EXCÈS

de la distance

donnée par

le monument.

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DE BSNBERAH. 4'

que Ton trouvera textuellement rapportées à la fin de:ce Méûioire, j'ai obtenu les résultats contenus dans le taUeau ci-joint.

Les différences que noiis trouvons ici , entre les six , distances calculées d'après le monument , et les six di^tance^ calculéies d'après les positions astronomiques, /^ont du même ordre que celles que Af. Deldmbre a trouvées, en calculant* les obsjervations d'Hippaùrqûe , rapportées dans' son cpmment£|ire sur Aratos. Quant auic erreurs d'Ar(iti|s même, elles sont beaucoup phis^considérables. Ce seul rapprochement deurrait suBEirepour faire excpser de pareils écairts ^ comme tombant dan^l^s limites d'ineertidtudês' auxquelles les obséirvations étaient sujettes dans* ces temps recnlés^; incertitudes qui s'agrandissent encore poui* nous par l'effet accumulé desmouveméns propres que nous sommes obligés de négliger, - quoiqu'ils puis» sent certainement devenir fort* sensibles à de si longs intervalles. JVIai^^ combien cette «excuse ne paraîtra-t<^lle pas plus légitime encore, si l'on considère que les observations d'Hipparque et les résultats rapportés par Aralus , nous sont parvenus écrits , et par conséquent, avec les^ seules erreurs qiii leur étaient inhérentjes';' au lieu que les observations retracées par notre monument ne se présentent à nous que sous une form^- graphique, par conséquent, affectées des erreurs inévitables que l'on a dû commettre en les sculptant sur la pierre , erreurs auxqueUes il faut ajoù-

4t) SUR LE ZODIA.QUK CKtiCULAIRE

ter cetl^ës des mesures par leèqueltes j'ai essayé de les tm déduire pour les rendre à leur prîmi th^ abstraction. Car , bien que j'aie apporté à ce» mesures tout le soin dont je rais capal>le , et que chaonne d^eltes ait été prise et répétée plusieut^ fois ayant d'être soumise à auéttft eàlcnï, cépen^ datlt elka n'en ont pm inoihd été obtenues pa^ d^ simples opérations graphiques , faites au cor-^ deau, sa:r des figoreg' sculptée$ dans an grè9 ten-^ drë^ et dont les anâces et les bord» rangés par le temps ont nécessaif cmeht perdu de hf&t ylvadilé: Or ^ si Ton Yeut bi^ti avoir égaM à totitéft ee^ ciroûBstances , loin dfétre bleiéé de» erreurs que pÉésentent les aros^sphériqnes^ de distance déduits de notre monument, on sera peut-être surpris autant que je l'ai été moî-meme de les trouvée at exacts ; car j'avouerai av<ec sini^éiNité que je ne m*y aitendab point; et je n'atirais jamais osé le^ présenter comme * tels avec assurance , ^i , ainsi que je l'ai dit < toutes mes mesures n'eussent été prises et arrêtées dé£bfiitivement avant d*avoir été i^sayéea par aiucun calcul.

Pour fixer avec précision te degré de confiance que doivent inspirer les inductions critiques qui nous *ont conduit définitivement à un accord pareil , calculons la probabilité qu'il y aurait eu de l'obtenir par le seul hasafd. A cet effet, rappelons les transformations que nous faisons subir aux mesures immédiates pour les réduire en distances célestes. Nous prenons d'abord sur le monument

