Oùen tiré
7 | égales en module à ( ) - Dans ces conditions, il vient |9(o)| = M
3. L'étude de ce cas particulier étant achevée, supposons maintenant qu'aucun des a, ne soit nul. Les valeurs de #(0) et o’(o)sont alors déterminées en fonctions de a,, &;, ..., a, et «. On a d’abord
FO) == did are).
FCOÏE—= Et US fe A 7 RE [se +e0) {a =)
puis
k=1 comme le montre un calcul facile. Posons, pour abréger,
PAT PRE OT de AO
Il vient alors
SANT, Er
2(3), appartenant à la famille (,), doit satisfaire aux conditions de M. Schur, en particulier, les inégalités (6) et (5) doivent être vérifiées, ce qui donne les conditions
(12) Iæ|<SM}A{, one : | œ |?
rs NE ae 4 Me Re TEA Inversement, si les nombres 4,, 4, ...,a,, à Vérifient ces inégalités,
il est possible de trouver une fonction #(2) de la famille (F,), pour laquelle 9(0) et 9’(o) ont les valeurs données par (11), et par conséquent, en remontant la suite des calculs, il existe bien une fonction de la famille (£,) qui prend la valeur & aux 7 points a,, @, ..., a. Lorsque À >< o, les inégalités (12) et (13) sont donc les conditions nécessatres et suffisantes que doivent remplir a,, a,, ..., @,, & pour qu'il existe une fonction de la famulle (E,) vérifiant les relations (7).
Remarquons encore que si les deux membres de (13) sont égaux, on a nécessairement
Le
avec RAS
o(3) = Me = LEA de même, si l'inégalité (12) est remplacée par une égalité, on a
o(z) = Me.
A. Ceci posé, considérons pour le moment a,, 4, ..., a, comme fixes, « comme variable. Les inégalités (12) et (13) définissent, dans le plan des «, deux domaines (A;), (A) limités par les courbes (F,), (l:) obtenues en égalant les deux membres dans chacune de ces Inégalités [d’ailleurs, (T,) est un cercle centré à l'origine, (F;) une quartique bicireulaire, comme on le voit en développant les deux membres de (13), après les avoir élevés au carré]. On peut donc encore dire que la condition nécessaire et suffisante pour que les égalités (7) soient possibles est que les domaines (A,) et (A) aient au moins un point commun.
Supposons cette condition remplie. Deux cas sont alors possibles : tout d’abord, (A,) et (A,) peuvent avoir un point intérieur commun &,, auquel cas il existe un cercle (y) de centre «, et de rayon à, dont tous les points sont à la fois intérieurs à (A) et (A,). Je dis que le
PER PnLee
minimum ©, ne peut pas être atteint dans ce cas; en effet, les courbes
l',yet (T,) varient d’une façon continue avec les points 4,,a:,...,4,; 1 y 9
faisons varier ces points en diminuant le module de chacun d’eux
d'une quantité € > o assez petite pour que la plus courte distance d’un
point quelconque de chacune des nouvelles courbes (1), (,) à (°,)
ie 0 et (F,) respectivement soit inférieure à -: Le cercle de centre «, et de
Ô : RASE 2 ; rayon = est donc tout entier intérieur aux nouveaux domaines (A),
(A,); par conséquent, les relations (7) sont encore possibles pour les nouvelles valeurs de a,, a, ..., a,, ce qui démontre la proposition.
Le minimum o, ne peut donc être atteint que si les domaines (A) et (A,) n’ont en commun qu’un nombre fini de points, situés nécessairement sur les courbes (F,) et (F,); ceci entraine, d’après ce qui précède que @(z)==Me. En portant cette valeur dans (11), il vient la relation entre a,, &, ..., 4
