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DE 0EN0ERAH. ^i

que l'oii trouvera textuellement rapportées à la fin de ce Mémoire, j'ai obtenu les résultats contenus dans ]e tableau ci-joint.

Les dififérences que nous trouvons ici , entre les six .distances calculées d'après le monument , et les six distances calculées d'après les positions astronomiques, sont du même ordre que celles que M. Delambre à trouvées en calculant les observations d'Hipparque, rapportées dans son commentaire sur Aratus. Quant aux erreurs d'Aratus même , elles sont beaucoup phis considérables. Ce seul rapprochement devrait suffire pour faire excuser de pareils écarts , comme tombant dans les limites d^incertitudes auxquelles les observations étaient siujettes dans ces temps reculés ; incertitudes qui s'aggrandissent encore pour nous par V effet accumulé des mouvemens propres que nous sommes obligés de négliger , quoiqu'ils puissent Cfertainement devenir fort sensibles à de si longs intervalles. Mais, combien cette excuse ne paraîtra-t-elle pas plus légitime encore , si l'on considère que les observations d'Hipparque et les résultats rapportés par Aratus , nous sont parvenus, écrits ^ et par conséquent , avec les- seules erreurs qui leur étaient inhérentes ; au lieu que les observation^ retracées par notre monument ne se présentent à nous que sôus Une. forme graphique, par conséquent, affectées des erreurs inévitables qu€^ l'on a dû. commettre en les sculptant sur la pierre , erreurs auxquelles il faut ajou-

4a SUR LE ZODIAQUE CIRCULAIRE

tôr celles des mesures par lesquelles j'ai essayé de les en déduire pour les rendre à leur primitive abstraction. Car, bien que j'aie apporté à ces mesures tout le soin dont je suis capable , et que chacune d'elles ait été prise et répétée plusieurs fois avant d'être soumise à aucun calcul , cependant elles n'en ont pas moins été obtenues pai^ de simples opérations graphiques , faites au cov^ deau, sur des figunss. sculptées dans un grès ten* dre, et dottt les àreteç et les bords rongés p«t le temps ont aécessairenient perdu de leur vivacité. Or , si Ton veut bien avoir ^gard à toutes ce^ WQCKQStances ^ loin dfétre blessé des erreurs que piréseotenti les arcs sphériiques de distance déduits de notre monument, on sera peut-être surpris autant que je l'ai été moi «-marne de les trouver si exai^ ; car j'avouerai avec sincérité que je ne m*3r attendais point; ^ je n'aurais jamais osé les présenter comme tels avec assurance, si, ainsi que je l'ai dit , toutes mes mesures nWssent été prises et arrêtées définitivemejit ayant d'avoir été essayées par aucun calcul.

Pour fixer avec précision le degré 'de confiance que doivent inspirer lès inductions critiques qui nous ont conduit définitivement à un accord pa-^ reil , calculons la probabilité qu'il y aurait eu de l'obtenir par le seul hasard. A cet effet, rappelons les transformations que nous faisons subir aun mesures immédiates pour les réduii^ en dîstànceé câestesi Nous prenons d'abord sur le nionumént

l'angle compris entre les deux rayons menés do. centre aux deux étoiles supposées; et nous consi<dérons cet angle comme l'angle dièdre compris sur la sphère céleste entre les plans des grands cercles menés par chaque étoile , et par le pôle inconnu de projection. Puis , nous mesurons sur le monument les distances rectilignes des mêmes étoiles à ce pôle; et, prenant le rayon du médail*- 1cm qui est de 774 millimètres ^ pour le dévelof^ie* ment d'une demi-circonfèrence ou de 180^ juste, nous convertissons proportionneUement nos deux myons rectili^es en^arcs spbériques de distance^ polaire* Conséquemment , quelle que soit la po^ ^tion donnée sur le monument aux astérismes que nous considérons , par. cela seul qu'ils se. trouvient compris dans le médaillon circulaire, leur transport sur la sphère céleste est toujours possible ; mais ils peuvent s'y trouver , et ils s'y trouveront en effet k toutes les distances possibles les uns des autres , puisque la sphère est complé**. tement recouverte par le dessin du monubient ainsi transformé. Maintenant, imaginons que,. sans connaître ce que signifie un pareil dessin, sans avoir deviné le secret de ses parties, on y désigne à volonté , sur le monument , deux point& que l'on supposera , si l'on veut , être deux étoiles ; et , concevons que les ayant aiçsi chptms arbitraire^ m^it on se hasarde à prédire qu'après leur trans* port géométrique sur la sphère , ils se trouveront à une certaine distance Tcm de l'autre dans une U*

