ANGLES

DlÈDaBS OQ

bord da médaillon.

bord

entre les astérismes.

bord.

bord. ;..

bord

bord... • . . . ••«-«• • entre leà astérismes.

bord

194 so 5o 1^9 S3 8 x6S 43 ao 112 i3 8

4» 8 54 loS 45 38

a8 z5 aS

tiCS angles exprimés dans ce tablèan sont ceOx qui résnf* telit des mesures immédiates. En prenant leurs diflRérenc^ deux à deux , on aura les différenees d'ascension droite compiîses entre deu)c quelconques des astérismes qui y isont désignés. C'est ainsi qu'ont été calculés lei nombres rtèppùtiès d«is k Mémoire.

(i) Noos désignons ainsi, ponr abréger", la tige de lotns sor laquelle Syrlns tombe réellement en projection astronomique. L*alignement est ^ris sar le milieu de Taxe de la tige.

DE DENBERAE. ^^l

Tableau des calculs trigonométriques relatifs à la détermination du pôle du monument sur la sphère céleste.

Pour exposer la marche de ces calculs , et mettre chacun ^en état de les vérifier , je choisirai comme exemple Antarès et Sheat. Je prends d'abord dans les tables de La Caille , les longitudes et les distances polaires de ces deux étoiles relativement à récliptique et à Téquinoxe vemal de 1750. On a ainsi

Longitude Distances au pôle boréal

en 1750 de Técliptique de 1760

Antarès. a46*i6' aS" 94" 3a' la"

Sheat. .. 355 5a 58 58 5 1 48

Ces données sont représentées en position sur la sphère céleste , dans la fig. 4? pl* I- I^L' T est le grand cercle de Técliptique dont C est le centre^ CE Taxe, £ le pôle boréal. ËA est le cercle de latitude sur lequel Antarès se trouve en A ; £ B est le cercle de latitude sur lequel Sheat se trouve en B. AB est ainsi Tare de grand cercle qui mesure la distance angulaire de ces deux étoiles sur la sphère céleste. D'après cela, dans le triangle sphérique A£ B formé au pôle de l'écliptique , on cooniâtles cô^és AE, B£ , qui sont les distances des deux étoiles à ce pôle, et l'on connaît en outre l'angle dièdre AEB compris entre elles , lequel est égal à la différence de leurs longitudes , ou à 109** 36' 3o''. On peut donc, avec ces données, calculer Tare de distance A B des deux étoiles , ainsi que les angles dièdres EAB, £BA; on trouve ainsi dans ce triante

AB=:i09° 6' 6'' EAB= 58 34 t3 EBA= 83 36 11 AE B= 109 36 3o

aÇ)1 HOTES SUR LE ZODIAQUE CIRCULAIRE

Maintenant désignons par P la position inconnue du pôle du monument sur la sphère céleste, et concevons ce pôle rapporté comme tout autre point au même système de coordonnées dont nous venons de faire usage , c'est-à-dire, à l'écliptique et à l'équinoxe fixe de i75o. Pour cela on devra supposer un cercle de latitude £ P mené du point £ à ce pôle inconnu ; après quoi il faudra déterminer l'arc P£ qui exprime sa distance au pôle de notre écliptique , et l'angle dièdre P £ B formé par le cercle de latitude P E avec le cercle de latitude EB mené par Sheat : or, c'est ce qui est très-facile au moyen de ce qui précède. Car, d'abord dans le triangle sphérique APB formé au pôle inconnu et aux deux étoiles , on connaît l'arc de distance AB que nous venons de trouver égal à lOQ** 6' 6". On a de plus les deux arcs AP , BP^ qui, étant les distances des deux étoiles au pôle du monument , peuvent se prendre graphiquement sur le médaillon 'même ; et nous avons vu quel'onaainsi AP = io8" i6' 45" ;BP=76*9' 45*. Avec ces trois côtés connus on peut calculer les trois angles du triangle A P B , et l'on trouve

PAB= 8i»i4'5o* PBA= io4 5i 54 APB= io5 5a 37

Ce dernier angle au pôle inconnu peut aussi se déduire directement des mesures graphiques , puisque c'est le même que comprennent sur le monument les rayons menés du centre aux astérismes d'Antarès et de Sheat On voit , d'après le tableau de la page 41 9 que sa valeur conclue de la mesure des cordes est io5** 5o' 36" ; ce qui diffère extrêmement peu du résultat que nous venons d'obtenir en résolvant le triangle A P B, d'après la connaissance de ses trois côtés. Cet accord ofTre une vérification remarquable de la correspondance réelle et géométrique qui existe entre les diverses parties du monument. Toutefois , on doit , comme nous Favons fait , préférer le résultat obtenu par la résolution trigonométrique du

DE DKNDERAH. HqS

triangle A P B , parce que le calcul qui le donne n'emprunte du monument que les distances polaires A P , B P , et se trouve ainsi indépendant des différences d'ascension droite toujours plus difficiles à observer , surtout pour les anciens chez lesquels la mesure du temps s'obtenait par des méthodes très-imparfaites.

