MEET OE

vante ([ 10 |, p.134) : ilest nécessaire et su f fisant que les l déterminants

I Oo e) RON EU EU ee Us U, I eo) SAR SO O Uy RÉ RNA ES ee" U u, I Der CU TO (eo) U, SM LT 0 du — Uy Uy Us I O O O U} y (e) 0 (a) I UM Us Uy Ur, U, re) OO 1 u, Us Un Urvu FR srl ee O, (a) Er Re 1 (ÉD TO EE re

sotent tous positifs ('). Remarquons que à, n’est autre, au signe près, que le résultant des polynomes

féa)i=at + ua... uw et

= — — M ÉRE UT) = ua ua. ua Li=xt (£).

; Dit

Nous utiliserons les relations

(7) Ou —Tni-pOnl (DE OL ES 0e rlrayec TR)

qui résultent immédiatement de la définition des c;. Tirons-en tout de suite une conséquence évidente : on ne peut avoir l— 0 que si le terme de degré p figure effectivement dans l'équation (4), puisque £ 0.

La forme mème des relations (7) nous amène à porter notre attention sur l’existence de lacunes symétriques dans l'équation (4); nous entendons par là deux lacunes équidistantes des termes extrêmes, autrement dit, telles que les termes de degrés

RER EE EE A ETES Sri el

D PAT EM RTS PRESENT (r<2)

manquent simultanément dans (4) (?).

(‘) z désigne, comme d'habitude, le nombre conjugué de x. (2) D'après cette définition, ou bien deux lacunes symétriques n'ont aucun

DO Supposons qu'il existe deux lacunes symétriques. Nous distinguerons plusieurs cas :

1° r<s. Supposons d’abord {= 5, et écrivons les équations du système (2) correspondant aux termes des lacunes, soient

Or + Ori + Oro lg +... + Gr + Ur 0,

Cris + Ori +... + Gr + Ur = O0,

(8) À Ts + Orula E.n + OUss EE Us— 0,

Ts + Ts +... HO, + Gi Us— 0,

eee cie pilou aus ss e elelelfetentele) cheierene eh esse ie toites

Op Cri Un UN CE gr UC eus 0!

l'Gn-sUier E On-s User - On rs US —=0,;

On—sUs-r + On-s-1 Us-r +... Pan On—r—s-1 Us — O,

(9) { On=s + On-s—sili +... + On-osls— 0,

Creer Online CramOnes-nus= 0;

| On—r—s+1 + On=r-sUi +... + Onyr-ospi Us 0.

Prenons les conjuguées des équations (9), et appliquons les relations (7); il vient, après multiplication par 5,, £ 0, Due ouai CUUIO Pie eu en Où

Cr Us EOrUs AT ME QUE RE Us=r = 0),