mite d'erreur assignée , qui sera de deux degrés , par exemple : quelle probabilité y a-t-il que cette prédiction se réalisera? Pour le savoir, prenez à volonté un point quelconque de la sphère pour représenter la place de Tune des deux étoiles, après qu'elle^y aura été transportée par le calcul ; puis , autour de ce point , à une distance spbérique égale à la distance sphérique assignée , qui sera ici la vraie distance céleste des deux étoiles , décrivez une circonférence de cercle : ce serait le lieu géométrique où devrait tomber la seconde étoile , si la prédiction devait être rigidement vérifiée ; mais, puisque l'on y tolère une erreur de deux dégrés , en plus ou en moins , sur la di« stance , décrivez sur la sphère , autour de la première étoile , deux .autres cercles , dont les distances sphériques soient, pour l'un , la vraie distance plus deux degrés ; pour l'autre, la vraie distance moins deux degrés. Jja zone sphérique interceptée entre ces deux cercles comprendra tous les points de la sphère où la distance des deux étoiles tirée du monument peut aller aboutir pour différer de la vraie distance céleste dans les limites de deux degrés d'erreur en plus ou. en moins. Conséquemment , si la seconde étoile a été choisie au hasard autour de la première sur le dessin plan , ce qui est la même chose que ^i on la jettait au hasard autour de la première sur la sphère , leaiombre des chances qui pourront la faire tomber dans cette zone d'erreur sera , au

D£ DBNDERAH. 4^

nombre total des chances possibles, comme la surface sphérîque de la zone est à la surface entière de la sphère. Le rapport de ces deux quantités exprimera donc la probabilité que la seconde étoile , projetée ainsi au hasard , tombera dans les limites de distance supposées. Or, ce rapport se trouve égal au produit du sinus de la vraie distance par le sinus de l'écart que l'on suppose possible. Telle est donc l'expression très-simple de la probabilité dont il s'agit

J'en .ai fait l'application aux six distances rapportées dans le tableau précédent , en limitant les zones de possibilité relatives à chacune d'elles , conformément aux écarts donnés par là compa* raison' avec la vraie distance. J'ai obtenu ainsi les résultats suivans pour leurs probabilités individuelles en les supposant dues au hasard :

Arctiirus Antarès t-

Arctunis Fomalhaut -^

Arcturus Sheat -^

Antarès Fomalhaut ^ -

Antarès Sheat -rrrr

Fomalhaut Sheat

maintenant on sait que la probabilité dés résultats composés est le produit dès probabihlés par^ tieltes des événements dont ils se composent, lorsque ceuxH^i sont absolument indépendans les uns des autres* D'après cela, aii lieu de consi-' dérer isolément deux points du tableau plan que nous voulons interpréter, considérons-en simuU

tanément trois , par exemple, ceux que la discussion critique des positions relatives nous a fait nommer Antarès , Fomalhaut et Arcturus ; puis , supposons que nous eussions entrepris de prédire le triangle sphérique formé par ces trois points après leur transport sur la sphère , sans être guidés autrement que par le hasard. Pour avoir la probabilité que cette prédiction se réalhsera dans les limites d'erreur trouvées pour les trois distances, il faudra multiplier entre elles les trois fractions ^; ^^ ; n ; et le produit

sera la probabilité cherchée , c'est^à dire qu'il j aurait seulement une chance sur 54ooo pour ame^ ner par hasard une pareille configuration. Il est donc déjà bien peu vraisemblable que le hasard nous ait fait tomber précisément sur cette chance unique , quand nous avons choisi les trois asté* rismes que nous avons nommés Arcturus, Antarès et Fomalhaut. Mais Tinvraisemblance devient bien plus forte encore quand nous lions ati même système notre quatrième astérisme* Car la position de celui-ci pour être fixée exige le concours de deux distances : par exemple les deux distances à Fomalhautet à ArcturuS, ou à Fomalhaut et Antarès, ou enfin à Arcttirus et Antarès. Ptenons la première combinaison^ qui. est la moins favorable; le produit des fH*obabilités de nos deux distances sera ^ . ^ ou -—;. Amsi la probabilité du résultat coHh posé ^ qui ies rattadie au premier triangle sphé*rique , sera le produit de cette firaction par -j;^

DE DfiKDB&AH. ^7

c est*à-dipe Vs9;Io ' ooc ' ^^ même elle ne sera réellemeni que la moitié de cette quantité déjà di faible ; car la détermination d'un point par deux di&tatlces à un autre, point ^ soit sur un plan , soit sur la sphère ^est susceptible de deux solutions qui pla« cent le point cherché d'un côté ou de l'autre de la distance prise pour base. Mais ici^ dès deux solutions , il n' j en a qu'une seute qui soit astrono* iniquement admissible^ et c'est celle qui place Sheat dans la partie du ciel où il se trouve réellement. Or, c'est celle-là précisément que le monument . réalise ; conséquemment la probabîlilé que nous y aurions été conduits par le hasard sera ^ de ■■■■ ■ ' ■' — ou ■■ - ■ ', ; c'est-à-dirô aue