ir

HE JDBzrmtRAH. 43

l'angte compfis entre les deux rayons menés du cetitre atix deux étoiles supposées; et tkfn» ccmù* défom cet angle ooinihe Tangle dièdre compris sm b sphère célestie entre le& plans des gtaod» cereles inenés par chaque étoile , et pat* le paie inconnu de projection. Puis ^ nous mesurons sui; le mdmnnein: les distandea rectîlignes dea mêmes, étoiles à ce pôle; et, preaiantle rayon du médailn ton qui «st de 774 ntfflimètres, pour le développe* méat d'ime d«DB»-circonférence-où.de idoPjnato, nous convertisfioiid proportioniieUeiftefit noadeum^ AyoDS reêlilignes en arca sphériqves de distaonets» polaire* Gonséquentment , qoelle que soit la pf>^ siboD donnée sur le .monianent aux aatérkmes que noQS considérons , par cela seol qu'ils nib trouvent compris- dans le médaillon circnlaîrav leur transport sur la aphève odieste est feoi^a«!!S, possible ; mats Us peuvent s'y trouver, et ils s'yv trouveront en efiet à toutes les. distances possûiles les uns des autres , puisque la sphèie est camjpié** tement recouverte par le dessin du monument ainsi transformé. Biainteiiant , imaginons qne^ SAM connaître ce que signifie un pareil dessin , sans avoir deviné te secret de ses pairttes, on y désigne à v<donté, sur le monu|nent, deux poîfntu que Ton supposera , si Ton veut , être deux étoiles); et , concevons que les ayant ainsi choisis arbitraire^ ment on se hasarde à prédire qu'après letn* trans*. port géon^trique sûr la sphère , ih se trouveitmt àr une certaine distance l'un de l'autre dans utie li*

mite .d'erreur* assignée , qui sera de deux degrés , par exemple : quelle probabilité y art*ii que cette prédiction se réalisjer^ ?. Pour le savoir , prenez à volonté un point quelconque de la sphlère pour représenter la place de Tune des deux étoiles, après .qu'elle y aura été transportée.par le cadintl; piiis^ autour de ce point , à une diâtanoe sphé-' lique égaie, à la distance spMrique assî^ée f qui sera ici la vrsiie distance céleste des deux éèotl^ , décrivez une circonférence de cercle : /:e s^ait le iieu ^géométrique où jdevrait tomber; la seconde étoile , si la prédiction xievait être rigidement vérifiée ;.n^ds, puisque l'un y tolère une erreiiride deux degrés, en: plus ou en moins, sur la dir stancè, déarivez. sur la spèkère , ^tour de>«Ia première . étoile , .d0ux autres cercles , dont les distances sphériques soient, pour Jlun , la vcaîe distance. plus df^ux degirés ; .pour l'autre ,. là vraie distance moms deux degrés. Xa zone sphérique interceptée entre ces deux cerelas . comprendra tous les points de la sphère où la distance des deux çtodtles tirée du monument peut aller abou* tir pour différer de. la vraie distance céleste dans les limites. de deux degi^és d'erreur en plus ou en moins. Couséquemment , si la. socotade étoile a été choisie au hasard autour de la pjemièr^ $ur le dessin plan , ce qui est la même chose que si on;la Jettait au hasard autour de la première sur Id sphère , le nombre des chances qui pourront la faire tomber daiis ''cette zone d'erreur sera, au

Dfe DEiïBERAH. - 4^

nombre total des chances possiBles , connonte la surface sphérique de la zone est à la surface entière de la sphère. Le rapport de ces deux quantités exprimera donc la probabilité que la' seconde étoile , projetée ainsi au hasard, torpbi^a dans les limites de distance supposées. Or , ce rapport se trouve égal au produit du siilus de la: vraie distance par le sinus de l'écart que l'on suppose possible. Telle est donc l'expression très-simple deUa probabilité dont il s'agit

J'en ai fait l'application aux six distances rap* portées dans le tableau précédent, en limitant les zones de possibilité relatives à chacune d'elles, conformément aux écarts donnés par la compa* raison avec la vraie distance. J'ai^ obtenu' ainsi les résultats suivaas pour leurs probabilités individuelles en les supposant dues au hasard : ?