Si de l'angle PB A que nous venons de trouver égal h ioV* 5i' 54" on retranche l'angle EBA que nous avons vu être de 83** 36' ii% on aura l'angle EBP égal à ai*" i5' 43*"* Alors dans le triangle sphérique EBP, on connaîtra

l'angle EBP= ai''i5'43"

l'arc BP = 76 9 4^^*^"®*^^^^^^*° P^*^(>'°<>>>°'>®Bt.

l'arc BE = 59 5 1 4^^**''^^^''®'^^*^P^l®^®l*^^pt>?<M* ainsi , en résolvant ce triangle , on obtiendra

l'arc PE = aô*» 4'4a'' l'angle PEB = ia6 46 35

Or l'arc P E est la distance sphérique du pÀle inconnu au pôle de l'écliptique de 1750; son complément 6V 55' 18" est donc la latitude P^P du pôle inconnu rapportée à cette même écliptique.

Si à l'angle PEB = ia6»46' 35"

on ajoute la longitude de Sheat en 1750 ou TP'LL*=: 355 52 58

On aura pour sonune 48a 39 33

ou en retranchant une circonférence ïP'zi: laa** 39' 33"

c'est la longitude du pôle P du monument sur l'écliptique fixe de 1750, à partir del'équinoxe vemal de cette même année. Le calcul entre Arcturus et Fomalhaut s'établit de la même manière. Je n'en donnerai ici que les résultats successifs qui se rapportent à la fig. 5 pi. i.

294 WOTKS SUR LF ZODIAQUE CIRCULAIRE

Longitudes Distances au p^le en l'jSo de l'écliptique en 1750

Arcturus ï Ç^ A' = aoo*» 44' 46" E A = 69" 5' ag* Fomalhaut ï Ç^ F' = 3So ao 33 £F = m 6 i3

delà en résolvant le triangle FEA, on trouve

AF=:i34* a' 17' £AF= 90 16 39 EFA=: 66 5a 3i FEA = ia9 35 47

maintenant y P étant le pôle inconnu, on aura dans le triangle sphérique APF

A P := 55** ao' 56*^ par le monument FP:= i33 a9 18 par le monument AF= i34 a 17

de la on tirera les trois angles

PAF=:ii9'»4i'49'' PFA== 80 a a5

APF = lao 36 la

La mesure des cordes azimuthales prise sur le monument , donne ce dernier angle égal à ia4*' ao' 5o" , par conséquent plus fort de 3° 44' ^^"^ » <iue ne le donne le calcul trigonométrique. Cette différence se réduirait considérablement , si , au lieu de supposer Fomalhaut placé sur l'étoile qui fait partie de sa légende , on le plaçait sur là dernière étoile du groupe la plus voisine de la légende , et qui semble se détacher du. groupe pour se porter vers elle ; ce déplacement n'altérerait pas la distance polaire qui est sensiblement constante sur toute cette légende ainsi que pour l'étoile même dont nous venons de parler. J'ai expliqué dans le Mémoire les motife de fidélité pour lesquels j'ai mieux aimé ne pas profiter de cet avait-

1>S DEIfDBRAH. SçS

tage. Ici je me bornerai à faii'c remarquer qu'il n'en résulterait aucun changement pour la position définitive du pôle P sur la sphère céleste , puisque , dans le calcul de cette position , nous n'employons que des distances polaires y ssins que los diilTérences d'ascension droite , qui spnt seules affectées de cette incertitude , y entrent absolument pour rien.

Nous venons de trouver PAF=;ii9*Ai'49''

Nous avons eu précédemment EAF= 90 16 39

donc PAE= 29** ^5' 10*

On a de plus y parle monument » P A =^ 55 ao 56 par les données astrpnoiniquqs £ A == 59 ^ 5 1^9

on pourra donc résoudre le triangle sphérique £ P A et en déduire l'arc P £ ainsi <j[ue l'angle P £ A. On trouve ainsi

PE= 34'» 55' 35" donc P' P z= 65 4 «5

c'est la latitude du pôle du monument Aur l'éoUptique fix« de 1750.