*'*'*•* a 7J9a4oooo ^** 1515490000 / '-' ^"^ »* ■!>«»». ^ ^m.^

sur plus de ]5i8 millions de chances également possibles^ il n'y en a qu'une seule qui puisse amener un tel hasard. On peut donc , avec toute la vraisemblance désiraMe^ penser que l'accord des ré*sultats auxquels nous sommes parvenus n'est pas du à cette chance unique , mais bien à là réalité d'intention que nous avions soupçonnée dans la construction dé notre monument. £t cette vrai^ semblance serait très «grande encore quand nous supposerions des limites d'erreurs beaucoup plus grandes: que celles que nous avons réell^nent trouvées entre ks ▼radeS' distances célestes et les dislanceâ calciîléeSi Car en jportant, par exemple, toutes ces limite» jusqu'à 3^ en plus ou en moins » ce qui est sans» doute beaucoup les exagérer, puis*» que tous Jâs écarts que.npus avons trouvés sont

réellement beaucoup moindres, il y aurait encore plus de dix millions à parier contre un, que la configuration déduite de nos quatre astérismes est due à un dessein raisonné. Et combien cette probabilité s'accroitrait-^Ue encore si nous voulions joindre à cette configuration , comme nous aurions toute facilité de le faire , le quadrilatère du Dauphin et celui de la Grande-Ourse , qui sont aussi marqués en positions par des astérismes propres, comme on le verra plus tard, et comme les seules relations de position avec les figures zodiacales environnantes suffiraient pour l'indiquer.

Ces épreuves géométriques achèvent donc d'établir avec une probabilité presque équivalente à la certitude, le mode de projection qui a été suivi dans la construction de notre monument; et, d'accord avec les premières inductions que nous avons réunies , elles prouvent qu'il offre en effet la représentation de la sphère céleste formée par développement autour d'un , point du ciel choisi pour pôle. Mais quel est ce point, et comment pouvons-nous reconnaître sa position sur la sphère céleste ? voilà le problême qu'il nous faut maintenant aborder.

Les indications géométriques tirées du monument nous suffiront encore pour le résoudre directement et sans recourir à aucune hypothèse. En effet , considérons deux quelconques des étoiles dont nous venons de calculer les distances, respectives, et par conséquent de constater la posi-.

DC DEN0ERAH. 49

tion sur le monument. Choisissons , par exemple , Pomalhaut et Arcturus. En rapportant ces deux étoiles, par longitude et latitude, à l'écliptique et à Téquinox^ fixes de Tannée 1760, elles déter* minent sur la sphère céleste un triangle sphéfique dont les trois côtés sont les distances des deux étoiles au pôle de l'écliptique, et leur dislance entre elles. Tous les élémens de ce triangle , c'est*à-dire, ses côtés et ses angles, sont connus ou peuvent étr^ calculés d'après les positions astro* nomiques de Fomalhaut et d'Ârcturus. Or ces deux mêmes étoiles , considérées relativem^t au pôle inconnu du monument forment avec lui un seeond triangle sphérique dont un des cotés est encore leur distance mutuelle entre elles , et les deux autres leurs distances sphériques au pôle inconnu, lesquelles distances peuvent se mesurer sur le monument même. On peut donc calculer encore les angles de ce second triangle puisque ses trois côtés sont connus. Mais nous avotis vu qu'il est lié au prepiîier par un côté commun, qui est la distance mutuelle des deux étoiles. La position du second triangle formé au pôle du monument se trouve donc • géométriquement fixée par cette connexion relativement au premier triangle qui a son sommet au pôlç de l'écliptique de 1750. Ainsi l'on doit pouvoir, et l'on peut en effet conclure par le calcul I4 direction labsolue des côtés de ce second triangle relativement à la même écîiptique; d'où Ton déduit ensuite les coordon-

5o SUR LK ZODIAQUE CIRCULAIRE.

nées de son sommet, c'est-à-dire, la longitude et la latitude du pôle du monument. On voit par là que deux étoiles suffisent pour déterminer mathématiquement ce pôle. Mais ici, comme dans toutes les autres recherches trigonométriques , il faut prendre des bases assez larges pour que les positions des sommets des triangles ne soient pas trop fortement influencées par les erreurs que l'on doit toujours supposer dans les observations. C'est pourquoi, je n'ai point essayé d'appliquer ce calcul à la combinaison d'Arcturus avec Antarès, non plus qu'à celle de Sheat avec Fomalhaut; parce que ces couples d'étoiles embrassent un trop petit arc de la sphère céleste; mais j'ai combiné séparément Fomalhaut avec Arcturus, Sheat avec Antarès; et, par ces combinaisons isolées, indépendantes l'une de l'autre , j'ai obtenu les résultats suivans.

Coordonnées du pôle du monutnerU idatweinent à Pécliptique et cf, F équinoxe fixes de lySo (l).