Arcturus A ntarès x-

Arctiiriis Foinalhaut -^

Arctunis SheaC. -rV

Antarès Foinalhaut. ....;. -^

Aniarès Sheat. —r

Fomalhaut Sheat ;~^ ;

maintenant on sait que la probabilité des résultats composés est lé produit des probabilités partielles des événements dont ils se composent^ lorsque ceux-ci sont absolument indépendans les uns des autres. D'après cela, au lieu de considérer isolément detax points du tableau plan que nous voulons interpréter, cohsidérons-en simul-

46 SUR LE ZODIAQUE GfRCULA.IR£

tanémenttroîfi, par exempté^ ceux que la discusi^n critique des positions ifelativès nous a fait: Rammer Antarès , Fomalhaut et Arcturus'; puis, supposous que nous eussions entr^ris de pré<dira le triangle sphérique fbriné p»r ces trdis points après leur transport sur la sphère , saiis être guidés .autrement que par le hasard. Pour avoir la probabilité que cette prédiction se réalisera dans les limites d^erreur trouvées pour le^ trois distances , it faudra multiplier entre elles les trois fractions ^; ^; n^^ ^® produit

sera la probabilité cherchée, c'est^à dire qu'il j aurait seulement une chance sur 54ooo pour amev ner par hasard une pareille configuration. Il est; donc déjà bien peu vraisemblable que le hasard lioiis ait fiiit tomber précisément sur cette chance unique , quand nous avons choisi les trois asié* rismes que nousavons nommés Arcturus, Antarès et Fomalhaut. Mais l'invraisemblance devient bien plus forte encore quand nous lions an même système notre/ quatrième astërisme. Car là position de celui-ci pour être fixée exige lé concours de deux distances : par exemple les deux distances à Fomalhaut et à'Arçturus, ou à Fomalhaut et Antarès, oi* enfin à Arcturus et Antarès. Pjfenons la première combinaison , qui est la moins favorable ; le pro> duit des probabilités de nos deux distances serd Î7 ; iTz ^^TTTTZ' Ainsi la probabilité du résultat composé , qui les rattache au premier triaiiglé sphé* rique, sera le produit de cette fraction par ~

ojo»

c^st-à-dire 75-^^7^77. Et mane elle ne sera réelle* mei|( que h moitié de cette quantité déjà si faible ; car k^détiermination d'uo pcânt par deux distance à un vMr^. poîot 4 soit sur im plan , soit sur la apbèjfe^.est di^ceptibk de deux solutions qui placent le pfrâxt db»rçhé d'un côté où de l'autre de la distance prise pour ba^ Mais ici, des deu^ so^ Inljons, U n'y en a qu'une seule qui soit astrono-* mtquemant admissible, «et c'est celle qui place Sfaeat dans la partie du ciel où il se trouva réel* lemeiil:. Or, c'est celle-là prédsémcnit que le mo^ numeiit réalise; conaéquenuïient la probabilité qix^ nous y aurîoos été conduits par le basard

8^w ^ de vv9>Vo ' >oo oti ,5VaWo^o ; c'est-à-dire que $iK plus de i5i8 millions de cbauces également possibles, il n'y. en a qu'une seule quipuisseamener un tçl basard. On peut donc ,. avec toute la yrai** semb^Ance désirable, penser que l'accord des ré«^ siilËsit^ au:i(quels nous somn^es parvenqs n'est pas dà à cette chance unique , mais bien à la réalité d'âqtientiop qne nous avions soupçonnée dans la construction de notre monument. Et cette Yrai-« semblanoe serait très* grande encore quand nous supposerions des limites d'erreurs beaucoup phis^ grandes que celles que nous ayons réellement trouvées entï'e les vraies distances célestes et les disjtsiuces calculées.* Ciir en portant, par exemple, tpotes ces limites jusqu'à 3^ eu plus ou en moins, ce qui est sans doute beaucoup les exagérer, puisque tous les. écarts que nous avouf trouvés sont

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réellement beaucoup inoindres, il y, aurait. encore plus de dix millions à parier contre un , que la configuration déduite de nos quatre astérismes est due à un dessein raisonné. £t combien cette prol^abilité s'accroîtrait-elle encore si nous voulions joindre à cette configuration , comme nous aurions toute facilité de le faire, le quadrilatère du Da.uphin et celui de la Grande-Ourse , qui sont aussi marquésen positions par des astérismes propres, comme. on le verra plus tard, et comme les seules relations de position avec les figures zodiacales environnantes suffiraient pour l'indiquer.

