POULE
Faisons sur les variables «w, la transformation linéaire
0e 07 HR EN Dale
dont le déterminant n’est pas nul. Les deux équations (15) permettent alors d'exprimer deux des quantités 6;, 0; par des fonctions continues des (272 — 2) autres variables
Pr UE D I A Ne
pourvu que l’on ait
ou, comme aucun des 7; ne peut être égalàonià rt, (16) sin(6; —0;) 0.
Ceci posé, considérons un système quelconque de points a;,a:,...,a, satisfaisant à la relation (14), et soit r, le plus grand des modules de ces points. Faisons décroitre r,, en laissant les autres r, fixes, ainsi que les 0;, sauf deux de ces variables, 0; et 0, qui seront déterminées par les équations (15) en fonction der,, tant qu’elles satisferont à (16). Si cette dernière condition est constamment satisfaite, il arrive un moment où r, devient égal au plus grand des r, restants, soit r, par exemple; à partir de ce moment, nous ferons décroitre simultanément r, et7,, de manière que ces deux variables sotent constamment égales: nous laissons toujours fixes les (27 — 2) autres variables, sauf 6; et 6, qui seront déterminées par (15) en fonction de l'unique variable o—=7,=7,. Au moment où o deviendra égal au plus grand des 7, restants, soit r,, nous imposerons à r,, 7, r, les conditionsr, —7, =r, = 6 et nous continuerons à faire décroitre la valeur 2, en donnant toujours à 6;et 6; les valeurs tirées de (15). On peut continuer ce procédé jusqu’au moment où l’on a0;—Ü;ou0;—0;+ +; on prendra alors comme nouvelles variables deux autres 0, (l’un d’eux pouvant être égal a 6; ou 6) qui vérifient la condition (6) et l’on poursuivra comme précédemment, en déterminant constamment ces variables en fonction de o
par les équations (15). Il est clair que l’on arrivera ainsi à l’un des deux cas suivants :
1°Ou.bien 7, = rat — 7,07 1es pOINIÉ0 47.204000 sur une circonférence de centre z = 0;
2° Ou bien sin(8; —0;)— 0 quels que soient z et j, c’est-à-dire que les points 4,, a,, ..., a, sont sur une même droite issue de l’origine.
De chaque système de points a,, 4, ..., a, vérifiant la condition (14), nous pouvons donc déduire un autre système, de l’un des deux types précédents, le plus grand des modules de ces points étant au plus égal au plus grand des modules des points du système, d’où l’on est parti. On peut donc se limiter à ces deux cas pour la recherche de p,.
DOTOS OIL TE Pie. 2e = ln 0 (11) CCTILAIOIS nm p?r — — Mpr(e— DE p K==t
ei est donc un nombre réel, et l’on a évidemment | Ze |£n; comme K=—=1 l'égalité précédente peut s’écrire
ES Ce SR ne — ÿeix, Mp"=1(1— 0°) ) on a donc es O7
RE NA EEE Le 02 Mo DE p?) sn
#) ce qui montre que p, est au moins égal à la racine, comprise entre o et 1, de l'équation
(17) IH A+ A+. Han Mnari— 0,
2° Supposons tous les points 4; sur une même droite issue de l’origine ; cette droite est nécessairement l’axe réel, sans quoi on déduirait
de (15) ù
DRE ee A 6
ce qui est absurde. L'équation (14) peut donc s’écrire ici
L d I (18) (Ua Me) — Ma an. a > (a sl
KA
Or, il est bien évident que le minimum du plus grand des modules des
nombres &,, 43, ..., 4, supposés réels et liés par la relation (18), est au moins égal au minimum du plus grand des modules des nombres complexes a,, a, ..., a,, liés par cette même relation. Pour obtenir
cette dernière quantité, on peut recommencer le raisonnement fait sur l'équation (14), avec la différence qu’il y a toujours ici correspondance continue entre les points a; lorsqu'on les suppose tous à distance finie (!); on peut donc toujours se ramener au cas où tous ces points ont le même module r. En posant
Dr Op —) Les 1è où 2 a le même sens que ci-dessus, et nm C MS st, k=—=1 æ est déterminé par l'équation (19) DRE CA GEI 1 — 0,
ui s'écrit encore q & le CEE
anti — "s s C + a!
