EXCÈS

de la distance

donnée par

le monument.

; ao

U£ DENDEKAU. 4>

que l'on trouvera textuellement rapportées à la fin de ce Mémoire , j'ai obtenu les résultats contenus dans le tableau ci-joint.

Les différences que nous trouvons ici , entn? les six distances calculées d'après le monument , et les six distances calculées d'après les positions astronomiques, sont du même ordre que celles que M. Dekonbre a trouvées en calculant les observations d'Hipparque, rapportées dans son commentaire sur Aratus. Quant aux erreurs d'Aratus même , elles sont beaucoup plus considérables. Ce seul rapprochement devrait su£Brepour faire excuser de pareils écarts , comme tombant dans les limites d'incertitudes auxquelles les observations étaient sujettes dans ces temps reculés; incertitudes qui s'aggrandissent encore pour nous par l'effet accumulé des mouvemens propres que nous sommes obligés de négliger , quoiqu'ils puissent certainement devenir fort sensibles à de si longs intervalles. Mais , combien cette excuse ne paraitra-t-elle pas plus légitime encore, si Ton considère que les observations d'Hipparque et les résultats rapportés par Aratus , nous sont parvenus écrits , et par conséquent , avec les seules erreurs qui leur étaient inhérentes ; ia lieu que les observations retracées par notre monument ne se présentent à nous que sous une forme graphique, par conséquent, affectées des erreurs inévitables que l'on a dû commettre en les sculptant sur la pierre , erreurs auxquelles il faut ajou-

.\l « SUR LE ZOINAQtJC CIRCLLiLlHE

ter celles ded mesures par les<)iieUes j'ai essayé de les en déduire pour les rendfe à leur primilive abstraction. Car, bien que j'aie apporté k lies mesures tout lé soin dont je suis capable , et cjue chacune d'elles ait été prise et répétée plusieurs £cMS btmit d*étr« soumise à aucun calcul , cependant eilcB n'en ofil pas moins été obtenue patr de simples opération gMphiqdes , fAUÂ ati coït* deau,iiir des figuit» sculptées dam un grès tétidlre^ et dont les anâlés et lés bohh rOttgés ptf le temps ont nécf^Mdrèitlent perdu de Itmr Tivabitë. Qr ^ si l'on TèUt bien aVoit égard k fontes t9e^ cîroonstânces ^ loin d*étre bleèsé des erteurs c}Ue présentait les ares sphéliqiies dé disiailoe déduits de notre monument) on sera péut'-étft tarpris autant rpe je l'ai été moi *• même de les tNmtêa^ si exacts ; car j'avoùerai avec sincérité que je ne m'y attendais point; et je n'aurais jamais osé les présenter ûomme tels aVec assurance, si, ainsi que' je l'ai dit , toutes mes mesures n'éustent été prises et arrêtées définitivement avant d^avoii^ étrf essayées par aucun caletil.

Pour fixer avec préciâiob le d^ré de confiance que doivent inspirer les inductions critiqués qui nous ont conduit définitivement à lin accord pareil , calculons la probabilité qu'il y aurait eu de l'obtenir par le seul hasard. A cet elFet, rappelons les transformations que nous faisons subir A\ï% mesurai immédiates pour les réduire en distances célestes. Nous prenons d'abord sur le monument

D£ DEErOKRAU. 43

l'angle compris entre les dtan myons menés du centre ftilx deux étoiles supposées ; et nous consi<d^ons Cet angle cotnme Tangle dièdre compris sur là sphère céleste entre les pkuis des gnitids oerâleé menés psr ehàque étoile , et par le pMe itieonnu de projeetiôtiw Puis ^ nous mesurons sur le menumeiit les distances rtctilignes des mêmes étoiles à ee pAle; et^ prenant le rayon du médaiU loà <{ni est de 774 milllmètMs ^ pour le développe^ ment d'une demi^rcôiiférenee ou de 180^ juste « nous totiirertiSMtis proportionneUemMt nos délit rayons reetiligiiés en arcs sphériques de distance polaire^ Gonaéquemment , quelle que soit la posî^n donnée eut le monument aui aatérismes