Ces épreuves géométriques achèvent donc d'établir avec une probabilité presque équivalente à, la certitude, le mode de projection qui a été suivi dans la construction, de notre monument; et, 4'accord avec- les.- premières inductions que nous avons réunies , elles prouvent qu'il offre en effet là représentation de la sphère céleste formée par développement autom*- d'un point du ciel choisi pour pôle. Mais quel est ce point , et comment pouvons-nous reconnaître sa position sur la sphère céleste ? voilà le problème qu'il nous faut maintenant aborder.

Les indications, géométriques tirées du monument nous suffiront encore pour le résoudre dirèc^ tement et sans recourir à aucune hypothèse. En effet , considérons deux quelconques des étoiles dont nous venons de calculer les distances res-. pectives , et par conséquent de constater la posi;

D£ DBHlMBltAB. 49

tion sur le mmiument. Choisissons, par exemple v Pomalhaut et Arcturus. En rapportant oes deux étoiles, par longitude et latitude, à réctipti(|qe et à Téquinoxe axes de Tannée i^So, elleèdéter^ minent sUr la sphère céleste un triangle sphérkpiid dont les tirois côtés sont les distances des deol étoiles an pôle de l'écliptique , et leur distâncf eutreelles. Tous les élémens de oe triangle, e'està-dire, ses côtés et s^es angles, sont connus ou peuvent être calculés d'dprèd tes positions .asorot nomiques de Fomalhaut et d'Âreturuk Or ^es deux inémes étoiles, eonisidérées relativempntâu pôle inconnu du monument fermeii^ • avec Imi- up second triangle sphérique dont un deîs cotés est encore leur disrtisince mutuelle entye elles , et les deux autres leurs distances sphériques au pôle inconnu , lesquelles distances peuvent se mesum sur le monument même» On peut donc calettler encore les angles d^ cç. second tr^togle p)W(C|ue ses trois côtés sont connue. Mais nçus 9vons vu qu'il est lié au premier pa^ un côté commun, qui est la distance mutuelle des deux étoiles. La position du second triangle formé au pôle du monument se trouve donc géométriquement fixée par cette connexion relativement au premier triangle ^ui a son siommet au pôle de récUptiquç de 1 760. Ainsi l'on doit pouvoir , et l'on peut en effet conclure par le calcul U direction absolue des côtés de ce second triangle relativement à la même éclîptique ; d*où Ton déduit ensuite les coordon-

^5o SUR LE ZO0IAQUE CIRCULAIRE.

;nées de son sommet, c'est-rà*?dire, la longitude et la latitude du pôle du monument. On voit par là €pe deux étoiles sufHseiit pour déterminer mathématiquement ce pôle. Mais ici, comme dans toutes les autres recherches trigonométriques , il faut prendre des bases assez larges pour que les positions des sommets des triangles ne soient pas trop fortement influencées par les erreurs que l'on doit toujours supposer dans les observations. C'est poAurquoi^ije n'ai point essayé d'appliquer ce calcul à la combinaison d'Arcturus avec An tares, non plus, qu'à . celle de Sheat avec Fomalhaut ; parce que. ces couples d'étoiles embrassent un trop petit arcade la sphère céleste; mais j'ai combiné séparément Fomalhaut avec Arcturus, Sheat avec Antarès; et, par ces combinaisons isolées^ indépendantes l'une de l'autre , j'ai obtenu les résultats suivans.

CooMonhées da pôle du monument relativement à rèclîptique et h F équinoxe fiœes de iy5o (^i).