Lorsque æ décrit une circonférence (y) ayant pour centre l’origine, (l I + can # ® « / d \
gt! et décrivent deux circonférences (y,) et (y,). Lorsque le
rayon de (y) est très petit, ces circonférences sont extérieures l’une à
l’autre; il est clair par suite que l’on aura la plus petite valeur possible
de ren écrivant que lorsque (y) a pour rayon 7, (y:) et (y:) sont tan-
(:) Car la relation est analytique en à,, a,, ..., a,, etil est inutile ici de la décomposer en parties réelle et imaginaire.
gentes extérieurement; un calcul simple montre que le minimum der est atteint lorsque |c| prend sa plus grande valeur, c’est-à-dire pour c—Mn. L'équation (19) débarrassée du facteur (x? — 1) se réduit alors à l’équation (19).
D'ailleurs, la racine de (17) comprise entre o et 1 est inférieure à la
nt à 1 NE ; Ne P e limite (55) donnée par l'inégalité (10). Nous pouvons donc énoncer la proposition suivante ('): Le rayon de p-valence des fonctions de la Jfamulle (E,) est au moins égal à la racine ©,, comprise entre o et 1, de l'équation réciproque
Q7) ln ee AU Can DL re à
Lorsque la limite est atteinte, on a
it a, D — (ll DCE
et comme o(z) = Me”?iŸ, il vient
RME ; id p+A1 5 RS x id p+1 F(s)= Met ( ER ) = Met (ie - DER El VE CR Z=F(3) transforme le cercle unité en le cercle (l) recouvert (p + 1) fois, le point de ramification unique Z= 0 correspondant à 3 — p,e'Ÿ. Comme
a FO) ME et il vient finalement CA mul 220 mm 2 1 (2 rt co
Au DUR pet )r+1 FE (DZ HE eiÿ }P+1
f(&)=Mi
f(2) transforme également le cercle unité en (P recouvert (p-+ 1) fois, le point de ramification étant ici
J(ppeŸ) = à.
6. Remarquons que la première partie du raisonnement qui nous a donné la valeur de &, s'applique, non seulement à la famille (E,), mais
D ee em mn
() M. Landau m'a communiqué une intéressante démonstyation purement algébriqué de cette proposition.
encore à toute famille de fonctions de (&,), ne ren fermant pas de constante. On formera comme ci-dessus la fonction o(3), on explicitera les conditions auxquelles.elle est soumise et l’on écrira que ces conditions sont compatibles avec le fait que (3) appartientà(#,); les inégalités qu'on obtient ainsi délimitent la région de p-valence des fonctions de la famille considérée.
En particulier, si l’on considère une famille de fonctions de (F,) dont on fixe les valeurs, ainsi que celles d’un certain nombre de leurs dérivées, en un certain nombre de points de (C), on verra, comme ci-dessus, que les limites de la région de p-valence ne peuvent être atteintes que pour les fractions rationnelles de la famille, qui font correspondre à (C) le cercle (T°) recouvert un certain nombre de fois.
7. Revenons à la famille (E,), et considérons en particulier le cas où p —1; on a alors
(20) p—M —ÿyM:—:,
et les fonctions pour lesquelles la limite est atteinte sont de la forme
(eiŸ — M)
(21) PCM Se
Ce résultat a déjà été obtenu par M. Landau ([20}, p. 471-472) en utilisant la formule de Cauchy donnant le nombre de zéros de fCz)—a—o à l’intérieur d’un cercle. En voici une troisième démonstration, plus simple que la démonstration générale, et qui m'a été également communiquée par M. Landau.
Reprenons la formule (12), qui s'écrit ici
12/<M}aa |.
Supposons que l’un des deux nombres a,, a, au moins soit de module
. ’ . * # à ; à ù 3) inférieur à soit a, par exemple; la formule (4), appliquée à . au point 3 — a, donne 3 ee 1—Mla,l NUM le een
Comme par hypothèse |a, [<o,, [a |£e,, p, est donc le plus petit
nombre satisfaisant à l’inégalité M Mp>M
pi c’est-à-dire la racine comprise entre o et 1 de l'équation xæ'—2Mx+1—o; on retrouve bien la valeur (20).
Remarquons que », est aussi la limite inférieure du module des racines de f’(z) —o pour les fonctions de la famille (E,), la limite étant atteinte pour les fonctions de la forme (21). Mais, de plus, nous allons montrer que toute fonction de la famulle (K,) représente le cercle |z|<o, sur un domaine (A) étoilé par rapport à l’origine ("). Il
suffit d'établir que f'(s «re Re (25?)
pour la 70 \ ou encore, en posant —— = (2) que