que tious èonsidéfons, par cela seul qu'ils se trouvent compris dan» le médaillon droulaîre, lent transport lur la sphère céleste est toujours possible ; mais ils peuvent s'y trouver j et ib s'y trouveront en^^et à toutes les distances posÂbles lés uns des autres , puisque la sphère est comfriétemettt recouterte par le dessin du monument ainsi transformé. MuintéttAnt, imaginons que, sétis connaître ce que signifie un pareil dessin , Sans uvoir deviné le secret de tes parties, on y désigne à volonté , Sur le monument , deut points qtte l'on supposera , si l'cm veut , être deux étoiles ; et , concevons que les ayant ainsi choisie arbitrairement on se hasarde à prédire qu'après leur transport géométrique sur la sphère , ils se trouveront à une certaine disbince l'im de i'eutre dans une li-

.|/| SLR LE ZODIAQL£ CIKCL'LAIRE

mile d'erreur assignée, qui sera de deux degrés , par exemple : quelle probabilité y a-t-il que cette prédiction se réalisera? Pour le savoir , prenez à volonté un point quelconque de la sphère pour représenter la place de Tune des deux étoiles, après qu'elle y aura été transportée par le calcul ; puis , autour de ce point , à une distance sphérique égale à la distance sphérique assignée , qui sera ici la vraie distance céleste des deux étoiles , décrivez une circonférence de cercle : ce serait le lieu géométrique où devrait tomber la seconde étoile , si la prédiction devait être rigidement vérifiée ; mais, pui^ue l'on y tolère une erreur de deux degrés , en plus ou en moins , sur la distance , décrivez sur la sphère , autour de la première étoile, deux autres cercles, dont les distances sphériques soient, pour Tun , la vraie distance plus deux degrés ; pour l'autre, la vraie distance moins deux degrés. La zone sphérique interceptée entre ces deux cercles comprendra tous les points de la sphère où la distance des deux étoiles tirée du monument peut aller aboutir pour différer de la vraie distance céleste dans tes limites de deux degrés d'erreur en plus ou en moins. Conséquemment , si la seconde étoile a été choisie au hasard autour de la première sur le dessin plan , ce qui est la même chose que si on la jettait au hasard autour de la première sur JH sphère , le nombre des chances qui pourront la faire tomber dans cette zone d'erreur sera , au

I)K DKNDERAII. /|J

nombre total dos chances possibles, comme la snrfaco' sphériquc de la zone est à la surface entière de la sphère. Le rapport de ces deux quantités exprimera donc la probabilité que la seconde étoile 9 projetée ainsi au hasard , tombera dans les limites de distance supposées. Or, ce rapport se trouve égal au produit du sinus de la vraie distance par le sinus de l'écart que Ton suppose possible. Telle est donc l'expression très-simple de la probabilité dont il s'agit

J*en ai fait l'application aux six distances rap* pt)rtées dans le tableau précédent , en limitant les zones de possibilité relatives à chacune d'elles , conformément aux écarts donnés par la comparaison avec la vraie distance. J'ai obtenu ainsi les résultats suivans pour leurs probabilités individuelles en les supposant dues au hasanl :

Arcturus Antarès ~

Arctiirus Fomalhaut -^'

