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logues pour les équations obtenues en annulant successivement
ay, x, .… dans (3) jusqu’à l'équation quadrinome 1+ XPH AXE AL —= 0 incluse. On obtient ainsi une suite de nombres M, M', M’, ... dont le
plus grand donne la limite cherchée.
3. Nous avons supposé les inégalités (6) compatibles; cl se peut qu’il n’en soit pas ainsi, autrement dit, que l’un au moins des 4, doive nécessairement s’annuler comme conséquence du système (Ë). Dans ces conditions, la valeur exacte de o ne pourra être atteinte si a, £ 0, que pour une équation ayant au moins (£ +2) racines de module ep ; il est alors plus commode, pour calculer cette valeur, de reprendre la méthode précédente, en supposant qu’il ya exactement(k + 2)racines de module o, puis, si les nouvelles inégalités sont encore incompatibles, en supposant qu'il y en a(# +3), et ainsi de suite, jusqu’au moment où l’on arrive à un système d’inégalités compatibles.
D'ailleurs, en pratique, même si le système (6) est compatible, il arrivera que les calculs seront trop pénibles pour être poussés jusqu’au bout, on pourra simplement obtenir une borne supérieure de 5; au contraire, il se peut que les calculs soient plus simples en supposant qu’il y a plus de (4 + 1)racines de module s, si cela est possible, naturellement. Les valeurs ainsi obtenues donneront des bornes inférieures de p.
Il importe donc de connaître a priori, d’après la forme de l’équation (4), les valeurs possibles du nombre des racines de cette équation, de module égal à un, pour lesquelles les inégalités (6) sont compatibles. Sans pouvoir donner de critère général résolvant la question, je vais toutefois indiquer quelques propositions sur ce sujet, dans le cas simple où À = 1.
4. Supposons donc que l'équation (4)ait exactement (n —/)racines de module un, les { autres racines étant intérieures au cerele unité, et différentes de zéro ('). Les-conditions (5) prennent ici la forme sui-
() On peut toujours faire cette supposition, puisque l'hypothèse contraire sera certainement examinée lorsqu'on fera a; = 0.