On a ensuite PEA= 73*29' ai"

On avait d'ailleurs par les

données astronomiques tP'A' = 200 44 4^

donc ïP' = 127* i5' 25"

c'est la longitude du pôle du monument sur l'écliptique de 1750, à partir de l'équinoxe fixe de cette même année.

£n joignant ce résultat à celui que nous avons obtenu par la combinaison 4' An tarés avec Sheat y on aura le tableau de la page 5o.

agC NOTFs si/R le zodiaque circulaire

Sur la manière de calculer les positions des étoiles relfitivement à VéquaJteur et à técliptique , pour des époques anciennes.

Soit y Gg. 6 , £ ï ï' la position de Técliptique à une époque fixe, par exemple , au commencement de l'année 17 5o , que les travaux de Lacaille ont rendue célèbre , et que l'on a prise pour Tongine'de plusieurs déterminations astronomiques. Soit, à cette même époque, T Q l'équateur, et T le point équinoxal; en sorte que les longitudes se compteront de T vers £ , et les ascensions droites de Y vers Q, Considérons maintenant une aujt;^ époque postérieure à la précédente. L'équateur aura réti^gradé en vertu de la précession. Soit donc t' Q' sa nouvelle position à cette époque , et t' son intersection avec Técliptique fixe do 1750 ; Tangle sphérique^ ï' Q' sera son inclinaison sur cette éclip tique. Mais alors Técliptique vraie se sera déplacée dans 1c ciel , en vertu de l'attraction des planètes ; elle aura pris, par exemple, la direction de N JS"', faisant avec la précédente un angle sphérique ENE' , qui sera toujours trèspetit. Par TefTet de ce déplacement, elle coupera la nouvelle position de l'équateur en ï''; et le point ï" sera la nouvelle position du point équinoxial vrai. De sorte que Ton comptera les longitudes de T^ vers E^y et les ascensions droites de t'' vers (?'

Maintenant il faut savoir qu'en supposant l'obliquité de Técliptique observée à la première époque, la théorie de l'attraction fait connaître pour une autre époque ^quelconque , l'^TarcTï' ou la précession du point équinoxial sur Técliptique fixe de 1750; a" Tangle ^ï' Q' , obliquité de l'équateur mobile sur cette même écliptique; V Tare ï*ï" ou le mouvement du point équinoxial en ascension droite; 4** enfin, l'obliquité de TéquatiMir mobile sur Técliptique mobile ou Tangle if' ï" Q\

DE DEirDERA.H. ^97

Avec ces données , rien n'est plus facile que de transporter les catalogues des astres d'une position à l'autre, et de calculer quelles seront , ou quelles ont dû être , les longitudes , latitudes , ascensions droites et déclinaisons. Cette recherche n'est exactement qu'une simple transformation de coordonnées.

En effet y connaissant les longitudes / et les 'latitudes x rapportées à la position primitive de 1750 , on ajoutera aux longitudes l'arc de précession T ï' sur l'éoliptique fixe, arc que nous nommerons ^ ; les longitudes l-\-^ et les latitudes x détermineront la position des astres sur l'écliptique fixe pour la nouvelle époque que l'on aura considérée. Comme on connaît aussi y par la théorie , l'angle £ ï' C'y obliquité de l'équateur mobile sur cette écliptique à la même époque , on pourra cal-' culer avec ces données les ascensions droites et les déclinaisons relativement à la nouvelle position ï' Q' de l'équateur^ ^ous les nommerons â' et et. Pour les obtenir, il suffira d'ap-^' pliquer les formules trigonométriques que nous donnerons plus loin.

Mais ces arcs sont comptés à partir du point équinoxial T* : pour les ramener à Téquinoxe vrai ï", il suffit de retrancher de toutes les ascensions droites. Tare ï'ï", ou le mouvement du point équinoxial en ascension droite. Soit a cet arc que la théorie de l'attraction fait connaître. Alors les ascensions droites a' — cl et les déclinaisons «T seront les élémens de l'astre relativement à la nouvelle position de l'équateur et du point équinoxial vrai ï" ; et comme on connaît aussi l'angle E' ï " Q' , obliquité de l'écliptique mobile sur l'équateur mobile , pour la nouvelle époque, on pourra aisément calculer les longitudes et les latitudes pour cette même époque, relativement à l'écliptique mobile. Ce sera encore une application très - simple des formules trigonométriques que nous donnerons tout à l'heure. Par ce moyen , on aura les ascensions droites des astres , leurs déclinaisons , leurs longitudes et leurs latitudes , rapportées à la nouvelle position de l'équateur , de l'écliptique et du point équinoxial ï".

