

La courbe (fig. 15) nous fait voir, à l’échelle exacte, la variation de (APBQ)/æ en fonction de l’inclinaison w de la surface libre, exprimée en

minutes.

Examinons d'autre part la quantité de lumière transmise par les fenêtres

rectilignes S —O ou O —T (fig. 16) de largeur 2a chacune, très souvent la fenêtre S —O, à gauche du trait mixte.

« entre les valeurs,

dont j'ai supprimé

Appelant encore :—OC la déviation de l’image de la source à partir de s—0, on a pour 0Z:2=24":

u = (AMBN) = $-(2 5 — + sin &),

« variant entre 360° el O0; avec une allure symétrique à celle-ci pour 2020244;

La variation de u—(AMBN)/æ en fonction de w (exprimé en minules, comme tout à l'heure) est donnée par la courbe (fig. 17).

Fig. 16

La comparaison de ces deux courbes nous montre qu'elles ont une allure à peu près identique, sauf à l’origine. Pour loccultation circulaire en effet, la tangente a une valeur finie, tandis qu'elle est nulle pour loccultation rectiligne. Par conséquent la sensibilité qui est théoriquement nulle dans le second cas, devient appréciable dans le premier. D'une façon explicite, on a pour l’occultalion circulaire :

œ El — 2 UICOS 2 de # œ — — a Sin — de 2 du œ 9 9 Le 9 — —= (— 1 Cos à) = — 2 a Sin? — ce qui me donne :

du du de 9 En 1e:

=: ——=2asin —.

de dx ‘ dx 2

Pour avoir la limite de cette expression pour s—0, il faut prendre a == 1800, ce qui permet d'écrire :

Fa,” Pie

On trouve de même pour une occultalion rectiligne :

de Gus € Te DS, du a? œ EU —— . \ — D or RS (— 1 + cos &) — — a? SIN? =