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Or, ce tableau
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n'est autre que le résultant de f(x) et f*(æ) dont on a enlevé les (s —r) premières colonnes. En développant le résultant suivant ces (s —r) colonnes, on voit qu'il est nul; es conditions (5) ne peuvent donc étre toutes vérifiées.
Il en est de même sir£l<s; on considérera seulement les / premières équations des systèmes (8) et (10).
On a donc certainement, dans ce cas, l<roul>s.
2° s<{r. Supposons encore {= s et procédons comme ci-dessus ; on obtient un système
Dre m0 = SU. 1 Op Us —— 0.
(11) —- — Gore eee Or 10,
Cr ls On US Re CO rs)
D RU e Eye e dy EC 0
de 25 équations linéaires et homogènes à 25 inconnues 5,.,,0,4,,,...
qi
Gr. Le déterminant de ce système est le résultant de f(x) et f” (x). Donc, ou bien les conditions (5) ne sont pas vérifiées, ou bien on a
Os rs Ne je Tr+s—i 0.
Si {<< s, on raisonnera de même en ne prenant que 2/ équations; on arrive également aux mêmes conclusions lorsque, dans le premier cas, on suppose l<r.
En définitive, on voit que lorsque l'équation a deux lacunes symétriques, les conditions (5) ne peuvent être vérifiées que sa 15, ou si l'est inférieur au plus petit des deux nombres r et s, et que l'on a
(6) GO 0 ON 0e — OL
». Ilest parfois possible de lever l'alternative qui subsiste dans ce résultat. Par hypothèse, l’un au moins des termes de degrés (r — 1)et (n—7+ 1) figure dans l’équation (4); supposons qu'un seul d’entre eux y Jigure effectivement, soit par exemple le terme de degré (r— 1). Alors, le terme de degré (n — r + 1) ayant son coefficient nul, on a
(13) Os + Oral Hire + Ori + Ori Ui—= 0.
Si les conditions (12) sont vérifiées, comme, par hypothèse, uw, 0, on a 6,-7, — 0. Donc, le coefficient du terme de degré (r—1) doit être aussi nul, en vertu de la relation conjuguée de (13). On raisonne de même lorsque c’est le terme de degré (7 — 1) qui ne figure pas dans (4).
Par suite, s5 r—p+1, et si le terme de degré p ne figure pas dans l'équation (4), on a certainement l> 5, puisque ££ 0; il en est de même si, dans cet énoncé, on remplace l’hypothèse r =p+1 par PES —p. |
En général, on peut continuer à appliquer le procédé qui vient d’être indiqué jusqu’au moment où l’on rencontre deux termes symétriques figurant dans (4). Par suite, st l'équation (4) n'a pas de termes symétriques, on a nécessatrement | > s. 1 en est ainsi, en particulier, si l'équation (3) a la forme
1 + XP + a GPTI + a RP + ax aP FI 0,
lorsque p n’est pas un multiple de q. On voit alors que sig p,ona
l2g; sig >p, l'est au moins égal au plus grand des deux nombres pet(q—p).
Si l'équation (4) a des termes symétriques, soient À et (n — 2) les degrés des premiers que l’on rencontre; si À 24, on déduit donc de (12) que l’on a aussi
(14) Ti —1+1 O1 …. Ty, — O.
Mais si À <{{, on a rencontré, dans l'application de la méthode, l'équation TE OU +... OUI, EU—=O,
où tous les os sont nuls, d’où w,—0, ee qui est contraire à l'hypothèse. Donc, s5 l <ret s, on a nécessairement [£X, et, dans ce cas, il faut ajouter aux relations (12) les équations (1), qui en sont une conséquence. D'ailleurs, en opérant de même à partir du terme de degré (r+s—1), on déduit encore de (12) que l’on a
(ay) CR ga cui 0,
si les degrés des premiers termes symétriques qu’on rencontrede cette manière sont pet (n —11).
Parmi les inégalités (5), nous n'avons utilisé, dans les raisonnements qui précèdent, que la dernière, de o:on peut se demander s’il est possible d'aller plus loin en utilisant les autres inégalités. Il en sera bien ainsi dans le premier exemple que nous allons traiter; toutefois, il est assez douteux qu’en général l’utilisation de toutes les inégalités donne de nouvelles conditions pour /, car dans le cas simple où r= s$ — 2, le calcul montre qu’on peut prendre / = 3 et choisir &,, u, u,, de facon à rendre les inégalités (5) compatibles avecle système (£).
6. Nous allons maintenant appliquer les considérations générales qui précèdent à quelques types de polynomes.
(D) TEE DAT Lie TC Eh re Une Con An Le 0:
1° Cherchons d’abord la limite des modules de deux racines. L’équation (4) correspondante a au plus deux racines de modules différents de un. Le système (2) devient ici ( Hell 0;
, lUrn-3 + Una 0.
nes
Le déterminant est 6,, = 9, 6,, ; ils’annule done avec 5,. Supposons d'abord 5, “0; en prenant la conjuguée de la deuxième équation (16), on à
Le ER S 9 \ UT, + U, = 0, d'où Uy= — »
et comme Hie0 NA EEE
Il y a donc toujours une racine de (4) au plus extérieure au cercle unité, les conditions (6) disparaissent, on peut faire varier les 0; arbitrairement.
On a
REC = Go Gi EU 0 0) + Es gi Il serait aisé de trouver les conditions dans lesquelles cette quantité atteint son module maximum, mais on peut se dispenser de tout calcul, en remarquant qu’en prenant tous les 6; nuls, il vient
gr — (n—92)(n—3)
ME De n(n—3).