Q9^ NOTES 8UR LE ZODIAQUE CIRCULA.IRe

Nous avons supposé la nouvelle époqae postérieure à i^5o. Si elle était antérieure^ les raisonnemens seraient les mêmes , le si|;ne seul des quantités changerait. C'est ce que représente la %. 7. Alors la précession ïT', au lieu d*étre ajoutée aux longitudes, devrait d'abord en être retranchée; et le mouvement du point équinoxial T' T*', au lieu d*être soustrait de Tascension droite a', s'y ajouterait Tout cela va de soimême dans les formules, en y supposant le temps positif pour les époques postérieures à i75o, et négatif pour les antres.

La marche de l'opération étant ainsi complètement expliquée , je vais donner les formules numériques qui expriment les valeurs des divers élémens que nous venons de désigner.

Pour cela , prenons l'équinoxe de i75o comme origine des temps , et nommons + V Ift rétrogradation du point éqni- Boxial sur l'écliptique de 1760 jusqu'après un nombre t d*années juliennes comptées depuis cette époque , t devant être supposé négatif pour les années antérieures. Désignons aussi par V l'obliquité de l'équateur sur l'écliptique fixe pour la même époque + ^ ; la théorie de l'attraction assigne à V et à Y les valeurs suivantes que je tire de la Mécanique Céleste , mais que j'ai converties en mesures sexagésimales

y=5o",4i2^+a-47'57",oa-h3%83sin.[86''33'57'',5+5o",4xaf]

— 6%6i777C0s.[3a%ii58.^]— i%,58i48sin.[i3'',946.r]

V = 23'8' 3»" — x%636884cos. [85" 33' 57%54 + 5o%4ia.O

o%457443cos.[i3'',946.f]— 2%56i7a4sin.[3a'',n58.(]

Ces résultats sont relatifs au plan fixe qui coïncidait avec J'écUptique en 1750. Maintenant, comme l'écliptique se déplace dans le ciel , la rétrogradation apparente du point éqninoxial après "4- 1 d'années n'est pas + ^ , mais une autre quantité que nous nommerons w'; et, de même, l'inclinaison de l'équateur de l'écliptique déplacée , n'est pas V , mais une autre quantité V'. Or les valeurs de v' et de V se déduisent encore de la théorie de l'attraction , et sont exprimées par les formules suivantes que je tire également de la Mécanique Céleste.

DE OENDERAH. ^99

Y'=5o'',4i2./— i%2854o7sin.[i3%946.f)-h5%59834sin.»[i6>579.f] V'=:a3•28'23^— o",9a9736sin.[3a'',ii58.f]— o',7353asiii.*[6%973. t]

Dans ces formules comme dans les précédentes , les angles compris sous les signes de sina's et de cosinus, sont exprimés en secondes sexagésimales. Ainsi, lorsqu'on les aura multipliés par le nombre d'années que t exprime, il faudra les réduire eu degrés , minutes et secondes pour pouvoir les employer dans les tables de sinus. Quant aux coefïïciens numériques des différens termes , ils sont aussi exprimés en degrés sexagésimaux ; mais on y a laissé subsister les fractions décimales de degré , afin que, dans les applications y on pût prendre immédiatement leurs logarithmes. Les produits ainsi effectués se trouveront donc aussi sous la même forme; de sorte qu'après les avoir obtenus et combinés ensemble par addition et soustraction , il faudra réduire la fraction décimale définitive en minutes et secondes^ pour avoir le résultat exprimé suivant la division sexagésimale du cercle.

Quand on aura calculé V, V , T % V ' , on formera la quantité

Cos. V

ce sera le déplacement du |x»iot équinoxial en ascension droite qui est représenté par r' t" dans les figure 6 et 7. En suivant pas à pas la marche indiquée plus haut , on obtiendra , d'après ces valeurs, tous les éiémens nécessaires pour transporter directement les positions de 1750 à une époque quelconque donnée.

Il ne me reste plus qu'à joindre ici les formules nécessaires pour calculer les ascensions droites et les déclinaisons , quand on connaît les longitudes et les latitudes ou réciproquement* Soient d'abord x la latitude , / la longitude , que nous supposerons données. On aura directement la déclinaison dct l'ascension droite a par les deux formules suivantes, dans lesquellea tt représente l'obliquité de l'équateur sur Técliptiquc.

(i) sin. </ = siii.ttC08.;»sin. /+COS. ttsin. X

, . taim. X sin. tt . sin. /cos. m (a) taiig.a= — —2 h