Arcturus Sheat -^

Antarès Fomalhaut -r-

Antarès Sheat -—^

Fomalhaut Sheat -77; ;

maintenant on sait que la probabilité des résultats composés est le produit des probabilités partielles des événements dont ils se composent; lorsque ceux-ci sont absolument indépendans les uns des autres. D'après cela, au lieu de considérer isolément deux points du tableîiu plan que nous voulons interpréter, considérons-en simul-

tanémenttroifi, par exemple, ceux que la discussion critique des positions relatives nous 9k fait nommer Aptarès , Fomalhaut et Arcturus ; pois , supposons que nous eussions en^pris de prédire le triangle sphérique formé par ces trois pointa après leur transport sur la sphère , sans étr^ guidés autrement que par le hasard. Pour av<w la pvobahilité que cette prédiction se réalî*s^a dans les limites d'erreur trouvées pour les trois distances, il faudra multiplier entre elles les trois fractions i^; 57; r;; «t ^^ produit ^j^ sera la probabilité cherchée , c'est-À dire quHl y aurait seulement une chance sur 54ooo pour ame^ her par hasard une pareille configuration. Il est donc déjà bien peu vraisemblable que le hasard nous ait fait tomber précisément sur cette chance unique , quand UQUS avons choisi les trois astérismes que nous avons nommés Arcturus , Antaràs et Fomalhaut. Mais l'invraisemblance devient bien plus forte encore quand nous lions an même système notre quatrième aatérisme. Car la position de celui-ci pour être fixée exige le concours de deux distances : par exemple les deux distances à Fomalhaut et à Arcturus, ou à Fomalhaut et Antarès, ou enfin à Arçturus et Antarès. Prenqns la psipeipière combinaison, qui est ll( moim^ &vprable; le pro-* duit des pirobabiiités de nos deut distances sera 77 ♦ TR <>w TTTéb • Ainsi la prqhsibiKté du rés^iltat cpui* posé , qui les rattache m premier tri^^ngle sphérique , sera le produis de cette foiction par ttsts

i:*esc-à-dire .,;;| - ■. El ttWiiM mlli» iim Mm r*»i>lliî menl qiiela moitié «W t^te quanliM iIk^jm «i iUiIiId î car la détermination «1*1111 point purilviu •IHklmii^A à i»i autit» point , «oit mit un plan , mmi mii* lu apbèro , e$t ausooptibk de dcuiL aulntionn tpn pla^ cent le point chercUé d*iui i^ôt^ chi de 1 aiili*» île la distance prise fionr base. Main ici, dea den» aii< lutîpnc, il u'y en a qu'iiue aeuUi qui «oil aatriMio^ iniquement adpûwble, et eW celle qui pliuie Sbeat dana la partie du ciel où il ae li-ouve réellemeiiL Or, ceat celle-là préciaiiueiil que le umnumeut réalise; couséqiAeuuueiit la prtdMibilU^ que noua y aunums été cxHiduilb par k* lAUMAitl

«««7 de y„.i..o, <*" .- » ; iiv;.. ". ; i'W-à-dijv que aur plus de iSi8 millions de cliauceu é|(ali:iiAeiài pu^blesy il n y eu a qu'une seule qui puinne auMvier uu tel baaard. On peut donc, avec- toutr U %iui-' «emblance désirable, penser que Tacc^ird ik» i-ésultats auxquela uuub somiiMw parvenue n'cMl pa» du à cette chance usiique, uuùi» bMsn a la ivaliUr d'intention que noua avions soup^oiiué*: dans la construction de notre niottuiuetti. Li ctsUt- viaiaemblance serait très-griuid<' encoi^- quaAMl iMJiàh supposerions des limiter derieui.s b%;auiAfU|i plu.** grandes que celles que émma^ avun^ liaslit^àtj^^i ti-ouvées entj-e les vii^^^b U^hUma;:» vûi^u-» u* «il.. distances cakulôei»- W' «'^ tivai^ii' ^ ^« H^«^v4è4fu* toutes ces lîuole:» JUM^ ^ i M^* p*""- v*- m^ iw'^««^ ce qui est san:» dui&U; imm^vu^v *^- w^ii^Ui'i ^««^ . que tous les é^m'ii> ^ut; us/n^ 4i%vi4^ u^m^-u ^i^<

réellement beaucoup moindres, il y aurait encore plus de dix millions à parier contre un , que la configuration déduite de nos quatre astérismes est due à un dessein raisonné. Et combien cette probabilité s'accroitrait-^elle encore si nous voulions joindre à cette configuration , comme nous aurions toute facilité de le faire , le quadrilatère du Dauphin et celui de la Grande-Ourse , qui sont aussi marqués en positions par des astérismes propres, comme on le verra plus tard, et comme les seules relations de position avec les figures zodiacales environnautes' suffiraient pour-l'indiqiier.

