ETES

inégalité qui sera vérifiée a fortiori si l’on a

so'(z)|.

Or, d’après les inégalités (3) et(4), appliquées à o(z) pour

1—Mr 3) |2 | g( )12M INR - 1— Mr\° M— M°| —— sa 1 M?—|o(3)} x (+) M(M? —:1) FOIE He er — M 7e nn" | 7e (M — r}° (*) C’est le troisième exemple que nous rencontrons — les deux précédents

étant fournis par les deux théorèmes de M. Alexander (Chap. IT, n° 4 et 6) d'une famille de fonctions pour laquelle le rayon d'univalence, le rayon d'étoilement et le module minimum des zéros de la dérivée ont {a méme limite inférieure. Il serait intéressant de chercher s'il s'agit d’une simple coïncidence, ou si, en général, lorsque deux de ces limites sont égales, la troisième leur est égale.

et par suite

zo'(z)| (M —:i)r o(3) < (Mr) G=Mr) Comme l'inégalité (M—:i)r

LA

(M—r)(i—Mr) se réduit à r’—9Mr+120, c'est-à-dire à r<o,, la proposition est démontrée (!). Il est d’ailleurs aisé d'obtenir la plus courte distance d de l’origine à la frontière du domaine (A). On a, en effet, d’après (3),

Se. 1— Mr LG) Mr 1— Mo, ae à et comme, pourr—0,, Me = p,, il vient BE a (22) | d>Mp?—=M(M—YÿM—:) ().

La limite est encore atteinte pour les fonctions de la forme (21), au point correspondant à la racine de f'(z) = o.

8. D'une façon générale, on a, pour toute fonction de la famille (F,) en un point où la dérivée s’annule,