QUELQUES PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS BORNÉES
Bibliographie.
Ajouter aux Mémoires cités aux deux Chapitres précédents :
[20] E. Lanpau. — Der Picard-Schottkysche Satz und die Blochsche Konstante (Sitzungsberichte der Akademie der Wissenchaften zu Berlin, Phys. math. Klass, 1925, p. 467-474).
[21] P. Monrez. — Sur les zéros des dérivées des fonctions analytiques (Bulletin de la Société mathématique de France, t. k8, 1930, p. 103-126).
1. Nous nous proposons d’exposer dans ce Chapitre quelques propriétés des fonctions analytiques, bornées dans un domaine simplement connexe, que nous pouvons toujours, à l’aide d’une représentation conforme, supposer être le cercle unité (C). Nous nous occuperons donc de la famille (,) des fonctions analytiques /(z) telles que | f(z)ISM pour [:|<1; commençons par en rappeler quelques propriétés classiques (vozr, par exemple [ 18 |, p. 102 et suiv.). On peut encore dire que les fonctions de la famille (%,) font correspondre au cercle (C), par la transformation Z = f (3), un domaine (D) intérieur au cercle (T') défini par |3]<M dans le plan des Z. On en déduit immeédiatement la proposition fondamentale suivante: La fanulle (&,) est invariante par toute transformation biunivoque des cercles (G) et (T') en eux-mêmes, c’est-à-dire par tout couple de transformations de la forme
(1) HN eee ) | az —1 (2) 2 A0 NE LES 0) az — M:
Chad <a lol Me
Parmi les fonctions de la famille (#,), on est naturellement amené à considérer celles qui prennent une valeur donnée en un point donné
du cercle (G); grâce aux transformations (1) et (2), on peut toujour ramener l'étude de ces fonctions à celle de la famille (F,) des fonctions f(z) telles que
|f(z)|<M dans (C), FLO 0:
On peut préciser davantage l'étude de ces fonctions en tenant compte de la valeur de leur dérivée à l’origine, ce qui revient, après multiplication par un facteur constant, à considérer la famille (E,) des fonctions holomorphes dans (C) dont le développement a la forme
J(z)=3+ar +...
et telles que If) IS M:
On pourrait encore particulariser les fonctions étudiées en se donnant d’autres coefficients de léur développement, mais nous nous bornerons dans ce Chapitre aux trois familles qui viennent d’être définies.
La propriété essentielle de la famille (F,) réside dans la remarque
que st f (3) estune fonction de cette famulle, LE) est une fonction de la
famille (F,) etinversement, ce qui n’est autre que le lemme bien connu de Schwarz, énoncé sous une forme légèrement différente. Cette proposition, jointe à l’utilisation des transformations (1)et (2), contient en germe la plupart des propriétés des fonctions bornées à l'intérieur de (C). En particulier, l'application alternée du lemme de Schwarz et des transformations (2)a permis à M. I. Schur de déterminer les conditions nécessaires et suffisantes pour qu’une fonction dont on donne les coefficients du développement en série de Taylor appartienne à la famille (,) ([ 10a ], p. 221).
Indiquons encore quelques conséquences des généralités précédentes. Le lemme de Schwarz, sous la forme
f()IEMr, où r=1s|,
exprime une relation entre les valeurs de f(z) aux points o et z; l’application des transformations (1) et(2) permet d'en déduire plus généralement une relation entre les valeurs d’une fonction de (F,) en deux points quelconques z,, z, intérieurs à (C) ([ 18}, p. 105). En particulier, si l’on fait seulement une transformation sur la fonction,
on obtient, entre autres, l'inégalité
FAN HÉCONEMY LC)I2M je
If Co) M
fait tendre z, et 3, vers un même point 3, intérieur à (C), on à, à la limite,
(qui n’est d’ailleurs intéressante que pour r < 1 De même si l’on
(1) FRE NES Fer
Pour 3—o cette inégalité se réduit à la seconde condition de M. Schur: |
(5) J'osM PE,
la première étant évidemment
Rappelons enfin que, dans le lemme de Schwarz, l'égalité ne peut avoir lieu que si f(z) =Me'°3; on en déduit des propositions analogues pour les inégalités qu'on en tire par application des transformations (1) et (2); c’est ainsi que, pour (3), (4) et (5), l'égalité ne peut avoir lieu que si
PCA) = Met, avec | x |<1.
Zz —1
2. Nous allons tout d’abord déterminer la valeur minima », du rayon de p-valence d'une fonction de la fanulle (E,). L'existence de ce minimum résulte immédiatement des considérations suivantes : La famille (E,) étant une famille normale, s’il existait une suite de fonctions de cette famille f, (23), /,(z),..., /,(z),..., telle que /, (3)
ne soit pas univalente dans le cercle [3/£>; 1l serait possible d'en
extraire une suite convergeant uniformément vers une fonction f (3) de la famille (E,); cette fonction ne pourrait être univalente dans aucun cercle de centre de l’origine, ce qui entraine que 3 = 0 serait un zéro multiple de cette fonction, hypothèse contradictoire avec la condition f(0)— 1.
0 ven
En posant n —p +1, 0, peut encore être défini comme le nombre minimum tel qu'on puisse trouver nr points a,, a,,...,a, (‘) de modules au plus égaux à o, et pour lesquels
(7) TR TVERS) En (di) à,
f(z) étant une certaine fonction de la famille (E,). Supposons donc qu’il existe 7 points de cette nature, et cherchons
les conditions qu’ils doivent remplir. Faisons sur f(z) une transformation du type (2) en posant
FC MU) a),
F(z) est une fonction de la famille (#,) et l’on a Forte = (20:
On peut donc écrire
F(z) (z — di) (3 — @ (2 -10.)
a nr HAUTE Casse pub (asz»)
o(z) étant de nouveau une fonction de la famille (F,). Supposons d’abord que l’un des a, soit nul, par exemple a, = o [ comme f'(o) =1, un seul au plus de ces nombres peut être nul]. On a, dans ce cas,
LA
d’où F9) DDR ER et, par suite, d’après (6), on a la condition
(9) lea... anl> à
(!) Si q de ces points sont confondus en un point a, il faut remplacer les 4 équations (7) correspondantes par
FATREETR VARIE AA RES LC EX
mais cela ne change pas la forme de la fonction F (2).
Inversement, si cette condition est remplie, il est possible de trouverune fonction ® (3) de la famille (#,) pour laquelle © (0) soit donné par (8); par suite, en remontant la série des calculs, il existe bien une fonction de la famille (E,) qui s'annule aux points a, —0, &, Dre
L’inégalité (9) donne immédiatement
I n—l (10) Mas | ae! 2)
et cette limite est atteinte lorsqu'on donne à 4,, a,, ..., a, des valeurs
et, par suite, o(3)=Me", — 6 étant la somme des arguments de