Ces épreuves géométriques achèvent donc d'établir avec une probabilité presque équivalente à la certitude, le mode de projection qui a été suivi dans la construction de notre monument; et, d'accord avec les premières inductions que nous avons réunies , elles prouvent qu'il offre en effet la représentation de la sphère céleste formée par développement autour d'un point du ciel choisi pour pôle. Mais quel est ce point, et comment pouvons-nous reconnaître sa position sur la sphère céleste ? voilà le problême qu'il nous faut maintenant aborder.

Les indications géométriques tirées du monument nous suffiront encore pour le résoudre directement et sans recourir à aucune hypothèse. En effet , considérons deux quelconques dea étoiles dont nous venons de calculer les distances respectives , et par conséquent de constater la posi-

UE DEKDiKRAH. /|^

iiou sur le monument. ChoisisMas, |>ar exeii^pU^ Foraalhaut et Arcturu&. En rappoftant oe^ iieux étoiles, par longitude et latitude, à Tédiptique et à réquinoxe fixes de l'anqée i75o, elles déterminent sur la sphère céleste un triangle sphénquc dont Ips tvois côtés sont les distances des deux étqiles au pôle de l'écliptique, et leur distance entre elles. Tous les élémens de ce triangle , c'est^ à^dire, ses côtés et ses angles, sont connus ou peuvent être calculés d'après les positions astronomiques de Foraalhaut et d'Arcturus. Or ces deux mêmes étoiles , considérées relativem^it aq pôle inconnu du monument forment avec lui U|i second triangle; sphérique dont un des isotés est encore leur distance mutuelle entre elles , et le^ deux autres leurs distances sphériques au pôle inconnu , lesquelles distances peuvent se neaurw sur le monument même. On peut donc calculer ençofe les angles de ce second triangle puini"^' ses trois côtés sont connus. Mais nous ^vous vu qu'il est lié au premier par un côté commun, qui est la distance mutuelle des deux étoiles. La position' du second triangle formé au pôle du monument se trouve donc géométriquement fixée par cette connexion relativement au premier triangle qui ^ son sommet a|j pôle de 1 écliptique ^e 1760. Ainsi Ton doit pouvpir, et l'on peut en effet conclure par le calcul I9 direction absolue dc-s côtés de ce second triangle relativement à la même édiptique ; d'où Ton dMuit ensuite les coorduii-

5o SUR LK ZODIAQUE CIRCULAIRE.

nées de son sommet, c'est-à-dire, la longitude et la latitude du pôle du monument. On voit par là que deux étoiles suffisent pour déterminer mathématiquement ce pôle. Mais ici, comme dans toutes les autres recherches trigonométriques , il faut prendre des bases assez larges pour que les positions des sommets des triangles ne soient pas trop fortement influencées par les erreurs que l'on doit toujours supposer dans les observations. C'est pourquoi, je n'ai point essayé d'appliquer ce calcul à la combinaison d'Arcturus avec Antarès, non plus qu'à celle de Sheat avec Fomalhaut ; parce que ces couples d'étoiles embrassent un trop petit arc de la sphère céleste; mais j'ai combiné séparément Fomalhaut avec Arcturus, Sheat avec Antarès; et, par ces combinaisons isolées, indépendantes l'une de l'autre , j'ai obtenu les résultats suivans.

Coordonnées du pôle du monument relativement h réclîptique et à T équinoxe fixes rf^ lySo (l).